全国高中数学联赛安徽省分数线-高中数学奥林匹克冠军的高中
。
新课标高中数学必修4知识点详细总结
?
正角:按逆
时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与
原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第
几
象限角.
第一象限角的集合为
?
?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??
?
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90
oo
?k?
360
o
?180
o
,k??
?
第三象限角的集
合为
?
?
k?360
o
?180
o
?
?<
br>?k?360
o
?270
o
,k??
?
第四象限
角的集合为
?
?
k?360?270
oo
?
?
?k
?360
o
?360
o
,k??
?
区域角怎么表示:
终边在
x
轴上的角的集合为
?
???k?180
o
,k??
?
终边在
y
轴上
的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?
oo
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90
o
,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
???k?360
o
?
?
,k??
?
4、已知<
br>?
是第几象限角,确定
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象
限均分
n
等份,再从
x
轴的正
?
n
*
半轴
的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
?
原来是第几象限对应的标号即为
所
落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度的角.
6
、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
o
180
?
o
.
7、弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360
o
,<
br>1
o
?
?
,
1?
?
??
?57.3
?
终边
n
l
.
r
180
?
?<
br>?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为
S,则
l?r
?
,
C?2r?l
,
11
S?lr?
?
r
2
.
22
-可编辑修改-
。
9、三角函数概念:(一)设?
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)
,那么:(1)
y
叫做
?
的
y
正弦,记做
sin
?
,即<
br>sin
?
?y
;(2)
x
叫做
?
的余弦,记
做
cos
?
,即
cos
?
?x
;(3)叫做
?
的正切,记
x
y
做
tan
?
,即
ta
n
?
?
(
x?
0)
。
x
(二)设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy
,
cos
?
?
,
tan
?
?
?
x
?0
?
.
rrx
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象
限正弦为正,第三象限正切为正,第四
象限余弦为正.
11、三角函数线:
sin<
br>?
???
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
三角函数线作用:
12、同角三角函数的基本关系式: <
br>?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?<
br>?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
?
2
?
13、三角函数的诱导公式:
sin
?
?
tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??<
br>.
tan
?
??
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
co
s
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,tan
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??co
s
?
,
tan
?
?
?
?
?
??t
an
?
.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
(3)和(4)能得到什么结论?
y
P
T
OM
A
x
?
??
?
??
?
?
?
?
?cos
?
6sin
?
?
cos
?
?
?
sin<
br>?
,.
?
5
?
sin
?
??
???
???
?
cos
?
,
22
2
????
??
?
?
?
cos
?
?
?
?
??si
n
?
.
?
2
?
口诀:函数名改变,符号看象限.(5)能得到什么结论?
-可编辑修改-
。
14、图像变换的两种方式:
(一)
函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度,得到函数<
br>y?sin
?
x?
?
?
的图象
(
?
>0是左移;
?
<0是右移);再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到
原来的
1
倍(纵坐标不
变),得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所?
有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y
??sin
?
?
x?
?
?
的图象
?
??0
,
?
?0
?
.
(二)函数
y?sinx
的图象上
所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函
?
数y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x的图象上所有点向左(右)平移
?
个单位长度(
?
>0是
?左移;
?
<0是右移);得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点
的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标
不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
象
?
??0,
?
?0
?
.
函数
y??s
in
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0?
的性质:
①振幅
?
;
②周期:
??
2
?
?
;
③频率:
f?
1
?
;
④相位:
?
x?
?
; ⑤初相:
?
.
?
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?<
br>??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min
;当
x?x
2
时,取得最大值为
y
max
,则
??
11?
?
y<
br>max
?y
min
?
,
??
?
y
m
ax
?y
min
?
,
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
.
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
数
性
质
函
y?sinx
y?cosx
-可编辑修改-
y?tanx
。
图象
定义域
值域
R
R
?
?
??
xx?k
?
?,k??
?
2
??
?
?1,1
?
当
x?
2
k
?
?
?
?1,1
?
?
2
R
?
k??
?
时,
?2
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
既无最大值也无最小值 最值
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周期
奇偶性
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
偶函数
2
?
奇函数
?
奇函数
??
??
在
?
2
k
?
?
,2
k
?
?
