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高中数学必修4知识点清单

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 00:18
tags:高中数学必修四

澳大利亚高中数学难吗-与高中数学知识相关的教室布置



高中数学必修 4 知识点


第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?

?


2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与 x 轴的 非负半轴重合,角的终边
落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。

?

?

第一象限角的集合为
?

k ? 360

?
?
? k ? 360 ? 90 , k ???

?

?

?

?

第二象限角的集合为
?

k ? 360

? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ???

?

第三象限角的集合为
?

k ? 360

? 180 ?
?
? k ? 360 ? 270 , k ???













?

第四象限角的集合为
?

k ? 360

? 270 ?
?
? k ? 360 ? 360 , k ???

??
终边在
y
轴上的角的集合为
?
???

?

k

?

180

?

90 ,

k

???
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
???
? k ? 90 , k ???
?

终边在
x
轴上的角的集合为
???

?

k

?

180 ,

k

???

3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合{
?

|

?

?

?

?

k

?360 ,

k

?

Z
}

4、弧度制:

(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。

半径为
r
的圆的圆心角
?

所对弧的长为

l

,则角
?

的弧度数的绝对值是

?

?

r



l
180

(2)度数与弧度数的换算:
360
o

?

2
?


180

?

?

rad,1 rad
? (


?

)

? 57.30

? 57 18
'

注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为
n
o

,弧度为
?










?

?
①角度化为弧度:


?

n
?

n
o
? n
o
?


o

?


180

180
,②弧度化为角度:
?
?
?
?


???
?


?


(3)若扇形的圆心角为
?


?

是角的弧度数),半径为
r
,则:

?
l?|
?
|
弧长公式:
l ?

n
?

(用度表示的)
,
?????

r(用弧度表示的)


180


??
2
扇形面积:
s ?


n
?
r

(用度表示的)
S


?

1

|
?
| r
2
?

1

lr
(用弧度表示的)







360


2



2




180
o

?180
?
?
o

???

- 1 -



5、三角函数:

(1)定义①:设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标


y











?
x , y
?
,它与原点的距离是

r

OP

?

r

??
x
2
? y
2
? 0


??


P(x,y)




yxy

sin
?
?
r


cos
?
?
r


tan
?
?
x

?
x ? 0
?

定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P
(x,y),
那么 v 叫做α的正弦,记作 sinα,即 sinα
?
y; u 叫做α的余

弦,记作 cosα,即 cosα=x; 当α的终边不在 y 轴上时,

o

x

y








y

叫做α的正切,记作 tanα, 即 tanα=

y

.
x


x

P(x,y)

(2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C 正。

y

y


y





o

x


+

O

+

x

_

_

O


+

x

_

O

+


x

_


_

+

+

_




sin
?

(3)特殊角的三角函数值

















- 2 -














































(4)三角函数线:如下图

(5)同角三角函数基本关系式

(1)平方关系:
sin
2

?
? cos
2

?
? 1



(2)商数关系:
tan
?
?






6、三角函数的诱导公式:


sin
?

cos
?


?
1
?
sin
?
2k
?
?
?

?
? sin
?


cos
?
2k
?
?
?

?
? cos
?


tan
?
2k
?
?
?

?
? tan
?

?
k ???
?



口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.

?
2
?
sin
?
?
?

?
???sin
?


cos
?
?
?

?
? cos
?


tan
?
?
?

?
??? tan
?


?
?
3
?
sin
?
?
?
?

?
? sin
?


cos
?
?
?
?

?
???cos
?


tan
?
?
?
?

?
??? tan
?




?
4
?
sin
?
?
?
?

?
???sin
?


cos
?
?
?
?

?
???cos
?


tan
?
?
?
?

?
? tan
?


?


?
5
?
sin
?
2
?
?
?

?
???sin
?


cos
?
2
?
?
?

?
? cos
?


tan
?
2
?
?
?

?
??? tan
?



口诀:函数名称不变,正负看象限.

?
6
?
sin ?




??
?



??
?
?
?
? cos
?
, cos
?
?


?


??
?



??
?
?
?
? sin
?
, tan
?
?


?

??
?



??
?
?
?
? cot
?


?



?


? 2


?
7
?
sin ?


















? 2


??
?




? 2


???sin
?


tan
?



?

?

??
?






??
?
?
?

? cos
?


cos
?

?

?



??
?
?
?

?

?

?

?


?

2


??
?
?
?

???cot
?



? 2


? 2


口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.

诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
即将括号里面的角拆成

?

?

k

?

?
2

?
?

的形式。

- 3 -




7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:







y ? sin x





y ? cos x


y ? tan x












































R




























R
















?






