人教版数学必修4和必修5知识点总结

高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点总结

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
t an
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
t an
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?< br>tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
??
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2 sin
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin< br>2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos?
?(sin
?
?cos
?
)
2

⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?< br>?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
,1?cos
?
?2sin
2
?
升幂公式
1?c os
?
?2cos
2
?
22
cos2
?
? 11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?
22
⑶
tan2
?
?

2tan
?
．
1?t an
2
?
万能公式:
αα
2tan1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2
1?tan
2
22
:
26、
半角公式


α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α

1

?

cos

α

sin

1

?

cos

α

α
tan????

2

1

?

cos

α

1

?

cos

α

sin

α

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
?
x?
?
)?B< br>27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
y?Asin(
形式。
?sin
?
??cos
?
? ?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?< br>，其中
tan
?
?
?
．
?
28、三角变换 是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角
公式，掌握运 算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中 ，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和
差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换 ，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的
变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；?
是
?
??
的二倍；是的二倍；
224
?
?
30
o
?
；
cos?
； ②
15?45?30?60?45?
； 问：
sin
1212
2
ooooo

1

< br>③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4?
?
)
；
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?< br>?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2 ）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通
常化 切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三 角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：

1?sin
?
?cos
?
?tan
?
cot
?
?sin90?tan4 5

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处 理的方法。常
用降幂公式有： ； 。 降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
22oo
1?cos
?
常用升幂化 为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______________
；
?______________
；
1?tan
?
1 ?tan
?
tan
?
?tan
?
?___________ _
；
1?tan
?
tan
?
?___________；
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊
值与特殊角的三角函数互化 。
如：
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
tan
?
?cot
?
?
。





2

必修5知识点总结
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、< br>C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则
有abc
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公 式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC< br>；
abc
，
sin??
，
sinC?
；③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
2R2R2R
a?b?cabc
???
④．
sin??sin?? sinCsin?sin?sinC
②
sin??
（正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，
求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S
???C
?
A
b
bsinA
D
a
C
111
bcsin??absinC?acsin?
．
222
22 2222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?，
b?a?c?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余 的量。2、已知三边求角)
C
的对边，
b
、6、如何判断三角形的形状：设
a
、则：①若
a?b?c
，则
C?90
；
c是
???C
的角
?
、
?
、
②若
a?b ?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则
C?90
．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

3
222222
222
B
A

但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数 列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这
些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列；
依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；
数列通项：
a
n
2、等差数列
1、定义 当
n?N
,且
n
2、通项公式
O
OOO
?f(n)

?2
时，总有
a
n?1
?a
n
?d,(d常)
，d叫公差。
a
n
?a
1
?(n?1)d

a
n
?dn?(a
1
?d)
是n的一次函数，其图象是以点
(1,a
1
)
为端点, 斜率为d斜线上一些孤立1）、从函数角度看
点。
2）、从变形角度看
又
a
n
a
n?a
n
?(n?1)?(d
,
)
即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
?a
1
?( n?1)d,a
m
?a
1
?(m?1)d
,
a
n
?a
m
?(n?m)d
，即
a
n
?a
m< br>?(n?m)d
.
a
m
为第一项，
a
n
是第n-m+1项，公差为d；
相减得
若 n>m，则以
若na
m
以为第一项时，
a
n
是第m-n+1项，公差为-d.
?a
q
?2a
1
?(p?q?2)d
，
a
m
?a
n
?2a
1
?(m?n?2)d
,
4
3）、从发展的角度看 若
{a
n
}
是等差数列，则
a
p

因此有如下命题：在等差数列中，若
m?n?
3、前n项和公式
由
相加得
p?q?2r
, 则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?2a
r
.
S
n
?a
1
?a
2
??a
n
,S
n
?a
n
?a
n?1
??a
1
，
S
n
?
a
1
?a
n
n(n?1)
n
， 还可表示为
S
n
?na
1
?d,(d?0)
，是n的二次函 数。
22
特别的，由
a
1
?a
2n?1


