高中数学大边对大角啥意思-人教版高中数学必修一最重要的知识点
等差数列前n项和说课稿
各位评委,您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实
验教科书数学必修的第5
个模块中第二章的2.3等差数列的前n项和的第一节课。
下面我从
教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、
评价分析等六个方面对本节
课设计进行说明。
一、教材分析
1、教材的地位与作用
(1)等差数列的前n项和的公式是等差数列的定义、通项、前n项和三大重要内容之一。
(2)推导等差数列的前n项和公式提出了一种崭新的数学方法——倒序求和法。
(3)等差
数列的前n项和公式的知识网络交汇力极强。通过公式,一方面可以建立起函
数、方程、不等式之间的联
系;另一方面,可以联系多个知识点编制出灵活多变的数学综合
性问题,有利于实现考能力、考数学综合
素质的目标。
2、教材处理
根据学生的认知规律,本节课从具体到抽象,从特殊到一般,由
浅入深地进行教学,使学
生顺利地掌握知识,发展能力。在教学过程中,运用多媒体辅助教学,提高教学
效率。本节
教材我分两节课完成,第一节课主要学习等差数列的前n项和的公式
s
n<
br>?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
及sn
?na
1
?d
的推导及其基本应用;第二节课主要学习等差数列的前n
22
项和公式的一些性质及其应用。本节课是第一节课。
3、教学重点、难点、关键
教学重点:等差数列的前n项和公式的推导和应用。
教学难点:等差数列的前n项和公式的推导。
教学关键:推导等差数列的前n项和公式的关键
是通过情境的创设,发现倒序求和法。
应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系,建立等差数
列模型,运用公式解决问
题。
4、教具、学具准备
多媒体课件。运用多媒体教学手段,增大教学容量和直观性,提高教学效率和质量。
二、教学目标分析
根据教材特点及教学大纲要求,我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标:
1
1、知识目标:
(1)让学生在新旧知识的联系中完成认知,发现推导公式的思想与方法,并掌握公式。
(2)能用数学建模的方法,正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题。
2、能力目标:
(1)自主探索能力——创设问题情境,让学生自主观察、分析、探索、归纳
和交流,培
养学生的自主探索能力。
(2)建模能力——通过运用等差数列的前n项和公式解
决问题,使学生自主获得数学建
模的方法,培养学生建模、解模的能力。
(3)逻辑思维能力
——通过由浅入深的分析和循序渐进的变式问题的探讨及解决问题后
的反思,培养学生的逻辑思维能力。
3、品德目标:
(1)科学发展观——通过从具体到抽象,从特殊到一般的探索,引导学生走
进“数学再
创造”的情境中,逐步树立科学发展观。
(2)理性思维——通过有梯度的变式题目的分析,使学生养成“联系与转化”的理性思
维。
(3)优化思维品质——采用启发式引导法,使学生通过实践——认识——再实践——再
认识,
提高辩证分析问题的能力,优化思维品质,培养健康的心理素质,使学生懂得只有通
过自己不断亲身实践
才能获得新知的道理。
三、教法、学法分析
1、教法分析
按现代教育观,课堂教
学应充分发挥“教为主导,学为主体,练为主线”的教学思想。
本节课运用“引导探索发现法”,采用“
情境引入——自主探究——成果交流——变式应用—
—反思回授”等五个环节,并使用多媒体辅助教学,
引导学生动手动脑去观察、分析、探索、
归纳获得解决问题的方法,把教学过程变为渴望不断探索真理并
带着美好感情色彩的意向活
动。
2、学法指导
“授人以鱼,不如授人以渔”。教是
为了不教,教给学生好的学习方法,让他们会学习,
并善于用数学思维去分析问题和解决问题,受益终身
。
本节课根据教材特点,激“疑”生“趣”,学生自主探究,学会从具体到抽象,从特殊到
一
般,由浅入深去分析、探索,循序渐进地发现等差数列的普遍规律,从而得出等差数列的
前n项和公式,
在应用公式解决问题时,引导学生理论联系实际,抽象出数量关系,建立数
2
学模型,获得解决问题的方法,带领学生踏上“再创造”之旅。
四、教学过程分析
教学
环节
通过复习等
差数列的定义、通项公式及等差数
2、等差数列的通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d (n?N
*
)
。
列的性质,以旧悟
新,为学习新
知识
3、等差数列
{a
n
}
中,若
p?q?m?n
,则
a
p
?a
q
?a
m
?a
n
(
p
、
q
、
埋下伏笔。
1、等差数列的定义:
a<
br>n
?a
n?1
?d(n?2,n?N
*
)
,
d
为常数。
。
m
、
n?N
*
)
200
多年前,德国著名数学家Gauss(高斯)10岁读小学时,老师出了一
道数学题:
1?2?
