高中数学恒成立问题方法-辽宁高中数学知识点大全
3.4.1
【教学目标】
基本不等式(1)
1学会
推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号
“≥”取等号的条件是
:当且仅当这两个数相等;
2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;
3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式
ab?
过程;
【教学难点】
基本不等式
ab?
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式
ab?
a?b
的几何背景:
2
a?b
等号成立条件
2
a?b
的证明
2
探究:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色
的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
2 合作探究
(1)问题
1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
(教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系)
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三
角形的
长为
a
、
b
,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
<
br>生答:
a
2
?b
2
,
a?b
22
提问3:那4个直角三角形的面积和呢?
生答:
2ab
提问4:好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等
式,a?b?2ab
。什么时候这两部分面积相等呢?
生答:当直角三角形变成等腰直角三角
形,即
a?b
时,正方形EFGH变成一个点,这时有
22
a
2?b
2
?2ab
结论:(板书)一般地,对于任意实数
a<
br>、
b
,我们有
a?b?2ab
,当且仅当
a?b
时,
等号成立。
提问5:你能给出它的证明吗?
(学生尝试证明后口答,老师板书)
22
(a?b)?0,当a?b时,(a?b)?0,
证明:
a?b?2ab?(a?b),当a?b时,
所以
a?b?2ab
注意强调 当且仅当
a?b
时,
a?b?2ab
(2)特别地,如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a
、b,可得a?b?2ab
,也可写成
22
22
22222
ab?
a?b
(a?0,b?0)
,引导学生利用不等式的性质推导
2
(板书,请学生上台板演):
a?b
?ab(a?0,b?0)
①
2
即证
a?b?
②
要证②,只要证
a?b?
?0
③
要证:
要证③,只要证
( - )
?0
④
显然,
④是成立的,当且仅当
a?b
时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几
何平均数
ab?
2
a?b
2
探究:课本中的“探究” <
br>在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于
AB的
弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本
a?b
不等式
ab?
的
几何解释吗?
2
易证
Rt
△
ACD∽
Rt
△
DCB
,那么
CD
2
=
CA
·
CB
即
CD
=
ab
.
a?b
a?b
,显然,它大于或等于
CD
,即
?ab
,其中当且仅当22
点
C
与圆心重合,即
a
=
b
时,等号成立
.
这个圆的半径为
因此:基本不等式
ab?
a?b
几何意义是“半
径不小于半弦”
2
a?b
看作是正数a、b的等差中项,
ab
看作
是正数a、b的等
2
比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中
项.
评述:1.如果把
即学即练:
1若
0?a?b
且
a?b?1
,则下列四个数中最大的是
( )
A.
2
a,b是正数,则
A.
C.
1
B.
2
a?b
,
2
a
2
?b
2
C.2ab D.a
ab,
2ab
三个数的大小顺序是 ( )
a?b
a?b2aba?b2ab
B.
ab?
?ab??
2a?b2a?b
ab?
2aba?b
?
a?b2
2aba?b
D.
?ab?
a?b2
答案 B C
例题分析:
(1)
xy
xyxy
??2?
=2即
?
≥2.
yx
yxyx
(2)x+y≥2
xy
>0
x
2
+y
2
≥2
x
2
y
2
>0
x
3
+y
3
≥2
x
3
y
3
>0
∴(x+y)(x
2
+y
2
)(x
3
+y
3
)≥2
xy
·2
x
2
y
2
·2
x
3
y
3
=8x
3
y
3
即(x+y)(x
2
+y
2
)(x
3
+y
3)≥8x
3
y
3
.
变式训练:
X>0,当X取何值时X+
解析:因为X>0,
X+
1
有最小值,最小值是多少
x
1
1
?x
=2
≥2
x
x
当且仅当X=
1
时即x=1时有最小值2
x
点评:此题恰好符合基本不等式的用法,1正2定3相等 可以具体解释每一项的
意思。
当堂检测:
1.下列叙述中正确的是( ).
(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
(C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值
(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值
12下面给出的解答中,正确的是(
).
