高中数学必修四(期末试卷-含答案)

.
数学必修四测试卷
一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）
1．函数
y
＝sin ＋cos
?
?
?
0 ＜
?
＜
π
?
2
?
?
的值域为( )．
A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，
2
] D．(－1，
2
)
2．锐角三角形的内角
A
，
B
满足tan
A
－
1
sin2A
＝tan
B
，则有( )．
A．sin 2
A
－cos
B
＝0 B．sin 2
A
＋cos
B
＝0
C．sin 2
A
－sin
B
＝0 D．sin 2
A
＋sin
B
＝0
3．函数
f
(
x
)＝sin
2
?
?
?
x＋
π
?
4
?
?
－sin
2
?
?
?
x－
π< br>?
4
?
?
是( )．
A．周期为 的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为2的偶函数 D．周期为2的奇函数
4．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
r
C．
|
r
a
与
r

rrrr
a?< br>uur
b
是共线向量，
r
b
与
c
是共线向量 ，则
a
与
c
是共线向量
D．若
u
b|?|a?b
r
|
，则
a
r
?b
r
?0

a
uruur
r
r
0
与
b
0
是单 位向量，则
a
0
?b
0
?1

5．已知
a
r
,b
r
均为单位向量，它们的夹角为
60
0
，那 么
a
r
?3b
r
?
（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．
4

6．已知向量
r
a
，
r
b
满足
r
a?1,
r
b?4,
且
r
a?
r
b?2
,
则
r
a
与
r
b
的夹角为
A．
?
6
B．
?
4
C．
?
3
D．
?
2

7.在ABC中，2s inA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则C的大小应为( )
A．
?
B．
?
C．
?
5
D．
?
3
6

6
或
6
?

3
或
2
?
3

8. 若，则对任意实数的取值为（ ）
A. 区间（0，1） B. 1 C. D. 不能确定
9. 在中，，则的大小为（
可编辑

）

.
A. B. C. D.
10. 已知角
?
的终边上一点的坐标为（
sin
（ ）。
A、
2
?
2
?
），则角
?
的最小值为
,cos
33
5
?
2
?
5
?
11
?
B、 C、 D、

6336
11. A，B，C是?
ABC的三个内角，且
tanA,tanB
是方程
3
x
2
?
5
x?
1
?
0
的两个实
数根，则< br>?
ABC是（ ）
A、等边三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角
形
1
,
则
cosxsiny
的取值范围是（ ）
2
311311
A、
[?1,1]
B、
[?,
]
C、
[?,]
D、
[?,]

222222


12. 已知
sin
x
cos
y
?
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共 20分）
13.已知方程
x
2
?
4
ax?
3a?
1
?
0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?< br>，
tan
?
，
?
?
?
?
?
?
?
且
?
、
?
?
?
?
,
?
，则
tan
的值是_________________.
2
?
2
2
?
rrrrrr
14. 若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|?
。
15.给出四个命题：①存在实数
?
，使
sin
?
co s
?
?1
；②存在实数
?
，使
sin
?
? cos
?
?
35
?
?
5
?
；③
y ?sin(?2x)
是偶函数；④
x?
是函数
y?sin(2x?)
2284
的一条对称轴方程；⑤若
?
,
?
是第一象限角，且
?
?
?
，则
sin
?
?sin
?
。其中< br>所有的正确命题的序号是_____。

?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝，
?
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
1
6
π
?
，则sin 4∈
?
，
?
π
?
2
?
?
的值为 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知，求
可编辑
的最小值及最大值。

.












sin2x＋ 2sin
2
x
3
7?7?
?
π
?
18.（ 12分）已知cos
?
＋ x
?
＝，＜
x
＜，求的值．
1－tanx
5
124
?
4
?










