高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

一.不等式知识要点
1.两实数大小的比较
?
?
a?b?a?b?0
?
a?b?a?b?0
?
?
a?b?a?b? 0


2.不等式的性质：8条性质.


?
?
?
a
2
?
?
?
b
2
?2ab?
?
a
2
?b
2
?
1
(a?b)2
?
?
?
?
2
a?b
2
3.基 < br>?
整式形式
?
?
ab?
?
?
?
?< br>?
?
2
?
?
本不
?
?
a
2
?b
2
?
?
ab?
2
?
?
等式< br>?
?
?
?
?
a?b
定理
?
?根式形式
?
?
?ab
?
?
2
a?b?2(22
?
?
a?b)
?
?
?
?
分式形式
ba
?
a
?
b
?2(a,b同号）
?
?< br>1
?
a?0?a
?
倒数形式
?
?
?
a
?2
?
?
?
?
a?0?a?
1
a
??2

4.公式：
2a?ba
2
?b
2
a< br>?1
?b
?1
?ab?
2
?
2


1

3.解不等式
?
?
x?
(1)一元一次不等式
ax?b(a?0)
?
?
x?
(2)一元二次不等式：
?
判别式
△=b
2
- 4ac


b
(a?0)
a
b
(a?0)
a
△<0

△>0 △=0

y=ax
2
+bx+c
的图象
(a>0)

y
x
1

O
x
x
2

y
y


O
x
1

x


O
x

没有实根

ax
2
+bx+c=0
有两相异实根
(a>0)的根

有两相等实根


x
1
, x
2
(x
1
2
)


x1=x2=
?
b
2a

b
}
ax
2
+bx+c>0
{x|xx2} {x|x≠
?
(y>0)的解
集


2a
R

ax
2
+bx+c<0
{x|x1< x (y<0)的解
集




Φ

Φ


2

一元二次不等式的求 解流程
：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
(3)解分式不等式：




高次不等式：
?
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
?
?
g(x)
?
f(x)
?
f(x)?g(x)?0?
?0?
?
?
?
g(x)?0
?
g(x)(x?a
1
)(x?a
2
)?(x?a
n
)?0

(4)解含参数的不等式：
（1） (x – 2)(ax – 2)>0
（2）x
2
– (a+a
2
)x+a
3
>0；
（3）2x
2
+ax +2 > 0；
注:解形如ax
2
+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：
1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的
大小；
二、运用的数学思想：
1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想
(4)含参不等式恒成立的问题：


3

22
x?(3?a
例1．已知关于x的不等式
)

x

?

2

a

?

1

?

0

在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围
．
例2．关于x的不等式 < br>、
函数
?
1
?
?
2
、
分离参数后用 最值
?
3
?
、
用图象
y?log
2
(?a x
2
?ax?1)
对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.
例3.若对任意
x
x?0,
2
?a恒成立，
x?3x?1
则 的取值范围.
a



(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、
函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次
不等式组求解.

4

二次方程根的分布问题的讨论
?
f(k)?
y
1．x
?
0
1
< x
2
< k
?
?
?
b
?k
?
2a
x
1
k
?
?
??0
O
x
x
2
y
?
?
f(k)?0
2．k < x
1
< x
2
?
?
?
b
?k
?
2a
?< br>?
??0
k
x
1
O
x
2
x
y
3．x
1
< k < x
2
f(k)?0
k
x
1
O
x
x





：
5

4． k
1
< x
1
< x
2
< k
2
5． x
1
< k
1
< k
2
< x
2





k
1
x
1
O
x
2
y
k
2
x
y
O
k
1
x
1
k
2
x
2
x
?
f(k
1
)?0
?
f(k
2
)?0
?
?
?
f(k
1
)?0< br>?
??0

?
f(k)?0

?
?
2
?
k??
b
?k
12
?
2a
?

6． k
1
1
< k
2
< x
2
< k
3


O
k
2
x
2
k
3
x
k
1
x
1
y
?
f(k
1
)?0
?
?
f(k
2
)?0
?
f(k)?0
?
2
4解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

z?ax?by


z?x?y
22
y
z?
x
6

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的
个数。

2.求函f(x)?2?log
1
2
x?
logx
(0?x?1)的最大值；
2
3

4.f(x)=x+
1
x?1
（x?4）的最小值

4.求函数
f(

x

)

?

(

x

?

1)
x

2
?

?
1

4

(x

?

?

1)
的最小值.

5.已知两个正数
a

,

b
满足
a

?

b

?

4,
求使
28
a
?
b
?m
恒成立的
m
的取值范围.
6

1.已知x>0,y>0，且
1

x
+
9
y
=1，求x+y的最小值.

7