高中数学中的泰勒-高中数学必修试卷分析
.
数学必修四测试卷
一、选择题(本大题共12道小题,每题5分,共60分)
1.函数
y
=sin +cos
?
?
?
0 <
?
<
π
?
2
?
?
的值域为(
).
A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,
2
]
D.(-1,
2
)
2.锐角三角形的内角
A
,
B
满足tan
A
-
1
sin2A
=tan
B
,则有( ).
A.sin 2
A
-cos
B
=0 B.sin 2
A
+cos
B
=0
C.sin 2
A
-sin
B
=0 D.sin
2
A
+sin
B
=0
3.函数
f
(
x
)=sin
2
?
?
?
x+
π
?
4
?
?
-sin
2
?
?
?
x-
π<
br>?
4
?
?
是( ).
A.周期为 的偶函数
B.周期为的奇函数
C.周期为2的偶函数 D.周期为2的奇函数
4.下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若
r
C.
|
r
a
与
r
rrrr
a?<
br>uur
b
是共线向量,
r
b
与
c
是共线向量
,则
a
与
c
是共线向量
D.若
u
b|?|a?b
r
|
,则
a
r
?b
r
?0
a
uruur
r
r
0
与
b
0
是单
位向量,则
a
0
?b
0
?1
5.已知
a
r
,b
r
均为单位向量,它们的夹角为
60
0
,那
么
a
r
?3b
r
?
( )
A.
7
B.
10
C.
13
D.
4
6.已知向量
r
a
,
r
b
满足
r
a?1,
r
b?4,
且
r
a?
r
b?2
,
则
r
a
与
r
b
的夹角为
A.
?
6
B.
?
4
C.
?
3
D.
?
2
7.在ABC中,2s
inA+cosB=2,sinB+2cosA=
3
,则C的大小应为( )
A.
?
B.
?
C.
?
5
D.
?
3
6
6
或
6
?
3
或
2
?
3
8. 若,则对任意实数的取值为(
)
A. 区间(0,1) B. 1 C. D. 不能确定
9.
在中,,则的大小为(
可编辑
)
.
A. B. C. D.
10.
已知角
?
的终边上一点的坐标为(
sin
( )。
A、
2
?
2
?
),则角
?
的最小值为
,cos
33
5
?
2
?
5
?
11
?
B、 C、 D、
6336
11. A,B,C是?
ABC的三个内角,且
tanA,tanB
是方程
3
x
2
?
5
x?
1
?
0
的两个实
数根,则<
br>?
ABC是( )
A、等边三角形 B、锐角三角形
C、等腰三角形 D、钝角三角
形
1
,
则
cosxsiny
的取值范围是( )
2
311311
A、
[?1,1]
B、
[?,
]
C、
[?,]
D、
[?,]
222222
12. 已知
sin
x
cos
y
?
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共
20分)
13.已知方程
x
2
?
4
ax?
3a?
1
?
0
(a为大于1的常数)的两根为
tan
?<
br>,
tan
?
,
?
?
?
?
?
?
?
且
?
、
?
?
?
?
,
?
,则
tan
的值是_________________.
2
?
2
2
?
rrrrrr
14.
若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|?
。
15.给出四个命题:①存在实数
?
,使
sin
?
co
s
?
?1
;②存在实数
?
,使
sin
?
?
cos
?
?
35
?
?
5
?
;③
y
?sin(?2x)
是偶函数;④
x?
是函数
y?sin(2x?)
2284
的一条对称轴方程;⑤若
?
,
?
是第一象限角,且
?
?
?
,则
sin
?
?sin
?
。其中<
br>所有的正确命题的序号是_____。
?
+
?
?
sin
?
-
?
?
=,
?
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
1
6
π
?
,则sin
4∈
?
,
?
π
?
2
?
?
的值为
.
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知,求
可编辑
的最小值及最大值。
.
sin2x+
2sin
2
x
3
7?7?
?
π
?
18.(
12分)已知cos
?
+ x
?
=,<
x
<,求的值.