?
22
??
单调性
?
k??
?
上是增函数;在 <
br>?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?<
br>
?
22
?
??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?<
br>
??
??
在
?
k
?
?
,
k
?
?
?
22
??
?
k??
?
上是减函数.
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称性
对称轴
x
?k
?
?
?
2
?
k??
?
?<
br>??
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?<
br>k??
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?
?
k
?
?
,0
?<
br>?
k??
?
对称中心
?
2
??
无对称轴
16.三角函数奇偶性规律总结(
A?0,
?
?0
)
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
为奇函数的条件为
?<
br>?k
?
,k?Z
函数
y?Asin(
?x?
?
)
为偶函数的条件为
?
?k
?
?
?
2
,k?Z
函数
y?Acos(
?
x??
)
为奇函数的条件为
?
?k
?
?
?
,k?Z
. 函数
y?Acos(
?
x?
?
)
为偶函数的条件为
2
?
?k
?
,k?Z
-可编辑修改-
。
函数
y?Atan(
?
x?
?
)
为奇函数的条件为
?
?
k
?
?
,k?Z
它不可能是偶函数.
2
17.向量:既有大小,又有方向的量.
数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向
量.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:长度相等且方向相反的向量.
18、向量加法:⑴三角形法则的特点:首尾相连.⑵平行四边形法则的
特点:共起点.
r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
r
rr
r
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;
C
r
a
r
b
r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律:
a?b?c?a?b?c
; ③
a?0?0?a?a
.
???
?
r
r
r
r
⑸坐标运算:设
a?
?
x1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,
y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
19、向量减法运算:
?
?
ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向减向量的终点指向被减向量终点.(见上图)
r
r
r
r
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
?
.
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?<
br>,
?
x
2
,y
2
?
,则
????
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
-可编辑修改-
。
20、向量数乘运算:
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量,这种运算叫做向
量的数乘,记作
?
a
.
rr
r
r
r
r<
br>①
?
a?
?
a
;②当
?
?0
时,<
br>?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;
r
r
rrr
rr
r
r
当
?
?0
时,
?
a?0
.0
a
=
0
⑵运算律: ①
?
?
?<
br>a
?
?
?
??
?
a
; ②
??
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;
r
r
r
r
rr
③
?
a?b?
?<
br>a?
?
b
. ⑶坐标运算:设
a?
?
x,y?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
??
r
r
a
r
u
r
(4)
a?
0,
则
r<
br>表示与a同方向的单位向量,-
a
r
a
r
r
表示与a反方向的单位向量。
a
rr
r
rr
r
21向量共
线条件:(1)向量
aa?0
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
??
r
r
r<
br>r
r
(2)共线的坐标表示,设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2<
br>?
,其中
b?0
,则当且仅当
x
1
y
2?x
2
y
1
?0
时,向量
a
、
rr<
br>r
bb?0
共线.
??
如图, OA、 OB 不共线,且
AP?t AB (t?R), 用 OAOB, 表示 OP ;
OP
?OA=t(OB?OA),则OP=(1-t)OA?tOB
结论:已知O、A、B三点不共线, 若点 P 在直线 AB 上,则
uruur
2
2、平面向量基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两
个不共线向量,那么对于这一平面内的任
uruururuur
r
r
意向量<
br>a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2<
br>.(不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做这一平面内所有向量的一组基底)
uuuruuuruuuruuur
uuur
u
uuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuur
OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.
uuuruuur
uruururuururu
ur
小结论:(1)若
e
1
、
e
2
是同一平面内的
两个不共线向量,
xe
1
?ye
2
?me
1
?ne
2
,则x=m,y=n
uruururuurur
(2)若
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,
xe
1
?ye
2
?0,则x=y=0
uuuruuur
?<
br>1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
,
23、分点坐标公式:设点
?
是线段
?1
?
2
上的一点,当
?
1
??
?
??
2
?
x
2
,y
2
?
,
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
.时,可推出点
?
的坐标是
?
(会写出向量坐标,会运
算。)
,
??
?
1?
?
1?
?
?
24、平面向量的数量积:
r
⑴定义:
a?b?
r
r
r
r
r
r
r
abcos
?
a?0,b?0,0
o
?
