澳大利亚高中数学难吗-与高中数学知识相关的教室布置
高中数学必修 4 知识点
第一章 三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
?
2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与 x 轴的
非负半轴重合,角的终边
落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。
?
?
第一象限角的集合为
?
k ? 360
?
?
? k ? 360 ? 90 , k ???
?
?
?
?
第二象限角的集合为
?
k ? 360
? 90 ? k ? 360 ?
180 , k ???
?
第三象限角的集合为
?
k ? 360
? 180 ?
?
? k ? 360 ?
270 , k ???
?
第四象限角的集合为
?
k ? 360
? 270 ?
?
?
k ? 360 ? 360 , k ???
??
终边在
y
轴上的角的集合为
?
???
?
k
?
180
?
90 ,
k
???
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
???
? k ? 90 , k
???
?
终边在
x
轴上的角的集合为
???
?
k
?
180 ,
k
???
3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合{
?
|
?
?
?
?
k
?360 ,
k
?
Z
}
4、弧度制:
(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
r
.
l
180
(2)度数与弧度数的换算:
360
o
?
2
?
,
180
?
?
rad,1 rad
? (
?
)
? 57.30
? 57
18
'
注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为
n
o
,弧度为
?
;
?
?
①角度化为弧度:
?
n
?
n
o
? n
o
?
o
?
180
180
,②弧度化为角度:
?
?
?
?
???
?
?
(3)若扇形的圆心角为
?
(
?
是角的弧度数),半径为
r
,则:
?
l?|
?
|
弧长公式:
l ?
n
?
(用度表示的)
,
?????
r(用弧度表示的)
;
180
??
2
扇形面积:
s ?
n
?
r
(用度表示的)
S
?
1
|
?
| r
2
?
1
lr
(用弧度表示的)
扇
扇
360
2
2
180
o
?180
?
?
o
???
- 1 -
5、三角函数:
(1)定义①:设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标
y
是
?
x , y
?
,它与原点的距离是
r
OP
?
r
??
x
2
?
y
2
? 0
,
??
P(x,y)
yxy
则
sin
?
?
r
,
cos
?
?
r
,
tan
?
?
x
?
x ? 0
?
定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P
(x,y),
那么
v 叫做α的正弦,记作 sinα,即 sinα
?
y; u 叫做α的余
弦,记作 cosα,即 cosα=x; 当α的终边不在 y 轴上时,
o
x
y
y
叫做α的正切,记作 tanα, 即
tanα=
y
.
x
x
P(x,y)
(2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C
正。
y
y
y
o
x
+
O
+
x
_
_
O
+
x
_
O
+
x
_
_
+
+
_
sin
?
(3)特殊角的三角函数值
- 2
-
(4)三角函数线:如下图
(5)同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
sin
2
?
? cos
2
?
? 1
(2)商数关系:
tan
?
?
6、三角函数的诱导公式:
sin
?
cos
?
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
? sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
? tan
?
?
k
???
?
.
口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.
?
2
?
sin
?
?
?
?
???sin
?
,
cos
?
?
?
?
? cos
?
,
tan
?
?
?
?
??? tan
?
.
?
?
3
?
sin
?
?
?
?
?
? sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
???cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
??? tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
???sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
???cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
? tan
?
.
?
?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
???sin
?
,
cos
?
2
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
2
?
?
?
?
??? tan
?
.
口诀:函数名称不变,正负看象限.
?
6
?
sin
?
??
?
??
?
?
?
? cos
?
, cos
?
?
?
??
?
??
?
?
?
? sin
?
, tan
?
?
?
??
?
??
?
?
?
? cot
?
.
?
?
?
2
?
7
?
sin ?
? 2
??
?
? 2
???sin
?
,
tan
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
cos
?
,
cos
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
??
?
?
?
???cot
?
.
? 2
? 2
口诀:正弦与余弦互换,正负看象限.
诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”。
即将括号里面的角拆成
?
?
k
?
?
2
?
?
的形式。
- 3
-
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
y ? sin x
y ? cos x
y ?
tan x
图
象
定
R
义
域
R
?
??
x
, k ????
?
2
?
x ? k
?
?
?
?
?
?
?
?
R
值
值域:
?1,1
值域:
?1,1
值域:
当
x ?