??
x









, k ????
?


2


?



x ? k
?
?


?







?



?


?


?


?


R








值域:


?1,1


值域:

?1,1

值域:






x ? 2k
?
?

2

?
k ???
?

时,


x ? 2k
?

?
k ???
?
时,

?


既无最大值也无最小值



y ?1
;当

x

?

2k
?

?

?


max


2




y ?1
;当

x

?

2k
?

?
?



max


























?
k ???
?
时,

y
min

???1



?
k ???
?
时,

y
min

???1






y ? sin x
是周期函数;周期为

y ? cos x
是周期函数;周期

y ? tan x
是周期函数;周





T ? 2k
?
, k ?Z


k

?

0



期 为
T ? k
?
, k ?Z




T ? 2k
?
, k ?Z


k

?

0






最小正周期为
2
?


最小正周期为
2
?

k ? 0
;最小正周期为
?





奇函数


偶函数


奇函数















?


??
?



?
2 k
?
?

, 2k
?
?


?

?

2


2 ?

?





?
k ???
?
上是增函数;在

?
2 k
?
?


?
2k
?
?
?
, 2k
?

?
?
k ???
?





?


?


??
?



?
k
?
?



, k
?
?


?






?


?


3
?
?


, 2k
?
?

?

是增函数;在
?
2k
?
, 2k
?
?
?

?


?

2


2 ?


?
k ???
?
上是增函数.




?

2

2


?




?
k ???
?
上是减函数.







?
k ???
?
上是减函数.




















对称中心





对称中心

?
k
?
, 0
??
k ???
?



对称中心

, 0 ?
?
k ???
?


?


























?
k
?
?



对称轴
x ? k
?
?

2

?
k ???
?


?



?



?







?

?

2



? k
?

?

?
k ???
?

?

, 0
?




? 2



?








对称轴
x ? k
?

?
k ???
?


无对称轴






- 4 -




8、(1)
y

???

sin

?
?

x

?

?
?
?

b
的图象与
y

?

sin

x
图像的关系:

图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍

①振幅变换:
y ? sin x




y ? Asin x



1




图象上每个点的横坐标变为原来的

?

倍,纵坐标不变

②周期变换:
y ? sin x


y ? sin
?
x


③相位变换:
y ? sin x

图象整体向左(
?
? 0
)或向右(
?
? 0
)平移


?












个单位
y ? sin(x ?
?
)


平移变换:

y

?

A
sin(
?
x

?
?
)

图象整体向上(
b ? 0
)或向下(
b ? 0


平移
b
个单位

y ??? sin
?
?
x ?
?
?
? b
注:函数
y ? sin x
的图象怎样变换得到函数
y ? A sin
?
?
x ?
?
?
? B
的图象:(两种方法)
① 先平移后伸缩:

y ? sin x
平移

|

?
|

个单位

(左加右减)

纵坐标不变

y ? sin
?
x ?
?
?


y ? s i n
?
( x ?
?
)

横坐标变为原来的
|






1
|


?



横坐标不变

纵坐标变为原来的 A 倍

y ? A sin
?
?
x ?
?
?






平移
| B|
个单位

(上加下减)

y ? A sin
?
?
x ?
?
?
? B

② 先伸缩后平移:


y ? sin x
纵坐标不变




1
|


?







y ? sin
?
x

横坐标变为原来的
|









平移

?

?

个单位

y ? sin(
?
x ?
?
)

y ? A sin
?
?
x ?
?
?


(左加右减)

横坐标不变

纵坐标变为原来的 A 倍



平移
| B|
个单位

y ? A sin
?
?
x ?
?
?
? B

- 5 -









(上加下减)

(2)函数
y

?

Asin(
?
x

?
?
)

?

b

①振幅:
?
;②周期:
???
( A ? 0,
?
? 0)
的性质:
2
?

;③频率:
f ? ?
;④相位:
?
x ?
?

;⑤初相:
?



1
?
??
?
?
2
?

值域:
?
? A ? b , A ? b
?


?
x ?
?
? 2k
?
?

?
x ?
?
? 2k
?
?




?

?
k ???
?
时,
y ? A ? b

max
2
?

?
k ???
?
时,

y

???

A

?

b


min
2
( A ? 0,
?
? 0)
是周期函数;周期为
T

?

周期性:函数
y ? Asin(
?
x ?
?
) ? b


2
?
?

单调性:
?
x ?
?

?
2 k
?
?
?

?

?


, 2k
?
?

?

?

?
k ???
?
上时是增函数;

?


2

2

?




? x ?
?



?

2

k
?

?

, 2k
?

?

? 22 ??
对称性:对称中心为
?

?
?
3
?
?