1
(A)
y
=
x
+≥2
x
x
·=2,∴
y
有最小值2
x
4
|sin
x
|·=4,∴
y
有最小值4 |sin
x
|
2
)=(
2
1
4
(B)
y
=|sin
x
|+≥2
|sin
x
|
(
C)
y
=
x
(-2
x
+3)≤(
当
x=1时,
y
有最大值(
9
x
-2
x
+3-x
+3
2
),又由
x
=-2
x
+3得
x
=1,∴
2
-1+3
2
)=1
2
≤3-2(D)
y
=3-
x
-
x
x<
br>x
·
9
x
=-3,
y
有最大值-3
4
3.已知
x
>0,则
x
++3的最小值为( ).
(A)4 (B)7 (C)8
(D)11
1
4.设函数
f
(
x
)=2<
br>x
+-1(
x
<0),则
f
(
x
)(
).
x
(A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数
(D)是减函数
1 B 2.D 3 B 4 .A
基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取
等号的条件是:当且仅当这两个数相等;学会推导并掌握基本不
等式,理解这个基本不等式的几何意义,
并掌握定理。
二、预习内容
一般地,对于任意实数
a
、
b
,我们有
a?b?2ab
,当
,等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,字母表示:
。
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
课内探究学案
疑惑内容
22
教学目标
a
2
?b
2
?2ab
,不
等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相
等;学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式
的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式
ab?
过程;
【教学难点】
基本不等式
ab?
a?b
等号成立条件
2
a?b
的证明
2
合作探究 1
证;
a?b?2ab
强调:当且仅当
a?b
时,
a?b?2ab
特别地,如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a、b,可得a?b?2ab
,也可写成 <
br>22
22
ab?
a?b
(a?0,b?0)
,引导学生利用不
等式的性质推导
2
证明:
结论:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab?
a?b
2
探究2:课本中的“探究”
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,B
C=b。过点C作垂直于AB的弦
DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式
a
b?
a?b
的几何解释
2
练习
1若
0?a?b
且
a?b?1
,则下列四个数中最大的是
( )
A.
1
B.
2
a?b
,2
ab,
a
2
?b
2
C.2ab
D.a
2
a,b是正数,则
A.
C.
2ab
三个数的大小顺序是 ( )
a?b
a?b2aba?b2ab
B.
ab?
?ab??
2a?b2a?b
ab?
2aba?b
?
a?b2
2aba?b
D.
?ab?
a?b2
答案 B C
例题分析:
已知x、y都是正数,求证:
(1)
yx
?
≥2;
xy
( 2)
X>0,当X取何值时X+
22
1
有最小值,最小值是多少
x
分析:
a?b?2ab
,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性
质成立的条件),进行变形. 1正2定3相等
51
变式训练:1已知
x
<,则函数
f
(
x
)=4
x
+的最大值是多少
?
44
x
-5
2 证明:(x+y)(x
2
+y
2
)(x
3
+y
3
)≥8x
3
y<
br>3
.
分析:注意凑位法的使用。
注意基本不等式的用法。
当堂检测:
1.下列叙述中正确的是( ).
(A)两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(B)两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
(C)若两个数的和为常数,则它们的积有最大值
(D)若两个数的积为常数,则它们的和有最小值
2下面给出的解答中,正确的是(
).
1
(A)
y
=
x
+≥2
x
x
·=2,∴
y
有最小值2
x
4
|sin
x
|·=4,∴
y
有最小值4 |sin
x
|
2
)=(
2
1
4
(B)
y
=|sin
x
|+≥2
|sin
x
|
(
C)
y
=
x
(-2
x
+3)≤(
当
x=1时,
y
有最大值(
9
x
-2
x
+3-x
+3
2
),又由
x
=-2
x
+3得
x
=1,∴
2
-1+3
2
)=1
2
≤3-2(D)
y
=3-
x
-
x
x<
br>x
·
9
x
=-3,
y
有最大值-3
4
3.已知
x
>0,则
x
++3的最小值为( ).