1-tanx
5
124
?
4
?
19.(12
分)已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数,其
3
?
图像
关于点M
(
?
,0)
对称,且在区间[0,
]上是单调函数,求?
和
?
的值。
4
2
?
?
3
3
?
?
?
xx
??
?
?
20.(12分)
已知向量
a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
c
os,?sin
?
,且
x?
?
0,
?
,
求
22
?
22
???
?
2
?
可编辑
.
?
?
?
?
(1)
a
?
b
及
a?b
;
?
?
?
?
3
(2)若
f
?x
?
?
a
?
b
?2
?
a
?<
br>b
的最小值是
?
,求实数
?
的值.
2
rr
25
rr
21. (12分)已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
,
b?(cos
?
,sin
?
)
,
a?b?
.
5
(1)求
cos(
?
?
?
)
的值;
(2)若
0
?
?
?
22.(12分)已知向量
a?(cos
其中
x?R
.
(1)当
a?b
时,求
x
值的集合;
(2)求
|a?c|
的最大值.
可编辑
?
2
,
?
?
2
?
?
?0
,且
sin
?
??
5
,求
sin
?
的值.
13
3x3xxx
,sin
)
,
b?(cos,?sin)
,
c?(3,?1)
,
2222
.
2011~2012学年度下学期期末考试
高一数学答案(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共12题,共60分)
1-5
CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD
1.C 解析:∵ sin +cos
2
].
=
2
sin(+
?
),又
4
∈(0,
π
),∴ 值域为(1,
2
2.A
解析:由tan
A
-
sin(A-B)
cosAcosB
11
1
=tan
B
,得=tan
A
-tan
B
?
=
sin2Asin2A
2si
nAcosA
?
cos
B
=2sin
A
sin(
A
-
B
)
?
cos[(
A
-
B
)-
A
]=2sin
A
sin(
A
-
B
)
?
cos(
A
-
B
)cos
A
-sin
A
sin(
A
-
B
)=0,即cos(2
A
-
B
)=0.
∵ △
ABC
是锐角三角形,
∴
-
π
<2
A
-
B
<π,
2
?
?
sin 2
A
=cos
B
,即sin 2
A
-cos
B
=0.
2
π
???
π
??
π
?
3.B 解析:由
sin
2
?
x-
?
=sin
2
?
-x?
=cos
2
?
+x
?
,
4
???
4
??
4
?
∴
2
A
-
B
=
可编辑
.
π
?
π
???
2
?
π
得
f
(
x<
br>)=sin
2
?
?
x+
?
-cos
?
+x
?
=-cos
?
2x+
?
=sin
2
x
.
?
4
??
4
??
2
?<
br>r
r
4.C 单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当
b?0
时,
a
与
c
可以为任
意向量;
|a?b|?|a?b|
,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
r
r
2
rr
2
r
r
b?9b?1?6cos60
0<
br>?9?13
5. C
a?3b?a?6ag
r
r
agb21
?
6. C
cos
?
?
r
r
??,
?
?
3
ab
42
7. 正确答案:B
错因:学生求
8.解一:设点
解得
选B
C有两解后不代入检验。
,则此点满足
或 即
解二:用赋值法, 令 同样有选B
说明:此题极易认为答案B最不可能,怎么能会与无关
呢?其实这是我们
忽略了一个隐含条件
9. 解:由
,导致了错选为C或D。
平方相加得
若 则
又
选A
可编辑
.
说明:此题极易错选为,条件比较隐蔽,不易发现。这里提示我
们要注意对题目条件的挖掘。
10. 正解:D
23511
2
?
2
?
tan<
br>?
?cos
?
??,?
?
?
?
或
?
?
?
,而
sin?0cos?0
3366
33<
br>所以,角
?
的终边在第四象限,所以选D,
?
?
11
?
6
22
误解:
tan
?
?tan
?<
br>,
?
?
?
,选B
33
11. 正解:D
3
?
tanA?tanB?
?
?
5
由韦达定理得:
?
1
?
tanAtanB?