2k
?
?
2
?
k
???
?
时,
当
x ? 2k
?
?
k ???
?
时,
?
既无最大值也无最小值
y ?1
;当
x
?
2k
?
?
?
max
2
y
?1
;当
x
?
2k
?
?
?
max
域
?
k ???
?
时,
y
min
???1
.
?
k
???
?
时,
y
min
???1
.
y ? sin x
是周期函数;周期为
y ? cos x
是周期函数;周期
y ? tan x
是周期函数;周
周
为
T ? 2k
?
, k ?Z
且
k
?
0
;
期
为
T ? k
?
, k ?Z
且
期
T ? 2k
?
, k ?Z
且
k
?
0
;
性
最小正周期为
2
?
最小正周期为
2
?
k ? 0
;最小正周期为
?
奇
奇函数
偶函数
奇函数
偶
性
?
??
?
在
?
2 k
?
?
, 2k
?
?
?
?
2
2 ?
?
单
?
k ???
?
上是增函数;在
?
2 k
?
?
在
?
2k
?
?
?
, 2k
?
?
?
k ???
?
上
?
?
??
?
在
?
k
?
?
, k
?
?
?
调
性
?
?
3
?
?
, 2k
?
?
?
是增函数;在
?
2k
?
, 2k
?
?
?
?
?
2
2 ?
?
k
???
?
上是增函数.
?
2
2
?
?
k ???
?
上是减函数.
?
k ???
?
上是减函数.
对称中心
对
对称中心
?
k
?
, 0
??
k
???
?
对称中心
, 0
?
?
k ???
?
?
称
?
k
?
?
性
对称轴
x ?
k
?
?
2
?
k ???
?
?
?
?
?
?
2
? k
?
?
?
k ???
?
?
, 0
?
? 2
?
对称轴
x ? k
?
?
k
???
?
无对称轴
- 4 -
8、(1)
y
???
sin
?
?
x
?
?
?
?
b
的图象与
y
?
sin
x
图像的关系:
图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍
①振幅变换:
y
? sin x
y ? Asin x
1
图象上每个点的横坐标变为原来的
?
倍,纵坐标不变
②周期变换:
y ? sin x
y ? sin
?
x
③相位变换:
y ? sin x
图象整体向左(
?
? 0
)或向右(
?
? 0
)平移
?
个单位
y
? sin(x ?
?
)
④
平移变换:
y
?
A
sin(
?
x
?
?
)
图象整体向上(
b ? 0
)或向下(
b ? 0
)
平移
b
个单位
y ??? sin
?
?
x ?
?
?
? b
注:函数
y ? sin x
的图象怎样变换得到函数
y ? A sin
?
?
x ?
?
?
? B
的图象:(两种方法)
①
先平移后伸缩:
y ? sin x
平移
|
?
|
个单位
(左加右减)
纵坐标不变
y ? sin
?
x
?
?
?
y ? s i n
?
( x
?
?
)
横坐标变为原来的
|
1
|
倍
?
横坐标不变
纵坐标变为原来的 A 倍
y
? A sin
?
?
x ?
?
?
平移
| B|
个单位
(上加下减)
y ? A sin
?
?
x ?
?
?
? B
② 先伸缩后平移:
y ? sin x
纵坐标不变
1
|
倍
?
y ? sin
?
x
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
个单位
y ?
sin(
?
x ?
?
)
y ? A sin
?
?
x ?
?
?
(左加右减)
横坐标不变
纵坐标变为原来的 A 倍
平移
| B|
个单位
y ? A
sin
?
?
x ?
?
?
? B
-
5 -
(上加下减)
(2)函数
y
?
Asin(
?
x
?
?
)
?
b
①振幅:
?
;②周期:
???
( A ? 0,
?
? 0)
的性质:
2
?
;③频率:
f ? ?
;④相位:
?
x
?
?
;⑤初相:
?
.
1
?
??
?
?
2
?
值域:
?
? A ? b , A ? b
?
当
?
x ?
?
? 2k
?
?
当
?
x ?
?
? 2k
?
?
?
?
k ???
?
时,
y ? A ? b
;
max
2
?
?
k
???
?
时,
y
???
A
?
b
.
min
2
( A ? 0,
?