3????100??
据说,当其他同学忙于把100个数逐项
相加时,高斯经过思考后很快得
出其结果是5050。
师:“小高斯快速算出
1?2?3????100
的和,成为
千古美谈。同学们,
我们也能成长为高斯。这节课我们研究《等差数列的前n项和》,就是与高斯
比一比,我们也能快速算出
1?2?3????100
,并且把这种方法推广到更
一
般的等差数列前n项和的求法中去。”
这个问题实际上就是本节课要学习的内容:(板书课题)
2.3等差数列的前n项和
以问题激发
兴趣,以问题产生
好奇。课堂开始,
我说:“小高斯快
速算出1+2+3+?
+100的和,成为
千古美谈,同学
们,我们也能成为
高斯。这节课我们
研究《等差数列的
前n项和》,就是与高斯比一比,我
们也能快速算出
1+2+3+?+100,并
且把这种方法推<
br>广到更一般的等
差数列前n项和
的求法中去。”
学生的情绪
高涨起来,六即分
组讨论探究下列
四个问题。
讨论后各小
组汇报研究性成
果。
小组A的成
果主要利用了等
差数列中与首末
项等距离的两项
的和等于首末两
项和的性质。
教 学 设
计 设计意图
复
习
回
顾
引
入
情
境
分
析
展
示
课
题
·
·
一般地,等差数列的前n项和用
s
n
表示,即
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
现在分小组讨论探究下面的问题:
1、1,2,3,??,98,99,100从数列
角度来看,这是什么数列?高斯
用什么方法快速算出这个数列的和?
2、高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推广到求一般数列的前n项和
吗?
3、这些方法用到了等差数列哪一个性质?
4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n项和:
(1)计算
a
1?a
2
?a
3
???a
n?2
?a
n?1?a
n
??
(2)计算
a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)???[a
1
?(n?1)d]??
学生阅读、小组讨论时,老师要眼观六路,耳听八方,对每个学生在自觉
和小组讨论中遇
到的难题,要进行适当点拔,使他们的学习走上正轨,然后各
小组汇报研究性学习成果,进行全班交流。
A组小组长说:1,2,3,??,98,99,100是首项为1,末项为100,
公差为1
的等差数列,高斯的算法是:
(1+100)+(2+99)+??+(50+51)=
101?50?5050
。
3
教学
环节
教 学 设 计
B组小组长说:也可以写成算式的形式:
s?1?2???50?51???99?100
?s?100?99???51?50???2?1
2s?101?101???101?101???101?101
设计意图 小组B的成
果是把正整数列
前100项顺序、倒
序后两相加进行
求和,在
此处发现
数列求和常用的
方法——倒序求
和法。
引
入
情<
br>境
分
析
展
示
课
题
新
课
讲<
br>授
推
导
公
式
·
·
·
s?
101?(1?100)
?5050
。
2
师:很好,
这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法,我们把
这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求
和法运用了等差数学哪一个性质?
B组小组长说:运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于
首末
两项和的性质。即在等差数列
{a
n
}
中,若
p?q?
m?n
,则
a
p
?a
q
?a
m
?a
n
*
(
p
、
q
、
m
、
n?N<
br>)。
教师因势设问:“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗?”
我因势设问:
C组小组长说:可以运用高斯算法——倒序求和法可计算: “能把倒序求和
法推
广到一般的
s
n
?a
1
?a
2
?a
3???a
n?2
?a
n?1
?a
n
等差数列
的前n
项和吗?”如此一
?s
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
???a
3
?a
2
?a
1
问,引出了“思维
冲浪”,学生主体
性自然张扬,给
2s
n
?(a
1
?an
)?(a
2
?a
n?1
)???(a
n?1
?a
2
)?(a
n
?a
1
)
“再发现”加了一
把激情。
?a
1
?a
n
?a<
br>2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???a<
br>n?2
?a
3
?a
n?1
?a
2
?a
n
?a
1
小组C的成
果是把一般形式
?2s
n
?n(a
1
?a
n
)
,
的等差数列前n
n(a
1
?a
n
)
项倒序相加进行
?s
n
? ( ? )
求和,得出等差数
2
D组小组长说:同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算: 列
前n项和的公
s
n
?a
1
?(a
1
?d)???[
a
1
?(n?2)d]?[a
1
?(n?1)d]
?s<
br>n
?[a
1
?(n?1)d]?[a
1
?(n?2)d]??