19.（12 分）已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数，其
3
?
图像 关于点M
(
?
,0)
对称，且在区间[0，
]上是单调函数，求?
和
?
的值。
4
2











?
?
3 3
?
?
?
xx
??
?
?
20.（12分） 已知向量
a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
c os,?sin
?
,且
x?
?
0,
?
,
求
22
?
22
???
?
2
?
可编辑

.
?
?
?
?
(1)
a
?
b
及
a?b
;
?
?
?
?
3
(2)若
f
?x
?
?
a
?
b
?2
?
a
?< br>b
的最小值是
?
,求实数
?
的值.
2









rr
25
rr
21. （12分）已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
，
b?(cos
?
,sin
?
)
，
a?b?
．
5
（1）求
cos(
?
?
?
)
的值；
（2）若
0
?
?
?











22.（12分）已知向量
a?(cos
其中
x?R
．
（1）当
a?b
时，求
x
值的集合；
（2）求
|a?c|
的最大值．



可编辑
?
2
，
?
?
2
?
?
?0
，且
sin
?
??
5
，求
sin
?
的值．
13
3x3xxx
，sin
)
，
b?(cos，?sin)
，
c?(3，?1)
，
2222

.
















2011～2012学年度下学期期末考试
高一数学答案（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）
1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD
1．C 解析：∵ sin ＋cos
2
]．
＝
2
sin(＋
?
)，又
4
∈(0，
π
)，∴ 值域为(1，
2
2．A 解析：由tan
A
－
sin(A－B)

cosAcosB
11
1
＝tan
B
，得＝tan
A
－tan
B
?
＝
sin2Asin2A
2si nAcosA
?
cos
B
＝2sin
A
sin(
A
－
B
)
?
cos[(
A
－
B
)－
A
]＝2sin
A
sin(
A
－
B
)
?
cos(
A
－
B
)cos
A
－sin
A
sin(
A
－
B
)＝0，即cos(2
A
－
B
)＝0．
∵ △
ABC
是锐角三角形，
∴ －
π
＜2
A
－
B
＜π，
2
?
?
sin 2
A
＝cos
B
，即sin 2
A
－cos
B
＝0．
2
π
???
π
??
π
?
3．B 解析：由 sin
2
?
x－
?
＝sin
2
?
－x?
＝cos
2
?
＋x
?
，
4
???
4
??
4
?
∴ 2
A
－
B
＝
可编辑

.
π
?
π
???
2
?
π
得
f
(
x< br>)＝sin
2
?
?
x＋
?
－cos
?
＋x
?
＝－cos
?
2x＋
?
＝sin 2
x
．
?
4
??
4
??
2
?< br>r
r
4.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当
b?0
时，
a
与
c
可以为任
意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
r r
2
rr
2
r
r
b?9b?1?6cos60
0< br>?9?13

5. C
a?3b?a?6ag
r
r
agb21
?
6. C
cos
?
?
r
r
??,
?
?

3
ab
42
7. 正确答案：B 错因：学生求
8.解一：设点


解得
选B
C有两解后不代入检验。
，则此点满足
或 即
解二：用赋值法， 令 同样有选B
说明：此题极易认为答案B最不可能，怎么能会与无关 呢？其实这是我们
忽略了一个隐含条件
9. 解：由
，导致了错选为C或D。
平方相加得
若 则
又 选A
可编辑

.
说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我
们要注意对题目条件的挖掘。
10. 正解：D
23511
2
?
2
?
tan< br>?
?cos
?
??,?
?
?
?
或
?
?
?
，而
sin?0cos?0

3366
33< br>所以，角
?
的终边在第四象限，所以选D，
?
?
11
?

6
22
误解：
tan
?
?tan
?< br>,
?
?
?
,选B
33
11. 正解：D
3
?
tanA?tanB?
?
?
5
由韦达定理得：
?

1
?
tanAtanB?
?
3
?
5
tanA?tanB5
?tan(A?B)??
3
?