?
?180
o
??
.零向量与任一向量的数量积为<
br>0
.
r
r
r
r
r
r
acos?
:
a
在
b
方向上的投影=
bcos
?
:
b
在
a
方向上的投影=
r
r
r
uuu
r
uuu
r
b?OB
注意:务必要算对
两个非零向量的夹角:设两个非零向量
a?OA
与,
称为向量
?AOB?
?
a
-可编辑修改-
。
r
与
b
的夹角
(0
o
?
?
?180
o
)
,注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起
点的。
r
r
r
r
r
r
⑵性质:设
a和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b
反向时,
a?b??ab
;
rrr
2
r
2
rrr
r
r
r
r
a?a?a?a
或
a?a?a
. ③
a?b?ab
.
rrr
rrrrr<
br>⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?b
?
?c?a?c?b?c
.
?
?b?
?
?
a?
b
?
?a?
?
?
b
?
;③
?
a<
br>r
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
r
r
2
(5)若
a?
?
x,y?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a
rrr
r
rrr
rr
r
r
r
r
?x2
?y
2
.
r
r
(6)设
a?
?<
br>x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
r
r
r
r
r
r
r
r
(7)设
a
、
b
都是非
零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是a
与
b
的夹角,则
cos
?
?
r
r<
br>x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
?
r
r
22
ab
x
1
2
?y
1
2
x
2
?y
2
.
25、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
⑶
sin
?
?
?
?
?
?si
n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;⑷<
br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co
s
?
?cos
?
sin
?
;
⑸
tan<
br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan<
br>?
1?tan
?
tan
?
变形:(
tan?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
);
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
变形:(
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
).
1?tan
?
tan
?
26、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
变形:
sin
?
cos
?
?
1
sin2
?
2
⑵
cos2
?
?cos
2
??sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin2
?
?(cos
?
?sin
?
)(cos
?<
br>?sin
?
)
变形得到降幂公式:
cos
2
?
?
1?cos2
?
2
,
sin
2
?
?
1?cos2
?
.
tan
2
?
?
1?cos2
?
2
1?cos2
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?.
2
1?tan
?
27、
?sin
?
??c
os
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
,其中
tan
?
?
?
.
t
an
?
?
?
sin2
?
1?cos2
?
?
1?cos2
?
sin2
?
[2014高考题解析,规范解题步骤]
-可编辑修改-
。 π
,
1
)
?
?
已知函数
f
?
x
?
?
1
sin2xsin
?
?cos
2
xcos
?
?
1
sin
?
,其图象过点(.
?<
br>?
0<
?
<
?
??
??
22
?2
?
6
2
(Ⅰ)求
?
的值;(Ⅱ)将函数
y?
f
?
x
?
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
到函数
y?f
?
x
?
的图象,求函数
g
?
x
?
在[0,
2
1
,纵坐标不变,得
2
π
]上的最大值和最小值. 4
22
解:(Ⅰ)因为
f(x)?
1
sin2xsin
?
?cos
2
xcos
?
?
1
sin(
?
?
?
)
(0?
?
?
?
)
所以
11?cos2x1
f(x)?sin2xsin
?
?cos
?
?c
os
?
222
11
?sin2xsin
?
?cos2xco
s
?
22
1
?(sin2xsin
?
?cos2
xcos
?
)
2
1
?cos(2x?
?
)
2
11
?
?cos(2??
?
)
即
226
?
1
又
函数图像过点
(,)
所以
62
又
0?
?
?
?
所以
?
?
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
cos(?
?
)?1
3
?
?
3
y?f(x)
的图像上各点的横坐标缩
短到原来的
23
1
?
f(x)?cos(2x?)
,将函数
23
1
,纵
2
坐标不变,得到函数
y?g(x)
的图像,可
知
g(x)?f(2x)?
1
cos(4x?
?
)
因为
x?
[0,]
4
所以
4x?[0,
?
]
因此
故
4x?
?
?
3
?[?
?
2
?
3
,
3
]
1
?
?
??cos(4x?)?1
所以
y?g(x)
在
[0,]
上的最大值和最小值分别为
23
4
11
和
?
24
-可编辑修改-
。
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-可编辑修改-
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