3、等比数列
?2a
n
可得
S
2n?1
?(2n?1)a
n
。
1、 定义 当
n?N
,且
n?2
时，总有
a
n
?q(q?0)
, q叫公比。
a
n?1
2、通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
, 在等比数列中，若
m?n?p?q?2r
, 则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?a
r
2
.
3、前n项和公式:
由
S
n
?a
1
? a
2
??a
n
,qS
n
?a
2
?a
3
??a
n
?a
n?1
， 两式相减，
当
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q< br>q?1
时，
S??,(q?1)
；当
q?1
时 ，
s
n
?na
1
。
1?q1?q
关于此公式可以从以下几方面认识：
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
①不能忽视
S?
成立的条件：
q?1
。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导
?
1?q1?q
过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如，公差为d 的等差数列
{a
n
}
，
S
n
相减得
?a
1
x?a
2
x
2
??a
n
x
n< br> ，则
xS
n
?a
1
x
2
?a
2< br>x
3
?a
n?1
x
n
?a
n
xn?1
，
S
n
(1?x)?a
1
x?dx
2
??dx
n
?a
n
x
n?1
，
当 dx(1?x
n?1
)
a
1
x?a
n
x
n?1
dx
2
(1?x
n?1
)
n?1
x?1< br>时，
S
n
(1?x)?a
1
x??a
n
x< br>，
S
n
?

?
2
1?x
1?x(1?x)
?1
时 ，
S
n
?a
1
?a
2
??a
n
?na
1?
n(n?1)d
2
； 当
x
3）从函数角度看

S
n
是n的函数，此时q和
a
1
是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表

名称
定义
等差数列 等比数列
a
n?1
?a
n
?d,(d常)

a< br>n?1
aa
?q,(q常)
，
n?2
?
n?1
(n?N*)

a
n
a
n?1
a
n
5

a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n
(n?N*)


通项
公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
?a
m
?(n?m)d< br>变式：
a
1

a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
.

?a
n
?(n?1)d


性质
m?n?p?q ?2r
?a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?2a
r
.
(d?0可逆)

m?n?p?q?2r
?a
m
?a
n
?a
p
?a
q
?(a
r
).
(q?1可逆)

2


中项
m? n?2r
?a
m
?a
n
?2a
r
.


m?n?2r
?a
m
?a
n
?(a
r< br>)
2
.


单调性
d?0
时 增
d?0
时 常数列
d?0
时 减
a
1< br>?0,q?1
或
a
1
?0,0?q?1
增；
a1
?0,q?1
或
a
1
?0,0?q?1
时减；
q?1
时常数列，
q?0
时摆动数列

前
n
项
和
a?a
S
n
?
1n
n
2

n(n ?1)
?na
1
?d,(d?0)
2
（推导方法：倒加法）
a
1
(1?q
n
)
S?
1?q

a?aq
?
1n
,(q?1)
1?q
（推导方法：错位相消法）
s
n
?na
1
(d?0)

结论1、
s
n
?na
1
(q?1)

2
则
{ka
n
?b}
等差 公差
{a
n
}
等比, 公比q，则
{ka
n
}
等比， 公比q ;
{a
n
}
{a
n
}
等差,公差d ，
kd ；子数列
等差,
等比 ,公比
a
k
,a
k ?m
,a
k?2m
,,a
k?nm
,(m?N
*
)
q
2
;
{a
n
}
等比,公比
q
。 子数列
公差md; 若
{k
n
}
等差 ，公差
d
1
，则
{a
k
差，公差
d
1
?d
。
2、
a
2
,a
4
,a
4
,
n< br>a
2n
等比，公比
q
2
若
{k
n
}
等差,
d
等比 , 公比为
q
}
n
}
等
公差d, 则
{a
k
。
{a
n
}
等差,公差
2d;
d 则
{a
n
?a
n?1
}
等差，公差
{a
n
}
等比, 公比
{a
n?1
?a
n
?a
n?1
}
{a
n?1
?a
n
?a
n? 1
}
等差, 公差3d.
等差, 公差
k
2
?
1
?
1
q , 则
??
等比，公比
q
?
a
n
?
等比，公比

q
3
；
S
k
,S
2k
?S
k
, S
3k
?S
2k
且
S
3k

d
,
{a
n?1
?a
n
?a
n?1
}
等比，公 比q;
?3(S
2k
?S
k
).
即连续相同个数的和成
6

等差数列。
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
为偶数时，
q
k
等比， 公比
q
，（当k
k
。
?0
）
3、
{a
n
}
等差.公差
d?
a
n
?a
m
.

n?m

S
m
?S
n
?S
m?n
?0.

