2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.2.1三角函数的概念讲义新人教A版必修第一册

5.2.1 三角函数的概念
学 习 目 标

1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正
切)的定义．(重点、难点)
2．掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象
限的符号．(易错点)
3．掌握公式——并会应用.

核 心 素 养
1.通过三角函数的概念，培养数学抽象
素养．
2．借助公式的运算，提升数学运算素
养.


1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点
O
为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件

在平面直角坐标系中，设α是 一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点
P
(
x
，
y
) ，
那么：
(2)结论
①
y
叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝
y
；
②
x
叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝
x
；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(
x
≠0)．
(3)总结
y
x
y
x
y
＝tan α(
x
≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函
x
数， 正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数

sin α

cos α

定义域
R
R

tan α

?
?
π
?
?
x
∈R
?
x
≠
k
π＋，
k
∈Z
2
?
?
?

?
?
?

?
?
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：

(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一


1．sin(－315°)的值是( )
A．－
2121
B．－ C. D.
2222
2
.]
2
C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
B．第二象限角
D．第四象限角
B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
25
3．sinπ＝________.
3
π
?
325π3
?
[sinπ＝sin
?
8π＋
?
＝sin＝.]
3
?2332
?
4．角α终边与单位圆相交于点
M
?
?
31
?
，
?
，则cos α＋sin α的值为________．
?
22
?
3＋131
[cos α＝
x
＝，sin α＝
y
＝，
222
故cos α＋sin α＝
3＋1
.]
2

三角函数的定义及应用

[探究问题]
1．一般地，设角 α终边上任意一点的坐标为(
x
，
y
)，它与原点的距离为
r
，则sin α，
cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(
x
≠0)．
2．sin α，cos α，tan α的值是否随
P
点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随
P
点在终边上的位置
的改变而改变．
【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点
P
(
x,
3)(
x
≠0)，且cos θ＝
tan θ的值为________．
(2)已知角α的终边落在直线3
x
＋
y
＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
[思路点拨] (1)依据余弦函数定义列方程求
x
→
依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ
(2)
判断角α的分类讨论求sin α，
→
终边位置cos α，tan α
10
x
，则sin θ＋
10y
r
x
r
y
x
310＋30310－30
x< br>2
(1)或 [因为
r
＝
x
＋9，cos θ＝，
1010
r
所以
10
x
x
＝
2
.
10
x
＋9
又
x
≠0，所以
x
＝±1，所 以
r
＝10.
又
y
＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
310310＋30
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.
1010
310
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
10
310－30
则sin θ＋tan θ＝.]
10
(2)[解] 直线3
x
＋
y
＝0，即
y＝－3
x
，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点
(－1，3)，则
r
＝?－1?＋?3?＝2，所以sin α＝
在第四象限取直线上的点(1，－3)，
22
31
，cos α＝－，tan α＝－3；
22

则
r
＝1＋?－3?＝2，
所以sin α＝－

1．将本例(2)的条件“3
x
＋
y
＝0”改为“
y
＝2
x
”其他条件不变，结果又如何？
[解] 当角的终边在第 一象限时，在角的终边上取点
P
(1,2)，由
r
＝|
OP
|＝1＋2＝5，
得sin α＝
2
5
＝
25152
，cos α＝＝，tan α＝＝2.
51
5
5
22
22
31
，cos α＝，tan α＝－3.
22
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点
Q
(－1，－2)，
由
r
＝|
OQ
|＝?－1?＋?－2?＝5，得：
－225－15
sin α＝＝－，cos α＝＝－，
55
55
－2
tan α＝＝2.
－1
2．将本例(2) 的条件“落在直线3
x
＋
y
＝0上”改为“过点
P
(－3< br>a,
4
a
)(
a
≠0)”，求2sin
α＋cos α.
[解] 因为
r
＝?－3
a
?＋?4
a
?＝ 5|
a
|，
①若
a
>0，则
r
＝5
a
，角α在第二象限， < br>22
22
y
4
a
4
x
－3
a
3
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
r
5
a
5
r
5
a
5
83
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
55
②若
a
<0，则
r
＝－5
a
，角α在第四象限 ，
4
a
4－3
a
3
sin α＝＝－，cos α＝＝，
－5
a
5－5
a
5
83
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
55

由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交 ，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应
三角函数值．
②在α的终边上任选 一点
P
(
x
，
y
)，
P
到原点的距离为< br>r
(
r
>0)．则sin α＝，cos α
y
r

＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、
负未 定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用

【例2】 (1)已知点
P
(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限
C．第三象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．
?
?
tan α>0，
(1)C [因为点
P
在第四象限，所以有
?
?
?
cos α<0，
x
r
B．第二象限
D．第四象限

由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
π3π3π
②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
222
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.