?

?
k ???
?
上时是减函数.
?
? k
?
?
?














?

?

, 0

?

?
k ???
?

;对称轴为
?

x

?
?

?

k

?

?

?
k ???
?

?

?


?

2


第二章 平面向量

1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.

2、零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的.

3、单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平行的单位向量:
e

???

a



| a |

4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作
a



b

规定
0
与任何向量平行.

5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与 零向量相等.
注意:
任意两个相等的非零向量,




都可以用同一条有向线段来表示,
并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:

首尾相接

⑵平行四边形法则的特点:

起点相同






C



a

- 6 -







?

b






?


a ? b ???C ????????C












































⑶运算性质:

①交换律:
a ? b ? b ? a


②结合律:
a ? b ? c ? a ? b ? c
;③
a ? 0 ? 0 ? a ? a


⑷坐标运算:设
a ?
?
x
1
, y
1

?


b

?

?
x
2

,

y
2

?

,则

a

?

b

?

?

x
1

?

x
2

,

y
1

?

y
2

?


7、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设
a ?
?
x
1
, y
1

?


b

?

?
x
2

,

y
2

?

,则

????
a ? b ?
?
x
1
? x
2
, y
1
? y
2

?





?



?

两点的坐标分别为

?
x
1
, y
1

?



?
x
2
, y
2

?
,则

????
?
x
2
? x
1
, y
2
? y
1

?


8、向量数乘运算:

⑴实数

?

与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作

?
a




?
a ?
?
a

②当

?
? 0
时,

?
a

的方向与

a

的方向相同;当

?
? 0
时,

?
a

的方向与

a

的方向相反;



?
? 0
时,

?
a

?

0



⑵运算律:①

?

?

?
a
?
?
?
??
?
a
;②

?
?
?
?

?
a ?
?
a ?
?
a
;③

?

a

?

b

?

?

a

?

?
b



⑶坐标运算:设
a ?
?
x, y
?
,则

?
a ?
?

?
x, y
?
?
?
?
x,
?
y
?



9、向量共线定理:向量
a

a

?

0

b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b

?

?
a



a ?
?
x
1
, y
1

?

b

?

?
x
2

,

y
2

?

,其中
b ? 0
,则当且仅当

x
1

y
2

?

x
2

y
1

?

0

时,向量

a


b

b

?

0

??
??
??
共线.

10、平面向量基本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
的任意向量
a
,有且只有一对实数

?
1



?
2

,使
a ?
?
1
e
1
?
?
2
e
2

.(不共线的向量

e
1



e
2

作为

这一平面内所有向量的一组基底)

11、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1

?
2
的坐标分别是
?
x
1

,

y
1

?

?
x
2

,

y
2

?


?
1
???

?
??
2




时,点 ? 的坐标是
?

? x

?
?
x

y

?
?
y

?


12
,

12
??


12、平面向量的数量积:

?

1 ?
?


1?
?

?

- 7 -


⑴定义:
a ? b ? a b cos
?
a ? 0, b ? 0, 0 ?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为

??
0

.⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①

a

?

b

?

a

?

b

?

0

.②当
a

b
同向时,
a ? b ?








a
b
;当
a


b

反向时,

a

?

b

???

a
b


a

?

a

?

a

2

?

a

2



a

??
a ?a
.③

a

?

b

?

a
b


⑶运算律:①
a ? b ? b ?a
;②

?
?

a

?
?

b

?

?

a

?

b

?

a

?
?
b

;③

a

?

b

?

c

?

a

?

c

?

b

?c


??????
⑷坐标运算:设两个非零向量
a ?
?
x
1
, y
1

?


b

?

?
x
2

,

y
2

?

,则
a ? b ? x
1
x
2
? y
1
y
2




a ?
?
x, y
?
,则

a

2

?

x

2

?

y
2

,或

a

??
x
2
? y
2




a ?
?
x
1
, y
1

?


b

?

?
x
2

,

y
2

?

,则
a ? b ? x
1
x
2
? y
1
y
2
? 0





a


b

都是非零向量,
a ?
?
x
1
, y
1

?


b

?

?
x
2

,

y
2

?


?


a

b
的夹角,则
cos
?
?


a ?b

?


x
1
x
2
? y
1
y
2





222

a


b


x
2

? y

x ? y




1


1

2

2








第三章 三角恒等变形


1、同角三角函数基本关系式





sin
?

(1)平方关系:
sin
2

?
? cos
2

?
? 1

(2)商数关系:
tan
?
?

cos
?


(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
? 1








sin

??
?



c o s

??
?


1

? tan

?
1

? t a n

?











2


tan
2

?