?(a
1
?d)?a
1
式
( ? )
。
小组D的成
果是把用通项公
式表示的等差数
列前n项倒序相
2s
n
?[2a
1
?(n?
1)d]?[2a
1
?(n?1)d]???[2a
1
?(n?1)d]?[
2a
1
?(n?1)d]
加后求和,得出等
n(n?1)
差数列的前n项
?s
n
?na
1
?d
(??)
2
和的公式
( ?? )
。
4
教学
环节
教 学 设 计
E组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式
( ? )
:
设计意图 小组E的成
果是利用通项公
式的变式,倒序相
加后进行求和同
样可以推导
出等
差数列的前n项
和的公式
( ? )
、
s
n
?
a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)???[a
1
?(n?1)d]
?s
n
?a
n
?(a
n
?d)?(a
n
?2d)???[a
n
?(n?1)d]
2s
n
?(a
1
?a
n
)?(a
1
?a
n
)?(a
1
?a
n
)???(a
1
?a
n
)
n(a
1
?a
n
)
?s
n
?
( ? )
2
以
a
n
?a
1
?(n?1
)d
代入也可得到公式
(??)
的形式。
师:非常好。公式
( ?
)
、
(??)
称为等差数列的前n项和公式,用这些公式
可求得等差数列的前
n项和。
( ?? )
。
这样,等差数
列的前n项和的
公式的推
导过程,
就成了学生研究
性思维学习成果
的展示过程,在这
个“过程”中,学
生学会了怎样学
习和怎样思考,在
连续的变式推理
过程中,创造性思
维品质在不断的
追问、假设、探究
和想象中培养起
来。
新
课
讲
授
推
导
公
式
引导学生比较得出:若已知等差数列首项为
a
1
,末项为
a
n
,项数为
n
,
·
n(a
1
?a
n
)
求和;若已知等差数列首项为
a
1
,
公差
2
n(n?1)
d
求和较为简便。为
d
,项数为
n
,则直接运用公式
(??)
s
n
?na
1
?<
br>2
可直接运用公式
( ? )
s
n
?
从公式的结构特
点可知,公式化共包含五个量
a
1
,
a
n
,
n,
d
,
s
n
,只要知
道其中三个量,就可以求出其余两
个量。
思考:比较两个公式
( ?
)
、
(??)
,说说它们分别从哪些角度反映等差数列
的性质?
5
教学
环节
请同学们解下列一组题。
计算下列各题:
(1)
1?2?3???n
。
教 学 设 计 设计意图
讲授
新
课
熟
悉
公
式
初
步
应用
公
式
·
·
1、推导出公
式
之后,通过常用
的正整数列、正奇
数列、正偶数列的
(2)
1?3?5???
(2n?1)
。
求和,使学生初步
熟悉等差数列的
(3)
2?4?6???2n
。
前n项和的公式。
(4)
1?2?3?4?5?6???(2n?1)?2n
。
2、通过练习
生:直接利用等差数列的前n项的公式
( ? )
求得: (4),使学生明白
n(1?n)
一些题目表面看
(1)原式
?
(这是正整数列之和)。
来没有等差数列
2
n(1?2n?1)
的规律,只
要认真
?n
2
(这是正奇数列之和)(2)原式
?
。
观察
,深入分析,
2
n(2?2n)
进行适当分组,局
?n
2
?
n
(这是正偶数列之和)(3)原式
?
。
部是符合等差数
2
师:第(4)题中的数列不是等差数列,但在解题时我们应仔细观察,由列规律的。从中培
此及彼,由
表及里,去伪存真,寻找规律,可能某局部成等差数列(学生在老养学生的分析能
师引导下会悟到)。
力,提高拓展能力
生甲:把正数项与负数项分开,正好组成正奇数列与正偶数列之差。 和创新能力,也
培
养“联系与转化”
?
原式
?[1?3?5?
?
?(2n?
1)]?(2?4?6?
?
