眼睛手术近视-新课标答案
1. 向量在代数中的应用
1.1. 用向量法证明代数不等式
利用向量数量积公式: (
为向量
,
的夹角),显然,,等
号在
,
共线且同向时 成立
,
注意观察所给不等式的结构
,
设法构造出
合理的向量
,
利用数量积可以巧妙给出证明。
例1.1 设 ,求证:
证明:(方法一)
两边同时加上
,有
有
即
(方法二)利用向量证明 设
的夹角为
利用 有
注:方法一采取常规做法
,
运算复杂
,
特别是配凑上不易掌握
,
而方法二中
,
只要合理地构造出
,利用数量积
,
不等式便可水到渠成
,
巧妙证明。类似的
,
通过向量可证明
。
1.2. 用向量法求有关三角问题
例1.2 求函数 的最值。
解:原式可根据二倍角公式化为
假设 构造向量
例1.3 已知 ,且,求 的值。
解:原等式可化为 ,
构造向量
整理得 ,所以 可得 ,.
1.3. 用向量法求解无理函数的最值
求无理函数最值问题,按常规方法求解具有 一定的难度,若能用
向量知识求解将会使求解变得容易。
例1.4 求函数
的最大值.
解:构造向量 ,
当且仅当 ,即时,
.
例1.5 求函数
的最小值。
解: 构造向量 应用向量不等式的性质
当且仅当
和
同向平行时,等号成立 所以 (此时).注:此
题要将向量积与向量的基本不等式结合起来使用。
用向量解代数问题时, 主要是将数量关系转化为向量关系,利用
向量的性质来求解。在这个过程中,关键是由向量的性质设出恰 当的
向量,从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等,然后再结
合向量知识来解决。< br>
2. 平面向量在解析几何中的应用
2.1. 平面向量在公式方面的应用
2.2.1. 用向量法求点到直线的距离公式
例2.1 求点P
0
到直线
的距离
。
解:设点
,
是直线
上任意
两点,则有
(1)
(2),
得
由向量数量积的知识可知:
即
是与
垂直的向量
当
与
的夹角
为锐角时,
(如图2.1);
当
与
的夹角
为钝角时(如图2.2)
又因为 所以
.
2.1.2. 用向量法求两直线平行、垂直的判定公式
例2.2 已知两直线
不重合,且斜率分别为
,求直线
与
互相
垂直、互相平行的判定公式。
解:由向量的知识可知:
的方向向量为
,
的方向向量为
再由平面向量的有关知识得
.
2.2. 用向量法求动点轨迹方程
2.2.1. 用向量法求直线方程
例2.3 求过点
,斜率为
的直线方程。
解:因
为所求直线的一个方向向量,设
为直线上任一点,则向
量
与
共线
由向量共线的充要条件可得:
为点斜式方程。特殊地,当点
为
点
时,可得直线的斜截式方程为:
.
例2.4 求过两定点
,
的直线方程
解:设
为所求直线上任一点,则
因为向量
与
共线,用向量共线的充要条件得:
为直线的两点式方程
特殊地,当两点为
和
时,可得直线的截距方程:
2.2.2. 用向量法求圆的方程和圆的切线
例2.5 已知一个直径的两端点为
,
,求圆的方程。
解: 设
为圆上异于
的两点 ,由周角定理有:
若
是与点
或点
重合的点,则
或
故都有
成立
所以 即
为所求圆的方程,对其进行整理配方,可得圆的标准方程:
,其中
为圆的圆心坐标,
为半径。
例2.6 已知圆的方程为
,求经过圆上一点
的切线方程。
解:设
为切线上异于
的任一点,那么
,
因为 ,所以
整理可得:
显然,当
与
重合时,其坐标也满足此方程
故所求切线方程为:
.
2.3. 平面向量在具体解题中的应用
例2.7 如图2.3所示,求证:
的三条中线
、
、
相交于一点
.
证明:在平面内任取一点
设
,
,
又设
为
上一点,且
,则
因为
是
的中点,故,
即
同理 , 即
故 三点重合
特别地,当
为原点时,由此推出
的重心
的坐标公式:若三角
形的三定点分别为
,
,
,则重心
为 .
可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂, 叙述也繁
时, 用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰。
例2.8 如图2.4,已知椭圆:,直线
:,
是
上的一点,射线
交椭圆于
,又点
在
上,且满足
,当点
在
上运动时,求
的轨迹
方程。
解:设
,那么
,
(
为正实数)
则 ,
,即
即 (1)
又因点
分别在直线与椭圆上,
(2) (3)
将(2)(3)带入(1)得:
整理可得:(其中
不同时为0)。
注:利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题,可使繁琐的运
算得以简化。
3. 向量在空间立体几何中的应用
在新研制的高中《数学课程标准》(实验稿)中空间向量是《标
准》中选修课程系列2 的重要内容之一。 从结构上看,它虽然不是
必修内容,但是希望在理工(包括部分经济类) 等方面发展的学生,
必须选修。 实际上,如果按照以往的文理分科,“空间向量”是理
工科学 生必修的知识,可见它是限制性的选修内容,虽然选学的主动
权由学生个人掌握;从内容上看,空间向量 是新知识,用它解决立体
何问题,有着其自身的特点,“提供了新的视角”。
3.1. 求空间角
引理1:设向量
与
的夹角为
(通常用表示),则有,即.