(A)4 (B)7 (C)8
(D)11
1
4.设函数
f
(
x
)=2
x
+-1(
x
<0),则
f
(
x
)( ).
x
(A)有最大值 (B)有最小值 (C)是增函数 (D)是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高
1 已知
x、y都是正数,求证:
①
如果积
xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2p
②
如果和
x?y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S
1
4
2
[拓展探究]
111
2.
设a, b, c
?(0,??),
且a+b+c=1,求证:
(?1)(?1)(?
1)?8.
abc
答案:1略 2 提示可用a+b+c换里面的1
,然后化简利用基本不等式。
§3.4.2 基本不等式的应用
【教学目标】
1
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;
2 本节课是基本不等式应用举
例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出
数量关系进行求解这个中心。
3
能综合运用函数关系,不等式知识解决一些实际问题.
教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
教学过程:
一、创设情景,引入课题
提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把
a?
b
叫做正数
a、b
的算术平均数,
2
把
ab
叫做正
数
a、b
的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
讲解:已
知
x,y
都是正数,①如果
xy
是定值
p
,那么当
x?y
时,和
x?y
有最小值
2p
;
②如果和
x
?y
是定值
s
,那么当
x?y
时,积有最大值
1
2
s
4
二、探求新知,质疑答辩,排难解惑
1、
新课讲授
例1、(1)用篱笆围一个面积为100
m
2
的矩形菜园
,问这个矩形的长、宽各为多少时,所
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(
2)一段长为36
m
的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜
园
的面积最大。最大面积是多少?
分析:
(1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:(1)设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则
xy
由
?100,
篱笆的长为2(
x?y
)
x?y
?xy
,
2
可得
x?y?2100
2(
x?y
)
?40
等号当且仅当
x?y时成立,此时x?y?10
,因此,这个矩形的长、宽为10
m时,
所用篱笆最短,最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则2(
x
积为
xy
m
2
,
由
xy?
?y
)=36,
x?y
=18,矩形菜园的面
x?y
18
??9,
可得
xy?81
,
22
可得等号当且仅当
x?y时成立,此时x?y?9
点评:此题用到了 如果
xy
是定值
p
,那么当
x?y时,和
x?y
有最小值
2p
;
如果和
x?y
是定值
s
,那么当
x?y
时,积有最大值
变式训练:
用长为
4a
的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?
解:设矩形的长为<
br>x(0?x?2a)
,则宽为
2a?x
,矩形面
S?x(2a?x)<
br>,
且
x?0,2a?x?0
.
由
x(2a?x)?
取等号),
2
由此可知,当
x?a<
br>时,
S?x(2a?x)
有最大值
a
.答:将铁丝围成正方形时,1
2
s
4
x?(2a?x)
(当且近当
x?
2a?x
,即
x?a
时
?a
.
2
才能有最大面积<
br>a
.
例2(教材
P
89
例2)某工厂要建造一个长方体无盖
贮水池,其容积为4800m,深为3m,如果
3
2
池底每1m的造价为150元,池
壁每1m的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,
最低总造价是多少元?
22<
/p>
分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数
的最值,其中用到了均值不等式定理。
解:设水池底面一边的长度为
xm
,水池的总
造价为
l
元,根据题意,得
l?240000?720(x?
1600
1600
)
?
240000?720?2x?
x
x
?240000?720?2?40?29760
0
1600
当
x?,即x?40时,l有最小值2976000.
x
因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最
低总造价是
297600元
评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。
变题:某
工厂要制造一批无盖的圆柱形桶,它的容积是
?
立方分米,用来做底的
金属每平方分米
价值3元,做侧面的金属每平方米价值2元,按着怎样的尺寸制造,才
能使圆桶的成本最低。
解:设圆桶的底半径为
r
分米,高为
h
分米,圆桶的成本为
m
元,则
3
2
m?
3
?
r
2
?2?2?
rh
求桶成本最低,即是求
m
在
r
、h
取什么值时最小。将
h?
3
代入
m
的解析式,得 <
br>2
2r
m?3
?
r
2
?2(2
?
r
)(
3
?
r
2
?
36
?
2
=)?3
?
r?
r
2r
2
3
?