{a
n
}
等比，公比
q?
n?m
a
n
.< br>
a
m
S
n
?m,S
m
?n?S??(m? n).

4、
等差
{a
n
}
共2n项，则 < br>Q
偶
?Q
奇
?(a
1
?a
3
?a< br>2n?1
)(q?1)

a
?
n

Q
偶
?Q
奇
?nd,
Q
奇
a
n?1
等差< br>{a
n
}
，共2n+1项，则
Q
偶
a
1
(1?q
2n
)
=
1?q
Q
偶
?
n
;

n?1
Q< br>奇
?
Q
奇
?Q
偶
?a
n?1
(中) ,

5、
Q
偶
Q
奇
a
2
?a< br>4
?a
2n
?q.

a
1
?a
3< br>?a
2n?1
{a
n
}
等差
?a
n
?a
n?1
?d

?S
n
?
a
1
?a
n
n

2
{a
n
}
等比, 公比q
?a
n
?a
1
q
n?1

a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q

?S
n
??
1?q1?q
?S
n
?a
n< br>?1,(a?0,a?1).

?S
n
?An
2
?B n
?a
n
?kn?b

?a
n
?

联系1、

各项不为0常数列，即是等差，又是等比。

2、
通项公式
3、
4、
5、
6、

S
2n?1
.

2n?1
a
n
?
{
S
1
,(n?1)
S
n
?S
n?1
,( n?2)
.
{a
n
}
等差，公差d，
c?0,c?1
, 则
c
a
1
,c
a
2
c
a
n
,即
{c
a
n
}
等比，公比
c
d
.
log
a
a
n
,
即
{log
a
a
n}
等差,公差
log
a
q
.
aa
公比q,
a
n
?0
(a?0,a?1)
, < br>log
a
1
,log
a
2
,
{a
n
}
等比，
{a
n
}
等差,
{b
n
}
等比, 则
{a
n
?b
n
}
前n项和求法，利用错位相消法
求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。

5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用 递推式表示。求递推

7

数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如
的基本方法，其中数列
a
n?1
?a
n
?f(n)
递推数列
{f(n)}
可求前n项和，即
a
n
?a
1< br>?(a
2
?a
1
)??(a
n
?a
n?1< br>)
；累乘法是求形如
{g(n)}
可求前n项积，即
a
n ?1
?g(n)?a
n
a
n
?a
1
?
a< br>2
a
3
?
a
1
a
2
递推数列通项公式的基本方法，其中数列
a
n
,(a?0)
.
a
n?1
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
的数列等。
例题：已知数列{a
n}的通项为a
n
=
?
c
?
?
其中{
a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘
?
an
a
n?1
?
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解：观察后发现：a
n
=
11
?

nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a
n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)
223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数 列，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列 {a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
n
，求这个数 列的前n项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
? a
1
?a
2
?a
3
?????a
n

=
1?2?2?2?3?2?????n?2

即
123n
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?23
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：

8

s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s
n< br>=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
???? ?n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2?2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1? 2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2
n?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
∴
sn
?(n?1)2
n?1
?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论

n(n?1)
?
1
?
2
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
3）
13
?2
3
???n
3
?
?
n(n?1)
?

2
?
2
?
4）
1?2?3???n?
2222
2
1
111
n(n?1)(2n?1)
5）
??
6
n(n?1)nn?1
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
6）

31、
a?b?0?a?b；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
nn
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a? b
?
n??,n?1
?
；
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
⑧
a?b? 0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）

9

求解不等式：
a
0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
?
?
?a
n?0(?0)(a
0
?0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)?(x-x
m
)>0(<0) 形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一
方便)


②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从右向左、 从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各
根的点（为什么？）；
④ 若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则
找“线”在x轴下方的区间.







（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x?3x?6x?8?0
的解集。
解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图








由图可看出不等式
x?3x?6x?8?0
的解集为：

10
22
22
+

X
1
+

—
X
2
X
3
+

X
n-2
X
n-1
—
X
n
+

X

+
+
1
?

-2
?

4
x

?
x|?2?x?1,或x?4
?