引理2: 设
,
是与轴
同方向的向量,
在
上的射影为
,
在
上的射影为
,则
叫做向量在轴
或
上的正射影,简称射影。设向量
与
的夹角为
,则CD=(这是
变成有向线段CD,方向与
或轴
的
方向要么相同要么相反)。
3.1.1. 求两异面直线所成的角
向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。
例3.1 在平行六面体
中,
,
,
,
,若P、Q分别是
、
的中点,求:
(1)
; (2)对角线
与
的夹角。
分析:此题若通过解三角形求解,过程复杂利用向量方法可轻松
求得;
解:(1)如图3.1
,
,
,,
根据向量内积公式得:
同理求得 ,
所以
将有关数据代入得
,故
.
(2)根据(1)所求
,
同理可得 ,
故
所以
设
与
的夹角为
,则
.
注:直线夹角有时与两向量夹角为互补关系,需予注意。
3.1.2. 求线面角
设
为平面
的法向量,
为平面
的斜线,则
(
)满足
斜线
与平面
所成的角为。
例3.2 已知正方体
的边长为4,M、N、E、F分别是
、
的中点。
(1)求证平面
平面
;(2)求
与平面
所成的角。
解:建立空间直角坐标系,如图3.2所示:
(1)
易证四边形
为梯形
,
设
为平面
的法向量
则 ,
所以 ,
、
、
因此
取
,则
,
,所以
又
,
因为 ,
所以 也为平面
的法向量 所以 平面
平面
.
(2) 因为 ,,
所以
所以 与平面
所成的角为.
3.1.3. 求二面角
设向量
、
分别是二面角
的两个面
与
的法向量,则满足:,
则二面角的大小为或。
例3.3(2001年高考题)如图,在地面是直角梯形的四棱锥
中,
,
垂直平面
,
,,求平面
与平面
所成的二面角的正切值。
解:如图3.3所示,建立空间直角坐标系
易证
垂直平面
,则
为平面
的法向量
,
设
为平面
的法向量,
则,即,取 则 ,
,
,
故 所以 平面
与平面
所成的二面角的正切值为.
3.2. 求空间的距离
3.2.1. 空间两点之间的距离
直接用公式,或可易于求空间两点之间的距离,在此再次就不
举例了。
3.2.2. 点到平面的距离
如图3.4,P是平面
外一点,过P分别
作
的斜线QP(Q为斜足),和垂线PO(O为垂足),设
为平面
的法
向量,
则
必为直线PO的方向向量。由于OQ垂直于OP,所以OP为向量
在
上的射影,于是.
例3.4 求例3.2中平面
与平面
的距离。
解:因为
,又
所以 平面
与平面
的距离 .
两异面直线之间的距离
如图3.5,a、b为异面直线,设
为a与
b的公垂线,
为
的方向向量,
为a、b
上任意两点的连线。由于AB垂直
,
垂直
,所以
为向量
在
上的射影,
易证 .
例3.5 在棱长为1的正方体
中,P为
的中点,
、
、
分别是正方
形
,
,
的中心,求异面直线
与
的距离。
解:如图3.6所示,建立空间直角坐标系
由题意:
,
设
是异面直线BD与
的
公共法向量,则 ,即
取 ,则
,
所以
又因为 所以 异面直线
与
的距离为.
3.2.4. 线面距离和面面距离
转化为求点到面得距离。
注:要用空间向量解决立体 几何问题,首先必须根据问题的特点,
以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出 来,
建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究
相应元素之间的关系( 夹角和距离等问题);最后对运算结果的几何
意义作出解释,从而解决立体几何的问题。
3.3. 根据相等向量证线共点
欲证线共点,可先在某线上找出一定点(常是唯一 的特殊点),
再证其余各线都过这一定点。
例3.6 求证四面体不共面的三对棱 的中点连成的三条线段相
交于一点
,
且都在此点平分。
证明:如图3.7,在四面体
中,
、
、
、
、
、
分别是棱
、
、
、
、
、
的中点
设
,
,
、
、
的中点依次为
、
、
则
同理可推得,,故
、
、
重合,即
、
、
共点与
,且被
点平分。
3.4. 根据共线向量定理证点共线
欲证点共线
,
通常先构造共始点的向量
,
再根据共线向量定理
证之。
例3.7 已知,如图12,在长方体
中,
为
的中点,
在
上,
且
,
为
的中点,求证
、
、
三点共线。
证明:设
,
,
,则
所以 ,故
、
、
三点共线。
3.5. 根据共线向量定理证点(或线)共面
例3.8 已知,如图3.9,
、
、
、
、
、
分别为正方体
的棱
、
、
、
、
、
的中点。求证
、
、
三线共面
证明:设
,
,
,则
,
同理:,
因为 故 、
、
三线共面。
3.6. 根据共线向量定理证两直线平行
欲证两直线平行
,
只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可。
例3.9 如图3.10,已知五边形
中,
、
、
、
分别是边
、
、
、
的中点,
、
分别是
、
的中点,求证
,且.
证明:任取一点
,则
所以
故
,且.
3.7. 做法小结
如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标系时, 首先
建立空间直角坐标系, 用坐标表示向量, 这是最简便的方法。如果图
形中没有垂直关系或不太容易建立空间直角坐标系时, 可以根据条
件以三个不共面的向量作为基向量, 用基向量表示空间向量, 并利
用条件求出这三个向量间模数和数量积的关系。
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