2
2

1


2


注意: sin
?
, cos
?
, tan
?

按照以上公式可以“知一求二”

2、两角和与差的正弦、余弦、正切

S
(
?

?
?

)



sin(
?

?

?
)

?

sin
?

cos

?

?

cos
?

sin

?

S
(
?

?
?

)



sin(
?

?

?
)

?

sin
?

cos

?

?

cos
?

sin

?


C
(
?

?
?

)



cos(a

?

?
)

?

cos
?

cos

?

?

sin
?

sin

?


C
(
?

?
?

)



cos(a

?

?
)

?

cos
?

cos

?

?

sin
?

sin

?


T



?
?
?

(
tan(
?
?
?
) ?
)
tan
?
?tan
?



1 ? tan
?
tan
?

tan(
?
?
?
) ?
T



(
?
?
?
)


tan
?
?
tan
?


1 ? tan
?
tan
?

正切和公式:
tan
?
? tan
?
? tan(
?
?
?
) ? (1 ? tan
?
tan
?
)

- 8 -




3、辅助角公式:
a

sin

x

?

b

cos

x

?






a
2
? b ?

?

?

2
?

2

a






2



sin x ?



2

b





2


cos x?

?

?








a

? b

a

? b


?

? a
2
? b
2
(sin x ? cos
?
? cos x ?sin
?
) ??a
2
? b
2
?sin(x ?
?
)?
(其中
?

称为辅助角,
?

的终边过点
(a, b)


tan
?

?

4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

b
a



S
2
?



sin 2
?

?

2sin
?

cos
?

C
2
?



cos 2
?

?

cos

2

?

?

sin

2

?

?

1

?

2sin

2

?

?

2 cos

2

?

?1

T


tan 2
?
?

2 tan
?

2
?


1 ? tan
2

?


















*二倍角公式的常用变形:
①、






1 ? cos 2
?

?


2

| sin
?
|


1 ? cos 2
?

?


1

?

1

cos 2
?
?| cos
?
|

②、

1

?

1

cos 2
?
?| sin
?
|


2


2




2


2

2

| cos
?
|






sin
4

?
? cos
4

?
? 1 ? 2sin
2

?
cos
2

?
? 1 ?
sin
2

2
?
2








cos
4

?
? sin
4

?
? cos 2
?



*降次公式:
sin
?
cos
?
?

1

sin 2
?






5、*半角的正弦、余弦和正切公式:



sin

?
???

1 ? cos
?






2


2


sin
2

?
?

1 ? cos 2
?

???

1

cos 2
?
?

1

2


2

2

2



cos
2

?
?

1 ? cos 2
?

?

1

cos 2
?
?

1


2


2


2






cos

?

???


1 ? cos
?




2


2












tan


?


???


1 ? cos
?


?

1 ? cos
?

?

sin
?


sin
?

2


1 ? cos
?

1

? cos
?




















6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)











sin
2

?
? 1 ? cos
2

?



sin
?
???

1 ? cos
2

?











cos
2

?
? 1 ? sin
2

?



cos
?
???


1 ? sin
2

?




22
cos
?
? sin
?

?

2



tan
?
? cot
?
?



sin
?
cos
?


sin 2
?





















- 9 -



cos
2

?
? sin
2

?

2 cos 2
?

cot
?
? tan
?
?

?

? 2 cot 2
?

sin
?
cos
?

sin 2
?









(sin
?
? cos
?
)
2
? 1 ? 2sin
?
cos
?
? 1 ? sin 2
?


1 ? sin 2
?
?| sin
?
? cos
?
|

7、补充公式:





??
①万能公式


?


?


2

?


2 t a n
2


1 ? t a n

2

2 tan

2



c o s
?
?


t a n
?
?

sin
?
?


2

?

2

?

2

?

1 ? tan


2


1 ? t a n

2


1 ? t a n

2


??
②积化和差公式


1
sin
?
cos
?
?
2
[sin(
?
?
?
) ? sin(
?
?
?
)]

1
cos
?
sin
?
? [sin(
?
?
?
) ? sin(
?
?
?
)]

2

1

2

1



sin
?
sin
?
???
2
[cos(
?
?
?
) ? cos(
?
?
?
)]

?
③和差化积公式
?

sin
?
? sin
?
? 2sin


??
?
??

cos

??
?
??


sin
?
? sin
?
? 2 cos

??
?
??

sin

??
?
??

2


2


2


2


?
?
?
c o s
?
? c o s
?
? 2 c o s

c o s
?
?


cos
?
? cos
?
???2 sin


??
?
??

sin


??
?
??

2


2

2


2

?
































注:带*号的公式表示了解,没带*公式为必记公式

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