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视距公式向量的直角坐标运算

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 09:14
tags:向量平行公式

hold过去分词-初中成绩差怎么办


向量的直角坐标运算
【教学目标】
1. 理解平面向量的坐标表示,掌握平面向量的坐标运算.
2. 能够根据平面向量的坐标,判断向量是否平行.
3. 通过学习,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相互联系,培养学生
辩证思维能力.
【教学重点】
平面向量的坐标表示,平面向量的坐标运算,根据平面向量的坐标判断向量是否平行.
【教学难点】
理解平面向量的坐标表示.
【教学方法】
本节课采用启 发式教学和讲练结合的教学方法,教师可以充分发挥学生的主体作用,开
展自学活动,通过类比、联想, 发现问题,解决问题.引导学生分析归纳,形成概念.
【教学过程】
环节 教学内容
1.平面内建立了直角坐标系,点A
可以怎么表示?
y








2.平面向量是否也有类似的表示呢?
3.平面向量基本定理的内容是什么?











1.向量的直角坐标
在直角坐标系内,我们分别:
(1) 取基向量: 取与 x 轴和y 轴的
正方向相同的两个单位向量e
1
,e
2
作为
基向量.
(2) 得到实数对:任作一个向量a,

学生阅读课本,讨论并回
答教师提出的问题:
(1)e
1
,e
2
与平面向量基

问题是为突出本
课重点而设计.通过
对比教学可以加深学
O
x
a
A(a,b)
师生互动
教师提出问题.
学生回忆解答.


设计意图
为知识迁移做准
备.
本定理中的e
1
,e
2
有什么区别? 生的印象.通过问题
(2)向量的坐标与有序实的详细探究,比直接
给出说明更符合学生
的特点,容易被学生
由平面向量基本定理,有且只有一对实数对之间是什么关系?
数a
1
,a
2
,使得a=a
1
e
1
+a
2
e
2
,我们把(a
1
,教师针对学生的回答进行












































a
2
)叫做向量a 的坐标,记作
a=(a
1
,a
2
), ①
其中a
1
叫做a 在x轴上的坐标,a
2

做a 在y轴上的坐标.e
1
,e
2
叫做直角坐
标平面上的基向量.
①式叫做向量的坐标表示.
y



a
2
e
2



e
2


O e
1




探究:
(1)如图,e
1
,e
2
是直角坐标平面
上的基向量,你能写出0 ,e
1
,e
2
的坐标
吗?





e
1
=(1,0),e
2
=(0,1),0=(0,0).
(2)向量的坐标与点的坐标之间有
何关系?


y




y




e
2


O
e
1


设点A的坐标为(x,y),则

OA=xe
1
+ye
2
=(x,y).
e
2

O
e
1

x
y
a
点评.
教师引导学生学习向量的
直角坐标表示.








接受.











a
1
e
1
x





学生尝试解答.教师针对
学生的回答进行点评.







教师提出问题.
师生共同解答.





求特殊向量的坐
标,可以加深学生对
向量 坐标概念的理
解,从而提高学生的
读图能力.





加深对“向量OA
的坐标与点A的坐标
一一对应”这个结论
的理解,在向量坐标
与原有的点坐标之间
A(x,y)

试一试:在平面直角坐标
系xOy中作向量 a=(1,2),
x


x



作有向线段OA,使得点 A(1,
架起桥梁,为 应用向
2),并说明向量a与有向线段

OA表示的向量的关系.
量知识解决几何问题
奠定基础.














































即点A的位置向量OA的坐标(x,y),
也就是点A的坐标;反之,点 A的坐标

也是点A相对于坐标原点的位置向量OA
的坐标.
例1 如图 ,用基向量e
1
,e
2
分别表
示向量a,b,c,d,并求出它们的 坐标.





b
y
3
2
1
e
1

1
2
d
3
x
a







解 由图可知
a=3e
1
+2e
2
=(3,2 ),
b=-2e
1
+3e
2
=(-2,3),
c=-2e
1
-3e
2
=(-2,-3),
d=2e
1
-3e
2
=(2,-3).