?
3
?
5
tanA?tanB5
?tan(A?B)??
3
?
1?
tanAtanB
2
2
3
在
?ABC
中,
tanC
?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)??
5
?
0
2
??C
是钝角,
??ABC
是钝角三角形。
12. 答案:D设
cos
x
sin
y
?
t
,则(sin
x
cos
y
)(cos
x
sin
y
)?
由
sin2xsin2y?1即2t?1??
错解:B、C
1
t
,可得sin2x
sin2y=2t,
2
11
?t?
。
22
11
错因:将
sin
x
cos
y?
与cos
x
sin<
br>y?t
相加得sin(
x?y
)
??t
由
22131
?1?sin(x?y)?1得?1??t?1得??t?
选B,相减时选C,没有
考虑上述
222
两种情况均须满足。
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
一、
填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
可编辑
.
13.-2 14.
6
15. ③④ 16.
-
42
9
13. 正确解法:
?a?1
?<
br>tan
?
?tan
?
??4a
?0
,
tan
?
?tan
?
?3a?1?o
?
tan
?
,tan
?
是方程
x
2
?
4
ax?
3
a?
1
?
0
的两个负根 ?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?,0
?
又
?
,
?
?
?
?,
?
?
?
,
?
?
?
?,0
?
即2
?
2
??
2
?
?
22
?
由
tan
?
?
?
?
?
=
答案: -2 .
14.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
tan
?
?tan
?
?4a
4
?
?
?
=
=可得
tan??
2.
1?tan
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?
32
r
2
r
2
r
r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
r
r
2
r
2
a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6
15.正解:③④
111
sin2
?
?[?,],?sin
?
cos
?
?1
不成立。
222
?
3
②
sin
?
?cos
??2sin(
?
?)?[?2,2],?[?2,2],?
不成立。
42
5
?
?
③
y?sin(?2x)?sin(?2x)?cos2x
是偶函数,成立。
22
?
5
?
3
?
?
④ 将
x?<
br>代入
2x?
得
,
?
x?
是对称轴,成立。
8428
①
sin
?
cos
?
?
⑤ 若
?
?390
?
,
?
?60
?
,
?
?
?
,
但
sin
?
?sin
?
,
不成立。
误解:①②没有对题目所给形式进行化简,直接计算,不易找出错误。
⑤没有注意
到第一象限角的特点,可能会认为是
(0
?
,90
?
)
的角
,从而根据
y?sinx
做出了错误的判断。
16.-
42
.
9
??
??
??
解析:∵ sin
?
-
?
?
=sin
?
-
?
+
?
?
?
=cos
?
+
?
?
,
π
?
4
?
?
π
?
2
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
∴
sin
?
+
?
?
sin
?
-
?
?
=
?
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
1
6
可编辑
.
1
?
π
??
π
?
?<
br>sin
?
+
?
?
cos
?
+
?
?
=
6
?
4
??
4
?
1
?
π
?
?
sin
?
+
2
?
?
=.
3
?
2
?
∴ cos
2
∵ sin 2
∴ sin 4
=,又
1
3
∈(,π),∴ 2
22
,
3
42
.
9
?
2
∈(π,2π).
=-
1-cos
2
2
?
=-
=2sin 2cos
2=-
三、解答题(本题共6小题,共70分)
17. 解:
令 则
当时,
时,
;当时, 而对称轴为
说明:此题易认为
件
,最大值不存在,这是忽略了条
不在正弦函数的值域之内。
18. 解:∵
∴
7?
7?5?
?
<
x
<,∴ <+
x
<2
4
126
4
3
?
5
?
44
?π
??
π
?
,∴ sin
?
+
x
?
=-,tan
?
+ x
?
=-.
53
?
4
??
4
?
.又cos
?
+ x
?
=>0,
?
π
?
4
3??
<+
x
<2
24
?
π
?
7
?
π
??
π
?
又 sin 2
x
=-cos
?
+
2x
?
=-cos 2
?
+
x
?
=-2cos
2
?
