(完整word版)高中数学必修四第二章习题

习题课(2)
一、选择题(每小题5分，共30分)
3
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为
2
，则a·b等于( )
A．3
C．2
9
B.
2

1
D.
2

3
解析：设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝
2
，
39
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×
2
＝
2
.
答案：B
2．已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，则|a＋b|＝( )
A．23
C.23
B．35
D.35
解析：|a＋ b|
2
＝(a＋b)
2
＝a
2
＋2a·b＋b
2< br>＝23.
答案：C
π
3．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋 转
4
得到向量b，
则向量b的坐标为( )
232
A．(－
2
，－
2
)
322
C．(－
2
，
2
)
232
B．(
2
，
2
)
322
D．(
2
，－
2
)
解析：设b＝(x，y)，由已知条件，知

|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.
x
2
＋y
2
＝5，
?
?
∴
?
?
?
2 x＋y＝5×
2
5×
2
，


?
解得?
32
?
y＝
2
，
2
x＝
2
，

?
或
?
2
?
y＝－
2
.32
x＝
2
，


π
∵向量a按逆时针旋转< br>4
后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，
y>0，
232
∴b＝(
2
，
2
)，故选B.
答案：B
→→→→→→
4．已知OA＝(－3,1)，OB＝(0,5)，且AC∥OB，BC⊥AB， 则点C
的坐标是( )
29
A．(－3，－
4
)
29
C．(3，
4
)
29
B．(－3，
4
)
29
D．(3，－
4
)
解析：设点C的坐标为(x，y)，则
→→
AC
＝(x＋3，y－1)，AB＝(3,4)，
→
BC
＝(x，y－5)．
→→→→
∵AC∥OB，BC⊥AB，

?
?x＋3?×5－0×?y－1?＝0，
∴
?
?< br>3x＋4?y－5?＝0，
?
?
x＝－3，
解得
?
2 9
?
?
y＝
4
，
答案：B



29
∴C(－3，
4
)．
→→→→
5．已知向量OA＝( 2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP
有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0)
C．(3,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则
→→
AP
＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．
→→
AP·BP
＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x
2
－6x＋10＝(x－3)
2
＋1.
→→
当x＝3时，AP
·BP
有最小值1，
此时点P的坐标为(3,0)，故选C.
答案：C
→→
6．设O为△AB C的外心，OD⊥BC于D，且|AB|＝3，|AC|＝1，
→→→
则AD·(AB－AC) 的值是( )
A．1 B．2
B．(2,0)
D．(4,0)

C.2 D.3
解析：由题意知，D为BC的中点，
→
1
→→
AD
＝
2
(AB
＋AC
)，
→ →→
1
→→→→
1
→→
2
所以AD
·(AB
－AC
)＝
2
(AB
＋AC
)·(AB
－AC
) ＝
2
(|AB|
－|AC
|
2
)＝1，
故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
→
7．已知A(1,2) ，B(3,4)，|n|＝2，则|AB·n|的最大值为________．
→→→
解析：AB
＝(2,2)，|AB
|＝22，|AB·n|≤
→→
|AB||n|＝4，当且仅当AB
与n共线且同向时取等号．
答案：4
8．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝ 4，
则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析：由已知，得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，所以向量a与b同向．
又因为向量c与它们反向，
所以a·b＋b·c＋c·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°
＝3－4－12＝－13.
答案：－13

9．已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点 ，
→→→→
则(AP＋BD)·(PB＋PD)的最大值为________．
→→
解析：设AP
＝λAC
(0≤λ≤22)，则
→→→→→
AP
＋BD＝λAC＋AD－AB

→→→→
＝λ(AD＋AB
)＋AD
－AB

→→
＝(λ＋1)AD＋(λ－1)AB，
→→→→→→
PB
＋P D＝(PA＋AB
)＋(PA
＋AD
)
→→→
＝2PA＋AB＋AD

→→→
＝AB＋AD－2λAC

→→
＝(1－2λ)(AB＋AD
)，
→→→→
∴(AP＋BD
)·(PB
＋PD
)
→→→→< br>＝[(λ＋1)AD＋(λ－1)AB
][(1－2λ)·AB
＋(1－2λ)AD]
→→
2
＝(λ＋1)(1－2λ)AD＋(λ－1)(1－2λ)·AB2

＝－16λ
2
＋8λ(0≤λ≤22)．
→→→→
∴(AP＋BD
)·(PB
＋PD
)的最大值为
＝1.
4×?－16?
－8
2

答案：1
三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．
(1)若a⊥b，求k的值；
(2)若|a＋b|不超过5，求k的取值范围．
解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
即(－2,2)·(5，k)＝0，
(－2)×5＋2k＝0?k＝5.
(2)a＋b＝(3,2＋k)，
∵|a＋b|≤5，
∴|a＋b|
2
＝3
2
＋(2＋k)
2
≤25，
得－6≤k≤2.
11．(本小题15分)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它< br>们之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证法1∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0 ，
∴(a－b)⊥c.

→→→
证 法2如图所示，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.由题意可知，连接
AB，AC，BC的三条线段围成 正三角形ABC，O为△ABC的中心，
→
∴OC⊥AB，又∵BA＝a－b，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|>1，
即k
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
1
∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－
2
，
∴k
2
－2k>0，解得k<0，或k>2.
即k的取值范围是k<0，或k>2.
12．(本小题15分)平面直角坐标系内有点P(1 ，cosx)，Q(cosx,1)，
ππ
x∈[－
4
，
4
]．
→→
(1)求向量OP和向量OQ的夹角θ的余弦值；
(2)令f(cosx)＝cosθ，求f(cosx)的最小值．
解：(1)由题意得，
→→
OP
＝(1，cosx)，OQ＝(cosx,1)．

→→
∴OP
·OQ
＝2cosx.
→
又∵ |OP
|＝
→
|OQ|＝
1＋cos
2
x，
1＋cos
2
x，
→→
OP·OQ2cosx
∴cosθ＝＝
.
→→
1＋c os
2
x
|OP||OQ|
→→
2cosx
∴向量OP和向 量OQ的夹角θ的余弦值为
.
2
1＋cosx
(2)由(1)得
2cosx
ππ
f(cosx)＝
，x∈[－，
4
]． < br>2
4
1＋cosx
2
设t＝cosx，则
2
≤t≤1 .
2t22
∴f(t)＝＝
1
，
2
≤t≤1.
2
1＋t
t＋
t
21
可以证明，当
2
≤t≤1时， t＋
t
为减函数，
2t
则f(t)＝是增函数．
2
1＋t
∴f(cosx)的最小值是
2
2×
2
222
f(
2
)＝
＝
3
.
2
1＋?
2
?
2