? 0)
是周期函数;周期为
T
?
周期性:函数
y
? Asin(
?
x ?
?
) ? b
2
?
?
单调性:
?
x ?
?
在
?
2 k
?
?
?
?
?
, 2k
?
?
?
?
?
k ???
?
上时是增函数;
?
2
2
?
? x ?
?
在
?
2
k
?
?
,
2k
?
?
? 22 ??
对称性:对称中心为
?
?
?
3
?
?
?
?
k ???
?
上时是减函数.
?
?
k
?
?
?
?
?
, 0
?
?
k
???
?
;对称轴为
?
x
?
?
?
k
?
?
?
k ???
?
?
?
?
2
第二章
平面向量
1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.
2、零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的.
3、单位向量:长度等于 1
个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平行的单位向量:
e
???
a
.
| a |
4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作
a
b
;
规定
0
与任何向量平行.
5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与
零向量相等.
注意:
任意两个相等的非零向量,
都可以用同一条有向线段来表示,
并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同
C
a
- 6 -
?
b
?
a ? b ???C ????????C
⑶运算性质:
①交换律:
a
? b ? b ? a
;
②结合律:
a ? b ? c ? a
? b ? c
;③
a ? 0 ? 0 ? a ? a
.
⑷坐标运算:设
a ?
?
x
1
,
y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,则
a
?
b
?
?
x
1
?
x
2
,
y
1
?
y
2
?
.
7、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a ?
?
x
1
,
y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,则
????
a ? b ?
?
x
1
? x
2
, y
1
? y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,
y
1
?
,
?
x
2
, y
2
?
,则
????
?
x
2
? x
1
, y
2
? y
1
?
.
8、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a ?
?
a
;
②当
?
? 0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?
0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;
当
?
? 0
时,
?
a
?
0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a ?
?
a ?
?
a
;③
?
a
?
b
?
?
a
?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a ?
?
x, y
?
,则
?
a ?
?
?
x, y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
9、向量共线定理:向量
a
a
?
0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b
?
?
a
.
设
a ?
?
x
1
, y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,其中
b ?
0
,则当且仅当
x
1
y
2
?
x
2
y
1
?
0
时,向量
a
、
b
b
?
0
??
??
??
共线.
10、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内
的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a ?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底)
11、分点坐标公式:设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,
y
1
?
,
?
x
2
,
y
2
?
,
当
?
1
???
?
??
2
时,点 ? 的坐标是
?
? x
?
?
x
y
?
?
y
?
.
12
,
12
??
12、平面向量的数量积:
?
1 ?
?
1?
?
?
- 7 -
⑴定义:
a ? b ? a b cos
?
a ?
0, b ? 0, 0 ?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
??
0
.⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a
?
b
?
a
?
b
?
0
.②当
a
与
b
同向时,
a ? b ?
a
b
;当
a
与
b
反向时,
a
?
b
???
a
b
;
a
?
a
?
a
2
?
a
2
或
a
??
a ?a
.③
a
?
b
?
a
b
.
⑶运算律:①
a ? b ? b ?a
;②
?
?
a
?
?
b
?
?
a
?
b
?
a
?
?
b
;③
a
?
b
?
c
?
a
?
c
?
b
?c
.
??????
⑷坐标运算:设两个非零向量
a ?
?
x
1
, y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,则
a ? b ?
x
1
x
2
? y
1
y
2
.
若
a ?
?
x,
y
?
,则
a
2
?
x
2
?
y
2
,或
a
??
x
2
?
y
2
.
设
a ?
?
x
1
, y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,则
a ? b ?
x
1
x
2
? y
1
y
2
? 0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a ?
?
x
1
, y
1
?
,
b
?
?
x
2
,
y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
cos
?
?
a ?b
?
x
1
x
2
?
y
1
y
2
.
222
a
b
x
2
? y
x ? y
1
1
2
2
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
sin
?
(1)平方关系:
sin
2
?
? cos
2
?
?
1
(2)商数关系:
tan
?
?
cos
?
(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
?
1
sin
??
?
;
c o
s
??
?
1
?
tan
?
1
? t a n
?
2
tan
2
?
2
2
1
2
注意:
sin
?
, cos
?
, tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)
?
sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)
?
sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a
?