2.向量的直角坐标运算





















通过例1可让学
生加深对向量的直角
坐标 表示概念的理
解,从而进一步提高
学生的读图能力.






























在板书证明的过
程中,突出解题思路
学生讨论求解.
e
2


-3 -2
-1
O




c
-1
-2
-3
(1) 如果 a=(a
1
,a
2
),b=(b
1
,b
2
),


a+b=(a
1
,a
2
)+(b
1
,b
2
)
=(a
1
+b
1
,a
2
+b
2
);
a-b=(a
1
,a
2
)-(b
1
,b
2
)
=(a
1
-b
1
,a
2-b
2
);
λa=λ(a
1
,a
2
)=(λ a
1
,λa
2
),
其中 λ 是实数.
证明
a+b=(a
1
,a
2
)+(b
1
,b
2
)
学生阅读课本向量的直角
坐标运算公式,在理解的基础
上记忆坐标运算公式.






教师对于第一个性质引领












































=(a
1
e
1
+a2
e
2
)+(b
1
e
1
+b
2
e
2
)
=a
1
e
1
+b
1
e
1
+a
2
e
2
+b
2
e
2

=(a
1
+b
1
) e
1
+(a
2
+b
2
) e
2

=(a
1
+b
1
,a
2
+b
2
).
请同学仿照上面的证明,自己证明
其他两个结论.
上述向量的坐标运算公式,也可用
语言分别表述为:
两个向量和与差的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差;
数乘向量积的坐标等于数乘上向量
相应坐标的积.

例2 已知 a=(2,1),b=(-3,4),
求a+b,a-b,3a+4b.
解 a+b=(2,1)+(-3,4)
=(-1,5);
a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)
=(6,3)+(-12,16)
=(-6,19).

例3 已知A (x
1
,y
1
),点 B (x
2
,y
2
),

求AB的坐标.
→→→
解 AB=OB-OA
=(x
2
,y
2
)-(x
1
,y
1
)
=(x
2
-x
1< br>,y
2
-y
1
).






y



B (x
2
,y
2
)
学生仔细推导.教师给出具体
的证明步骤.


学生可分组讨论证明其他
两个公式;
小组讨论后,教师对学生
的回答给以补充、完善.
师生共同总结向量的直角
坐标运算公式及文字叙述.



教师简单点拨,学生尝试
解答a+b,a-b,3a+4b.

教师点评,并板书详细的
解题过程.





教师出示问题.
学生阅读图形,讨论并回
答教师提出的问题:

(1)AB是哪两个向量的
差向量?
→→
(2)OA和OB坐标分别为
什么?
教师针对学生的回答进行
点评.
与步骤.




通过学生讨论,
老师点拨,可以突出
解题思路,深化解题
步骤,分解难点.






巩固理解,形成
技能.









可以进一步培养
学生的读图,识图能
力,培养学生数形结
合的思想.









o

x
















































此结论可用语言表述为:
一个向量的坐标等于表示此向量的
有向线段的终点坐标减去始点的相应坐
标.

练习一
1.已知a,b的坐标,求a+b,a-
b:
(1) a=(4,3),b=(-4,8);
(2) a=(3,0),b=(0,4).

2.已知 A,B 两点的坐标,求 AB,

BA 的坐标:
(1) A(-3,4),B(6,3);
(2) A(-3,6),B(-8,-7).

例4 已知A (-2,1),点 B (1,3),
求线段AB中点M的坐标.







解 因为
→→→
AB=OB-OA
=(1,3)-(-2,1)=(3,2);
所以
→→→
OM=OA+AM

1

=OA+AB
2
1
=(-2,1)+(3,2)
2
1
=(-,2).
2
A
O
y
M
1
1 x
B














学生抢答.

教师点拨,学生讨论解答.

老师巡回观察点拨、解答学生

疑难.

教师点评,并板书详细的

解题过程.