?2n)
的理性思维,为进
22
?n?(
n?n)
。
一步运用等差数
??n
列的前n项和的
生乙:原数列虽
然不是等差数列,但还有一个规律,相邻两个正整数之差公式解应用题打
下知识基础和思
为1,
即依次相邻两项结合都为
?1
,可得另一解法:
想方法基础。
原式?(1
?2)?(3?4)?(5?6)?
?
?[(2n?1)?2n]
??1?1?
?
?
?1
??????
n个
??n
师:从以上
解题过程反思,可以看到一些题目表面上好像没有什么规律,
在解题时只要我们仔细观察、寻找规律,是
会找到好的解题方法的。
6
教学
环节
教 学 设 计
*
例1、求集合
M?m|m?7n,n?N且m?100<
br>的元素个数,并求这些
设计意图
讲
授
新
课
建
立
数
学
模
型
解
应
用
题
1、在应
用等
差数列的前n项
元素的和。 和的公式解应用
引导学生清楚地认识到,要找到解应
用题的方法,必须运用理论联系实际题时,使学生学会
的方法,抽象出数量关系,建立相应的数学模型,
这是寻找解题方法的关键。运用理论联系实
求等差数列的和,要特别注意数列的项数n是什么。
际的方法抽象出
师:元素
m
的个数应根据什么条件确定? 数量关系,建立相
应的数学模型,即
生:应根据
m
、
n
的范围、条件确定,由
m?100
,得
7n?100
,
1002
等差数列模型,从
?n??14
,又
?n?N
*
,
而获得解题方法,
77
培养学生学数学、
?满足上面不等式的正整数n共有14个,
用数学的意识和
能力。
所以集合M的元素m共有14个
。
师:请把这14个元素从小到大列出来。 2、分别用公
生:7,14,21,??,98。
式
( ? )
、公式
师:这是一个什么数列?
??
·
生:这个数列是等差数列,记为
?
a
n?
,其中首项
a
1
?7
,末项
a
14
?98
,
( ?? )
解答,使学
项数
n?14
,公差d?7
,根据等差数列的前n项和公式得:
s
14
?
n(a<
br>1
?a
n
)
14?(7?98)
??735
。
22
答:集合M共有14个元素,它们的和等于735。
师:可能用公式
(??)
解答吗?
生:可以,有:
s
n<
br>?na
1
?
生认识到掌握题
目的数量关系后,
可以从多角度去
解应用题,培养学
生发散思维。
n(n?1)14?(14?1)
d?14?7??7?735
。
22
师:比较一下,这两种方法有什么不同之处?
生:用公式
( ? )<
br>要先求出
a
n
,再运用公式。用公式
(??)
不需求
a
n
就可以
直接运用公式,显然用公式
(??)
方法简单。
7
教学
环节
教 学 设 计
例2
、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工
程的通知》。某市据此提出了
实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用
10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网,据
测算,2001年该市用于
“校校通”工程的经费为500万元,为了保证工程的顺利实施,计划每年投
入
的资金都比上一年增加50万元,那么从2001年起的未来10年内,该市在“校
校通”工
程中的总投入是多少?
对此例题,老师先启发引导,然后让学生练习,如有不懂再点拔。实施“校校通”工程的经费,每年是多少?总投入经费是多少?想一想这个问题的数量
关系与我们所学过的哪
些数学规律类似?500万,50万,未来10年的“10年”,
工程总投入等相当于数学理论中什么量
?从中建立求解的数学模型。
学生甲:根据题意,从2001年起到2010年该市每年投入“校校通
”工程
的经费都比上一年增加50万,可以建立一个等差数列
?
a
n
?
,表示从2001年
起每年投入的资金。其中
a
1
?500,d?
50,n?10
。由公式
(??)
可知,投入金
额为:
设计意图
在解答例2
时,经老师启发引
导后,让学生先练
后讲,巩固学生的
解
题程序,强化应
用意识,加深学生
对解应用题必须
要建立数学模型
的重要性的
认识,
进一步掌握建立
数学模型的方法。
讲
授
新
课
建
立
数
学
模
型
解
应
用
题
巩
固
练
习
·
s
n
?na
1
?
n(n?