例题：求解不等式
解：略


一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数

??0

??0

??0

2
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象
一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根


无实根

R


?


?


ax
2
?bx?c?0
?
a?0< br>?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2< br>(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a

b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??

?
xx
1
?x?x
2
?

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x)?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)

例题：求解不等式：
解：略
1
??1

x

11

例题：求不等式
x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
x|x??a,或x?a

变型：
其中-c|ax?b|?c(c?0)型的不等式的解集可以由
?
x|?c?ax?b? c
?
解得。
式组
?
??
?
ax?b?c
在解-cax?b??c
?
ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c,或ax?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
|x?2|?1

解：略
例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0

解得：
x??3和x?2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
3 2
x
11
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
11
?
x??

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
??
?3?x?2

??
?(x?2)?(x?3)?10x?R
??
③当
x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：

12

?
x?2
?
x?2
9
?
?
?
9
?
2?x?

?
2
?
(x?2)?(x?3)?10
?
x?< br>?2
由①②③得原不等式的解集为：
?
x|?
函数图像法：
令
f(x)?|x?2|?|x?3|

?
?
119
?
?x?
?
（注：是把①②③的解集并在一起）
22
?
y
f(x)
=10
5
?
?2 x?1(x??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x ?2)

?
2x?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此 分段函数及
f(x)?10
的图像如图
?
11
?3
2
o
2
9

2
x
由图像可知原不等式的解集为：
?
x|?
2
?
?
119
?
?x?
?

22
?
4.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
y 设ax+bx+c=0的两根为
?
、
?
，f(x)=ax+bx+c,那 么：
22
?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
? 0,
?
?0
，则有
?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?



o
?

对称轴x=
?
?

x
b

2a
?
??0
?
b
?
②若两 根都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
??0< br>
2a
?
?
?
f(0)?0





y
13
y
?

对称轴x=
?
?

b

2a
o x

?

o x
?

③若两根有一 根小于0一根大于0，即
?
?0?
?
，则有
f(0)?0




④若两根在两实数m,n之间，即
m?
?
?
?
?n
，
y
?
??0
?
b
?
m???n
?
则有
?

2a
?
f(m)?0
o
m
?
?
?f(n)?0
⑤若两个根在三个实数之间，即
m?
?
?t?
?< br>?n
，
y
?

X=
?
?

n
b

2a
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?



。。。。。。还有很多，见课件
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数 < br>例如：若方程
x
2
?2(m?1)x?m
2
?2m?3?0< br>有两个正实数根，求
m
的取值范围。
o m
?
X=
?
t
?

n
x
b

2a
?
4(m?1)
2
?4(m
2< br>?2m?3)?0
?
??0
?
m??1
??
?
解：由①型得
?
?
?
?
?0
?
?
2(m ?1)?0
?
?
m??1
?
m?3

?
?
?
?
?0
?
m??1,或m?3
?
m
2< br>?2m?3?0
??
?
所以方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如：方程
x?x?m?1?0
的一根大于1，另一根小于1，求
m
的范围。
22
?
55
22
?
?
??0
?
(?1)?4(m?1)?0
?m?
?
?
解：因为有两个不同的根， 所以由
?
?
?
2
?
?
22
?
?1 ?m?1

2
?
?
f(1)?0
?
1?1?m?1 ?0
?
?1?m?1
?
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数 的次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

14

a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
a b
称为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
?ab
． 42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
41、设
a、
b
是两个正数，则
43、常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
22
a
2
?b
2
；②< br>ab?
?
a,b?R
?
；③
2
?
a?b?
ab?
??
?
a?0,b?0
?
；
?2
?
a
2
?b
2
?
a?b
?
④
?
??
?
a,b?R
?
．
22
??< br>44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有：
2
2
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时 ，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y4
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
例题：已知
x?
解：∵
x?
51
，求函数
f(x)?4x?2?
的最 大值。
44x?5
5
，∴
4x?5?0

4
由原式可以化为：

f(x)?4x?5?5?2?

当
5 ?4x?
1111
??(5?4x)??3??[(5?4x)?]?3??(5?4x)?? 3??1?3?2
4x?55?4x5?4x5?4x
13
2
，即
( 5?4x)?1
?
x?1，或x?(舍去）
时取到“=”号
5?4x2也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
?2


15