1? tanAtanB
2
2
3
在
?ABC
中，
tanC ?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)??
5
?
0
2
??C
是钝角，
??ABC
是钝角三角形。
12. 答案：D设
cos
x
sin
y
?
t
,则(sin
x
cos
y
)(cos
x
sin
y
)?
由
sin2xsin2y?1即2t?1??
错解：B、C
1
t
，可得sin2x sin2y=2t,
2
11
?t?
。
22
11
错因：将
sin
x
cos
y?
与cos
x
sin< br>y?t
相加得sin(
x?y
)
??t
由
22131
?1?sin(x?y)?1得?1??t?1得??t?
选B，相减时选C，没有 考虑上述
222
两种情况均须满足。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
可编辑

.
13.-2 14.
6
15. ③④ 16. －
42

9
13. 正确解法：
?a?1

?< br>tan
?
?tan
?
??4a
?0
，
tan
?
?tan
?
?3a?1?o

?
tan
?
,tan
?
是方程
x
2
?
4
ax?
3
a?
1
?
0
的两个负根 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?,0
?

又
?
,
?
?
?
?,
?

?
?
,
?
?
?
?,0
?
即2
?
2
??
2
?
?
22
?
由
tan
?
?
?
?
?
=
答案: -2 .
14.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
tan
?
?tan
?
?4a
4
?
?
?
= =可得
tan??
2.

1?tan
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?
32
r
2
r
2
r
r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
r
r
2
r
2

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6

15.正解：③④
111
sin2
?
?[?,],?sin
?
cos
?
?1
不成立。
222
?
3
②
sin
?
?cos
??2sin(
?
?)?[?2,2],?[?2,2],?
不成立。
42
5
?
?
③
y?sin(?2x)?sin(?2x)?cos2x
是偶函数，成立。
22
?
5
?
3
?
?
④ 将
x?< br>代入
2x?
得
,
?
x?
是对称轴，成立。
8428
①
sin
?
cos
?
?
⑤ 若
?
?390
?
，
?
?60
?
,
?
?
?
,
但
sin
?
?sin
?
， 不成立。
误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。
⑤没有注意 到第一象限角的特点，可能会认为是
(0
?
,90
?
)
的角 ，从而根据
y?sinx
做出了错误的判断。
16．－
42
．
9
??
??
??
解析：∵ sin
?
－
?
?
＝sin
?
－
?
＋
?
?
?
＝cos
?
＋
?
?
，
π
?
4
?
?
π
?
2
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
∴ sin
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝

?
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
1
6
可编辑

.
1
?
π
??
π
?
?< br>sin
?
＋
?
?
cos
?
＋
?
?
＝

6
?
4
??
4
?
1
?
π
?
?
sin
?
＋ 2
?
?
＝．
3
?
2
?
∴ cos 2
∵ sin 2
∴ sin 4
＝，又
1
3
∈(，π)，∴ 2
22
，
3
42
．
9
?
2
∈(π，2π)．
＝－
1－cos
2
2
?
＝－
＝2sin 2cos 2＝－
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 解：

令 则
当时，
时，

；当时， 而对称轴为
说明：此题易认为
件
，最大值不存在，这是忽略了条
不在正弦函数的值域之内。
18. 解：∵
∴
7?
7?5?
?
＜
x
＜，∴ ＜＋
x
＜2
4
126
4
3
?
5
?
44
?π
??
π
?
，∴ sin
?
＋ x
?
＝－，tan
?
＋ x
?
＝－．
53
?
4
??
4
?
．又cos
?
＋ x
?
＝＞0，
?
π
?
4
3??
＜＋
x
＜2
24
?
π
?
7
?
π
??
π
?
又 sin 2
x
＝－cos
?
＋ 2x
?
＝－cos 2
?
＋ x
?
＝－2cos
2
?
＋ x
?
＋1＝， 25
?
4
??
4
?
?
2
?
s in2xcosx＋2sin
2
xcosx
sin2x＋2sin
2
x
sin2x(cosx＋sinx)
∴ 原式＝＝＝

sinx
c osx－sinx
cosx－sinx
1－
cosx
＝
sin2x( 1＋tanx)28
?
＝sin 2
x
·tan(＋
x
)＝－．
4
1－tanx75
19. 正解：由
f(x)
是偶函数，得
f(?x)?f(x)