?
)
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a
?
?
)
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
T
:
?
?
?
(
tan(
?
?
?
) ?
)
tan
?
?tan
?
1 ? tan
?
tan
?
tan(
?
?
?
) ?
T
:
(
?
?
?
)
tan
?
?
tan
?
1 ?
tan
?
tan
?
正切和公式:
tan
?
? tan
?
? tan(
?
?
?
) ? (1 ? tan
?
tan
?
)
- 8 -
3、辅助角公式:
a
sin
x
?
b
cos
x
?
a
2
? b ?
?
?
2
?
2
a
2
sin x ?
2
b
2
cos x?
?
?
a
? b
a
? b
?
? a
2
? b
2
(sin x ? cos
?
? cos x
?sin
?
) ??a
2
? b
2
?sin(x
?
?
)?
(其中
?
称为辅助角,
?
的终边过点
(a, b)
,
tan
?
?
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
b
a
)
S
2
?
:
sin
2
?
?
2sin
?
cos
?
C
2
?
:
cos 2
?
?
cos
2
?
?
sin
2
?
?
1
?
2sin
2
?
?
2
cos
2
?
?1
T
:
tan 2
?
?
2
tan
?
2
?
1 ?
tan
2
?
*二倍角公式的常用变形:
①、
1 ? cos 2
?
?
2
| sin
?
|
,
1 ?
cos 2
?
?
1
?
1
cos 2
?
?|
cos
?
|
②、
1
?
1
cos 2
?
?| sin
?
|
,
2
2
2
2
2
|
cos
?
|
;
③
sin
4
?
? cos
4
?
? 1 ? 2sin
2
?
cos
2
?
? 1 ?
sin
2
2
?
2
;
cos
4
?
? sin
4
?
? cos 2
?
;
*降次公式:
sin
?
cos
?
?
1
sin 2
?
5、*半角的正弦、余弦和正切公式:
sin
?
???
1 ? cos
?
;
2
2
sin
2
?
?
1 ? cos 2
?
???
1
cos 2
?
?
1
2
2
2
2
cos
2
?
?
1 ?
cos 2
?
?
1
cos
2
?
?
1
2
2
2
cos
?
???
1 ? cos
?
,
2
2
tan
?
???
1 ? cos
?
?
1 ? cos
?
?
sin
?
sin
?
2
1 ? cos
?
1
?
cos
?
6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
①
sin
2
?
? 1 ? cos
2
?
;
sin
?
???
1 ? cos
2
?
;
cos
2
?
? 1 ? sin
2
?
;
cos
?
???
1 ? sin
2
?
;
22
cos
?
? sin
?
?
2
②
tan
?
? cot
?
?
,
sin
?
cos
?
sin
2
?
- 9 -
cos
2
?
? sin
2
?
2 cos
2
?
cot
?
? tan
?
?
?
? 2 cot 2
?
sin
?
cos
?
sin 2
?
③
(sin
?
?
cos
?
)
2
? 1 ? 2sin
?
cos
?
? 1 ? sin 2
?
;
1 ?
sin 2
?
?| sin
?
? cos
?
|
7、补充公式:
??
①万能公式
?
?
2
?
2 t a
n
2
1 ? t a n
2
2
tan
2
;
c o s
?
?
;
t a n
?
?
sin
?
?
2
?
2
?
2
?
1 ? tan
2
1 ? t a n
2
1 ? t a n
2
??
②积化和差公式
1
sin
?
cos
?
?
2
[sin(
?
?
?
) ? sin(
?
?
?
)]
1
cos
?
sin
?
?
[sin(
?
?
?
) ? sin(
?
?
?
)]
2
1
2
1
sin
?
sin
?
???
2
[cos(
?
?
?
) ? cos(
?
?
?
)]
?
③和差化积公式
?
sin
?
? sin
?
? 2sin
??
?
??
cos
??
?
??
;
sin
?
? sin
?
? 2 cos
??
?
??
sin
??
?
??
2
2
2
2
?
?
?
c o s
?
? c o s
?
? 2 c o s
c o s
?
?
;
cos
?
? cos
?
???2 sin
??
?
??
sin
??
?
??
2
2
2
2
?
注:带*号的公式表示了解,没带*公式为必记公式
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