3
?
3
?
3
?
??3
3
(3
?
r
2
)???9
?
rrrr
2
3
?
3
?
3
?
时,取“=”号。
??
rrr
3∴当
r?
1(分米),
h?
(分米)时,圆桶的成本最低为9
?
(元)。
2
当且仅当
3
?
r?
点评:分析题意、
设未知量、找出数量关系进行求解,
归纳整理,整体认识
a?b
2
),
a
2
?b
2
?2ab
.
2
1.求
最值常用的不等式:
a?b?2ab
,
ab?(
2.注意点:一正、二定、三
相等,和定积最大,积定和最小.
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测:
1 下列函数中,最小值为4的是: ( )
A.
y?x?
4
4
B.
y?sinx?
(0?x?
?
)
sinx
x
y?log
3
x?4log
x
3
C.
y?e
x
?4e
?x
D.
2.
设
x,y?R,且x?y?5,则3
x
?3
y
的最小值是(
)
A. 10 B.
63
C.
46
D.
183
3函数
y?x1?x
2
的最大值为 .
4建造一个容积为18m
3
,
深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m
2
的造价为200
元和150元,那么池的最低造价为 元.
5某食品
厂定期购买面粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面
粉的保管等其它费用为
平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元.求该厂多少
天购买一次面粉,才能使平均每天所支
付的总费用最少?
答案:1C 2 D
3
1
4 3600 5
x?10
时,
y
有最小值
10989
,
2
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1如果
xy
是定值
p
,那么当
x?y
时,和
x?y
有最
2如果和
x?y
是定值
s
,那么当
x?y
时,积有最
3若
x??1
,则
x
=_____时,
x?
1
有最小值,最小值为_____.
x?1
4.若实数a、b满足a+b=2,则3
a
+3
b
的
最小值是_____.
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1
用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2
引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点:正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件
二、学习过程
例题分析:
例1、(1)用篱笆围一个面积为100
m
2
的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所
用的篱笆最短,最短的篱笆是多少?
(2)一段长为
36
m
的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜
园的面积最大。
最大面积是多少?
分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值
(2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解:
变式训练:1用长为
4a
的铁丝围成矩形,怎样才能使所围的矩形面积最大?
2一份印刷品的排版面积(矩形)为
A
它的两边都留有宽为
a<
br>的空白,顶部和底
部都留有宽为
b
的空白,如何选择纸张的尺寸,才能使用纸量
最少?
变式训练 答案 1
x?a
时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是
Aa
?2a
和b
Ab
?2b
.
a
例2:)
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m,深为3m,如果池底每
22
1m的
造价为150元,池壁每1m的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总
造价是多少元
?
分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数
的最值,其中用到了均值不等式定理。
3
答案:底面一边长为40时,总造价最低2976000。
变式训练:建造一个容积为18m
3
,
深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m
2
的造
价为200元和150元,那么池的最低造价为 元.
答案:3600
当堂检测:1若x,
y是正数,且
14
??1
,则xy有 (3 )
xy
A.最大值16
B.最小值
2已知
x?0,y?0
且满足
11
C.最小值16
D.最大值
1616
28
??1
,求
x?y
的最小值.4
xy
A.16 B20. C.14 D.18
3 某食品厂定期购买面
粉,已知该厂每天需要面粉6吨,每吨面粉的价格为1800
元,面粉的保管等其它费用为平均每吨每天
3元,购面粉每次需支付运费900元.求该厂多
少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最
少?
答案:1 C 2 D 3
x?10
时,
y
有最小值
10989
,
课后复习学案
1已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值.
2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期
中考试)某种汽车的购车费用是10万元,
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元,年维修费用第一年是
0.2
万元,以
后逐年递增
0.2
万
元。问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多
少?
3某公司租地建仓库,每月土地占用费y
1
与车库到车站的距离成反比
,而每
月库存货物的运费y
2
与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓<
br>库,这两项费用y
1
和y
2
分别为2万元和8万元,那么要使这两项费
用之和
最小,仓库应建在离车站多少公里处?