故
sin(?
?
x??)?sin(
?
x??),??cos?sin
?
x?cos?sin
?
x

对任意x都成立，且
?
?0,?cos??0

可编辑

.
依题设0≤
?
≤
?
，
???
?
2

33
由
f(x)
的图像关于点M对称，得
f(
?
? x)??f(
?
?x
)

44
333
取
x ?0得f(
?
)??f(
?
),?f(
?
)
?0

444
33
?
x
?
3
?
x3
?
x
?
f(
?
)?sin(?)?cos(),?co s()?0

44244
3
?
x
?
又
?< br>?0
，得
??k
?
,
k?
0,1,2......< br>
42
2
?
?
?(2k?1),k?0,1,2...
3
22
?
?
当
k?0
时，
?
?,f( x)?sin(x?
)
在
[0,]
上是减函数。
3322
当
k?1
时，
?
?2,f(x)?sin(2x?
当
k≥2时，
?
?
?
)
在
[0,]
上是减函数。
22
?
10
?
?
,f(x)?sin(
?
x?
)
在
[0,]
上不是单调函数。
322
2
所 以，综合得
?
?
或
?
?2
。
3
误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后
?
只得一解。
?10
②对题目条件在区间
[0,
]
上是单调函数，不进行讨论，故对?
≥不
23
能排除。
?
?
20. 错误分析:(1) 求出
a
?
b
=
2?2cos2x
后,而不知进一步化为2cosx
,人为增加
难度;
(2)化为关于< br>cosx
的二次函数在
?
0,1
?
的最值问题,不知对对称轴 方
程讨论.
?
?
?
?
答案: (1)易求
a?b?cos2x
,
a
?
b
=
2cosx

(2)
?
?
?
?
f
?
x
?
?a?b?2
?
a?b
=
cos2x?2
?
?2cosx
=
2c os
2
x?4
?
cosx?1

=< br>2
?
cos
x?
?
?
?
2
?
2
?
1

2
?
?
?

?x?
?
0,
?

?cosx?
?
0,1
?

?
2
?
可编辑

.
从而:当
?
?0
时,
f
?
x
?
min
??
1
与题意矛盾,
?
?0
不合题意;
31
当
0?
?
?1
时,
f
?
x
?
mi n
??2
?
2
?1??,?
?
?

22
35
当
?
?1
时,
f
?
x
?
min
?1?4
?
??
,
解得< br>?
?
,不满足
?
?1
;
28
1
综合可得: 实数
?
的值为.
2
vv
21. 解（Ⅰ）
Q
a?
?
cos
?
，
sin
?
?
，
b?
?
cos
?
，
sin
?
?
,
vv
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
， sin
?
?sin
?
?
.
vv
25
Qa?b?
,
?
5
?
co s
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
43
.
?cos
?
?
?
?
?
?
.
55
22
?
25
,
5
即
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（Ⅱ）
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2
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34

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55
512

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5
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33
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5135
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13
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65
22. 解：（Ⅰ）由< br>a?b
，得
a
?
b?0
，即
cos
分
则
cos2x?0
，得
x?
5分
∴
3xx3xx
cos?sinsin?
0
．…………4
2222
k
ππ
…………………………………
?
(
k?Z
)
．
24
k
ππ
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x|x??，k?Z
??
24
??
为所
求．…………………………………6分
（Ⅱ）
|a
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c|
2
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(cos
3x3x3x
π
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3)
2
?
(sin?1)
2
?5?4sin(?)
，……………
2223
可编辑

.
10分
所以
|a?c|
有最大值为
3．……………………………………………………12分

可编辑