+ x
?
+1=, 25
?
4
??
4
?
?
2
?
s
in2xcosx+2sin
2
xcosx
sin2x+2sin
2
x
sin2x(cosx+sinx)
∴ 原式===
sinx
c
osx-sinx
cosx-sinx
1-
cosx
=
sin2x(
1+tanx)28
?
=sin
2
x
·tan(+
x
)=-.
4
1-tanx75
19.
正解:由
f(x)
是偶函数,得
f(?x)?f(x)
故
sin(?
?
x??)?sin(
?
x??),??cos?sin
?
x?cos?sin
?
x
对任意x都成立,且
?
?0,?cos??0
可编辑
.
依题设0≤
?
≤
?
,
???
?
2
33
由
f(x)
的图像关于点M对称,得
f(
?
?
x)??f(
?
?x
)
44
333
取
x
?0得f(
?
)??f(
?
),?f(
?
)
?0
444
33
?
x
?
3
?
x3
?
x
?
f(
?
)?sin(?)?cos(),?co
s()?0
44244
3
?
x
?
又
?<
br>?0
,得
??k
?
,
k?
0,1,2......<
br>
42
2
?
?
?(2k?1),k?0,1,2...
3
22
?
?
当
k?0
时,
?
?,f(
x)?sin(x?
)
在
[0,]
上是减函数。
3322
当
k?1
时,
?
?2,f(x)?sin(2x?
当
k≥2时,
?
?
?
)
在
[0,]
上是减函数。
22
?
10
?
?
,f(x)?sin(
?
x?
)
在
[0,]
上不是单调函数。
322
2
所
以,综合得
?
?
或
?
?2
。
3
误解:①常见错误是未对K进行讨论,最后
?
只得一解。
?10
②对题目条件在区间
[0,
]
上是单调函数,不进行讨论,故对?
≥不
23
能排除。
?
?
20. 错误分析:(1)
求出
a
?
b
=
2?2cos2x
后,而不知进一步化为2cosx
,人为增加
难度;
(2)化为关于<
br>cosx
的二次函数在
?
0,1
?
的最值问题,不知对对称轴
方
程讨论.
?
?
?
?
答案:
(1)易求
a?b?cos2x
,
a
?
b
=
2cosx
(2)
?
?
?
?
f
?
x
?
?a?b?2
?
a?b
=
cos2x?2
?
?2cosx
=
2c
os
2
x?4
?
cosx?1
=<
br>2
?
cos
x?
?
?
?
2
?
2
?
1
2
?
?
?
?x?
?
0,
?
?cosx?
?
0,1
?
?
2
?
可编辑
.
从而:当
?
?0
时,
f
?
x
?
min
??
1
与题意矛盾,
?
?0
不合题意;
31
当
0?
?
?1
时,
f
?
x
?
mi
n
??2
?
2
?1??,?
?
?
22
35
当
?
?1
时,
f
?
x
?
min
?1?4
?
??
,
解得<
br>?
?
,不满足
?
?1
;
28
1
综合可得: 实数
?
的值为.
2
vv
21. 解(Ⅰ)
Q
a?
?
cos
?
,
sin
?
?
,
b?
?
cos
?
,
sin
?
?
,
vv
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
,
sin
?
?sin
?
?
.
vv
25
Qa?b?
,
?
5
?
co
s
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
43
.
?cos
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(Ⅱ)
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5
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33
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13
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65
22. 解:(Ⅰ)由<
br>a?b
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a
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b?0
,即
cos
分
则
cos2x?0
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x?
5分
∴
3xx3xx
cos?sinsin?
0
.…………4
2222
k
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…………………………………
?
(
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24
k
ππ
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x|x??,k?Z
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24
??
为所
求.…………………………………6分
(Ⅱ)
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c|
2
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(cos
3x3x3x
π
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3)
2
?
(sin?1)
2
?5?4sin(?)
,……………
2223
可编辑
.
10分
所以
|a?c|
有最大值为
3.……………………………………………………12分
可编辑
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