1)10?(10?1)
d?10?500??50?7250(万元)
。
22
学生乙:也可以用公式
( ? )
求解:
a
10
?500?(10?1)?50?950
,
s
10
?
n(a
1
?a
n
)
10?(500?950)<
br>??7250(万元)
。
22
答:从2001年起到2010年,该市在“校
校通”工程中总投入资金7250
万元。
1、再次强化
数学建模等解题
元素的和。 程序。
2、一位技术人员计划用
下面的办法测试一种赛车:从时速10kmh开始,2、通过学生
每隔2s速度提高20kmh。如果测
试时间为30s,测试距离是多长? 自己编题来练习,
3、请同学们参考例1、例2和课堂练习题自己
编写一道求等差数列前n进一步巩固对等
项和的练习题。 差数列的前n项
和的公式的理解,
培养学生求异、发
散等思维能力。
*
1、求集合
M?m|m?2n?1,n?N且m?
60
的元素个数,并求这些
??
8
教学
环节
教 学 设 计
师:谁来总结一下,本节课学习了什么内容和方法?
生:1、本节课学习了等差数列的前n项和公式
设计意图
启发、引导学
生
归纳总结,一方
面可以了解学生
听课接受能力的
情况,另一方面可
以培养学生
归纳
总结的能力,使学
生系统记忆本节
课所学习的知识。
s
n
?
归
纳
总
结
n(a
1
?a
n
)
( ? )
2
n(n?1)
s
n
?na
1
?d
( ?? )
2
2、学习了一种崭新的数学方法——倒序求和法。
师:总结得很好,我们还应注意以下几点:
1、公式
( ? )
、
(??)
共有五个量,只要知道其中三个量,就可以求出其他
两个量。这是下一节课要学习的内
容。
2、求等差数列的前n项和,要特别注意公式中的项数n是什么。
3、解应用题时,必
须运用理论联系实际的方法,抽象出数量关系,建立
相应的数学模型,才能找到适当的解题方法。
1、课本
P
53
习题2.3第2题。
2、自己编写一道求等差数列的前n项和的练习题。
3、写一篇学习“等差数列的前n项和”的心得。
4、预习:课本
P
50
—
P
51
。
9
布
置
作
业
1、布置与课
堂例题同类型的
习题做作业,可以
复习、巩固课堂学
习的知识。
2、通过学
生
自己编题和写小
论文,让学生深一
层理解课堂所学
习的知识,提高应
用知识的能力,这
是当前教改的新
措施。
3、预习可以
培养学生的自觉
能力,使学生成为
学习的主人。
教学
环节
教 学 设 计 设计意图
教
学信
息
反
馈
五
分
钟
测
验
如图,
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比通过小测验
它下面一层多放一支,最上
面一层放120支,这个V形架上共放多少支铅笔? 检查学生对该节
内容学习的情况,
真实地反馈教学
信息,从而在下一
节课及时调控,查
漏补缺,提高教学
质量。
五、板书设计分析
推导过程及例1、
例2安排在黑板中间,突出重点,有利于学生系统理解和掌握知识,培养
学生的理性思维。整个黑板书写
从左向右安排得整齐有序,给学生美的享受,使学生在愉快
的气氛中接受知识。
·
课题
公式
情境引入
公式推导过程
例1
例2
堂上练习
布置课外作业
公式写在开头课题之下,方便学生辨认公式、记忆公式和
运用公式。把情境引入、公式
六、评价分析
综观本节课教学有五大特色:
1、站在数学科的整体高度处理教材,问题的提出与解决融合于数学学习和研究的思维方
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法中,体现数学的科学价值和人文价值。
2、本节课运用阅读
、讨论、启发、引导发现法,通过情境引入激“疑”生“趣”,让学
生的求知欲高涨起来,使学生在自主
学习中,从“要我学”变为“我要学”,成为学习的主人,
挖掘潜能,在动手动脑的过程中去探索、去创
新,在学习中逐步形成科学发展观。
3、本节课先尝试猜想,后推理证明,培养了学生的理性思维。
4、本节课师生的共同活动始终在平等、融洽、愉悦的气氛中进行,学生得到了包括知识
方法在
内的多方面满足与发展,并共同感悟思潮的跌宕与情感的涌动,有利于学生自主发展
的健康心理的养成。
5、本节课突出数学方法的提出与形成,巧设变式练习,注意技能训练,教学重点突出,
难点分
散,循序渐进,水到渠成地突破难点。
通过五分钟测试反馈的信息,说明本节课的设计和教法是非常恰
当的,符合《新课标》
的要求,教学观念从教学转变为导学。通过学生自主学习,收到了预期的效果,完
成了各项
教学任务,我认为是一次成功的教学。
谢谢!
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