在板书例题的过

程中,突出解题思路

与步骤.

























师生共同总结文字结论.






















































1
因此M(-,2).
2

3.用向量的坐标表示向量平行的条

复习:
(1)平行向量基本定理:如果向量
b≠0,则ab 的充分必要条件是,存在
唯一实数λ

使 a=λb;
(2)数乘向量:已 知b=(b
1
,b
2
),
则λb=(λb
1
,λb
2
) .
问题:在直角坐标系中,向量可以用
坐标表示,那么,能否用向量 的坐标表
示两个向量的平行呢?
探究:设 a=(a
1
,a
2),b=(b
1
,b
2
),
如果b ≠ 0,则条件 a=λb 可用坐标表
示为
(a
1
,a
2
)=λ(b
1,b
2
),







师生共同复习.




教师提出问题.引出探究
的问题.

师生共同探究用向量的坐
标表示向量平行的条件.教师
给出具体的探究步骤.

学生尝试解答.











师生共同解决例5,教师
详细板书解题过程,带领学生
仔细分析解题步骤.

为知识迁移做准
备.

































通过例5可让学
生加深对向量平行的
条件的理解.




?
a
1
?
?
b
1

?

a?
?
b
2
?
2
消去 λ,得
a
1
b
2
-a
2
b
1
=0. < br>一般地,对于任意向量a=(a
1
,a
2
),
b=(b
1
,b
2
),都有
ab ? a
1
b
2
-a
2
b
1
=0.

例5 判断下列两个向量是否平行:

(1) a=(-1,3),b=(5,-15);
(2) e=(2,0),f=(0,3).
解 (1) 因为(-1)×(-15)-3×5

=0,所以向量 a 和向量 b 平行;

(2) 因为2×3-0×0=6≠0,所以

向量 e 和 f 不平行.


























例6 已知点A( -2,-1),B(0,4),

向量a=(1,y),并且AB∥a,求a的纵
坐标 y.
解 由已知条件得

AB=(0,4)-(-2,-1)=(2,5),

因为AB∥a,所以
1×5-2×y=0.
5
解得y=.
2

例7 已知点A(-2,-3),B(0,1),
C(2,5),求证:A,B,C三点共线.
证明 由已知条件得

AB=(0,1)-(-2,-3)=(2,4),

AC=(2,5)-(-2,-3)=(4,8).

因为2×8-4×4=0,所以 AB∥

AC,又线段AB和AC有公共点A,所以
A,B,C三点共线.

练习二
1.已知a=(-3,-4),b=(2,y),
并且a ∥b,求y.
2.已知点A(-1,-3),B(0,-1),
C(1,1),求证:A,B,C三点共线.
1.向量的直角坐标
a=a
1
e
1
+a
2
e
2
=(a
1
,a
2
).
2.向量的直角坐标运算:
(1) 两个向量和与差的坐标分别
等于这两个向量相应坐标的和与差;
(2) 数乘向量积的坐标等于数乘
上向量相应坐标的积;
(3)一个向量的坐标等于向量终点

教师点拨,学生讨论解答.










师生合作共同完成.



通过例6进一步
加深学生对向量的坐
标表示向量平行的条
件的理解.










通过学生讨论、
教师点拨,帮助学生
顺利证明A ,B,C
三点共线.再次巩固
用向量的坐标表示向
量平行的思路和步
骤.







学习新知后紧跟
练习有利于帮助学生
更好的梳理和总结本
节所学内容.有利于
教师检验学生的掌握情况.
梳理总结也可针
对学生薄弱或易错处
进行强调和总结.
学生阅读课本,畅谈本节
课的收获,老师引导梳理,总
结本节课的知识点.


的坐标减去始点的相应坐标.
3.若a=(a
1
,a
2
),b=(b
1
,b
2
),则
a∥b ? a
1
b
2
-a
2
b
1
=0.




教材 P49 练习A 组第 1 题(1)
(3),第 2 题(1)(3);
教材 P51 练习 A组第 3题.
巩固拓展.

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