基本面公式从零向量与任何向量都平行说起

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从零向量与任何向量都平行说起

作者：杨冠夏

来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第03期

有的数学老师告诉他的学生，说不要去问那些数学上的规定，为什么要这样规定，说：
“没有‘为什么’”.对于这种回答，北京22中的孙维刚（1938.12—2002.1）老师的评 价是“这太遗
憾了，太残酷了”，说这么好的问题，我们老师“求之不得”.身为全国著名的数学特级教 师的孙
维刚认为“科学上（数学尤其如此）的任何规定，都是有‘为什么’的”.[１]
在学平面向量的时候，我们也会遇到一个规定：“零向量与任一向量平行.”[2]
我们也会问，为什么要这样规定，一定要规定零向量与任何向量都平行呢？零向量的方向
既然可以是任意 的，那么说零向量与a成90°角，成60°角，难道不可以吗？
这个“0∥a”的规定还有更深刻的道理吗？
回答，有.

1 “零向量与任何向量平行”为向量空间概念的形成扫除了障碍

我们知道，向量可以平移.“向量共线”和“向量平行”是同一个概念.
我们假定与某一直线共线（平行）的所有向量组成一个集合A.正是由于规定了零向量与
任何向量都平行 ，才有0∈A.于是这个集合A中的向量才满足下面三条：
1°任给a，b∈A,总有a+b∈A;
2°任给a，c∈A,则必存在b∈A,使 a+b=c成立.我们说b=c-a;(只有封闭的运算才有逆运算）.
3°任给a ，b∈A,(a≠0),则必存在惟一的实数λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,则b∈A.
1°,2°,3°分别说明对于集合A，加法，减法，数乘这三种运算的结果仍然在集 合A当中.我
们把这分别称做加法、减法和数乘，这三种运算对于集合A是“封闭的”.
如果我们不作“零向量与任何向量都平行”的规定，那么，对于某个共线向量集合A.这有可
能我们给定 a∈A.当然-a∈A,然而a+（-a）这样，加法运算对于集合A就不封闭了.
类似地，向量的减法 、数乘，这两种运算的封闭性也都不成立了.