判断三角函数值在各象限符号的攻略：
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.

1．已知角α的终边过点(3
a
－9，
a
＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数
a
的取值范围

是________．
－2＜
a
≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，
所以角α的终边 在第二象限或
y
轴非负半轴上，因为α终边过(3
a
－9，
a
＋2)，
?
?
3
a
－9≤0，
所以
?
?
a
＋2＞0，
?

所以－2＜
a
≤3.] αα
?
α
?
2．设角α是第三象限角，且
?
sin?
＝－sin，则角是第________象限角．
2
?
22
?
α
四 [角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
2
αα
?
α
?∵
?
sin
?
＝－sin，∴角是第四象限角．]
2
?
22
?
诱导公式一的应用

【例3】 求值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
7π
?
23π
?
＋tan
?
－
15π
?
cos< br>13π
. (2)sincos
?
－
???
6
?4
?
33
??
[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋
33
＝.
22
π
??
π
?
π
?
π
????
(2)原式＝sin
?
2π＋
?
cos
?
－4π＋
?
＋tan
?
－4π＋
?
·cos
?
4π ＋
?

3
??
6
?
4
?
3
????
ππππ
＝sincos＋tancos
3643
＝
3315
×＋1×＝.
2224

利用诱导公式一进行化简求值的步骤
?1?定形：将已知的任意角写成2
k
π＋α的形式，其中α∈[0，2π?，
k
∈Z.
?2?转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
?3?求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.

3．化简下列各式：
(1)
a
sin(－1 350°)＋
b
tan 405°－2
ab
cos(－1 080°)；
22

?11π
?
＋cos
12
π·tan 4π. (2)sin
?
－
?
6
?
5
?
[解] ( 1)原式＝
a
sin(－4×360°＋90°)＋
b
tan(360°＋4 5°)－2
ab
cos(－
3×360°)
＝
a
sin 90°＋
b
tan 45°－2
ab
cos 0°
＝
a< br>＋
b
－2
ab
＝(
a
－
b
). < br>12
?
11
?
(2)sin
?
－π
?
＋cosπ·tan 4π
5
?
6
?
π
?
2π 1
?
＝sin
?
－2π＋
?
＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
6
?
562
?

1．三角函数的定义 的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把
握住三角函数值只与角的终边所在位 置有关，与所选取的点无关这一关键点．
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反 之不一定成立，记忆时可结
合三角函数定义进行记忆．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉 及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在
坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
222
22
22

1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点
P
(
x
，
y
)，
r
＝|
OP
|≠0，则sin α＝，且
y
越大，sin α的值越
大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在
y
轴上的角的正切函数值为0.( )
[提示] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但
y
变化时，sin α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在
y
轴上的角的正切函数值不存在．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知角α终边过点
P
(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
y
r
y
r

C.
2

2
D．－
2

2
－1
B [由三角函数定义知tan α＝＝－1.]
1
3．在平面直角坐标系
xOy
中，角α与角β均以
Ox
为始边，它们的终边关于
x
轴对称，
1< br>若sin α＝，则sin β＝________.
5
1
－ [设角α的终边与单位圆相交于点
P
(
x
，
y
)，
5
则角β的终边与单位圆相交于点
Q
(
x
，－
y
)，
11
由题意知
y
＝sin α＝，所以sin β＝－
y
＝－.]
55
4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
25π
?
15π
?
. (2)cos＋t an
?
－
?
4
?
3
?
[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.
25π
?
15π
?
(2)cos＋tan
?
－< br>4
?
3
??
π
?
π
???
＝cos
?
8π＋
?
＋tan
?
－4π＋
?

3
?
4
???
ππ13
＝cos＋tan＝＋1＝.
3422