高中数学立体几何向量-高中数学名师工作室研究方向
高中数学必修4重难点
第一章 三角函数
?
正角:按
逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角<
br>
?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点
与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为
第几象限
角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?
90?k?360?180,k??
?
第三象限角的集合为
?
?<
br>k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?3
60,k??
?
终边在
x
轴上的角的集合为
?
?
?
?k?180,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为<
br>?
??
?k?180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?<
br>?
,k??
?
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
第一象限角的集合为<
br>?
k?360?
?
?k?360?90,k??
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
6、弧度制与角度制的换算公式:
2
?<
br>?360
,
1?
7、若扇形的圆心角为
?
l
. r
?
180
,
1?
?
?
180
??
?57.3
.
?
??
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C
,面积为<
br>S
,则
l?r
?
,
C?2r?l
,
S?11
lr?
?
r
2
.
22
8、设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?<
br>x,y
?
,它与原点的距离是
rr?x
2
?y
2?0
,则
sin
?
?
?
?
yxy
,<
br>cos
?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?
.
rrx
y
P
O
T
9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
10、三角函数线:
sin
????
,
cos
?
???
,
tan
?
???
.
11、同角三角函数的基本关系:
M
A
x
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,
cos
2
?
?1?sin
2
?
?
;
1
?
2
?
sin
?
?
tan
?
cos
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??<
br>.
tan
?
??
12、同角三角函数的诱导公式:
?1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
??
?
?tan
?
?
k??
?
.
?<
br>2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??co
s
?
,
tan
?
?
?
?
?
?ta
n
?
.
?
3
?
sin
?
?
?<
br>?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
??
?
?
??tan
?
.
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
?
5
?
sin
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
6
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
??
2
??
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
13、图像的变换
①函数
y?sinx
的图象上所有点向左(右)平移?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再
将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象
上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
y
?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?si
n
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原
来的
?
倍(横坐标不变),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
②函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐
标伸长(缩短)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变),得到函数
?
y?
sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图
象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?<
br>?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
?
倍(横坐标不变
),得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象.
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
?
;②周期
:
??
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
?
;④相位:
?
x?
?
;⑤初相:
?
.
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
,当
x?x
1
时,取得最小值为
y
min ;当
x?x
2
时,取得最大值为
y
max
,则
??
11?
?
y
max
?y
min
?
,
??
?
y
max
?y<
br>min
?
,
?x
2
?x
1
?
x1
?x
2
?
.
222
2
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y?cosx
y?sinx
性
质
数
y?tanx
图象
定义域
值域
R
R
?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
?
?1,1
?
?
当
x?
2k
?
?
?
k??
?
时,
2
y
m
ax
?1
;当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时,
R
最值
?
2
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
既无最大值也无最小值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周期性
奇偶性
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
偶函数
2
?
奇函数
?
奇函数
??
在
?
2k
?
?
,2k
?
?
?
?
22
?
??
单调性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是
?
k??
?
上是增函数;
增函数;
在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?
?
?
上是
减函数.
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
2
?
?
3
?
在
?
2k
??,2k
?
?
?
?
22
?
??
?
k??
?
上是增函数.
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称性
对称轴
x
?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
?
2
?
k??
?
?
?
?
?
,0?
?
k??
?
2
?
对称中心
?
无对称轴
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?
【三角恒等式的变换】
1.两角和与差的三角函数
;
sin(?)?sincos?cossin
;
cos(?)?coscos?si
nsin
??????
??????
tan
?
?tan
?<
br>tan(
?
?
?
)?
。
1tan
?
tan
?
2.二倍角公式
3
;
sin2
?
?2sin
?
c
os
?
2222
;
cos2?cos?sin?2cos?1?1?2si
n
?????
2tan
?
。
tan2
?
?
2
1?tan
?
3.三角函数式的化简
常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公
式的逆用等。(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④
尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数。
(1)降幂公式
11?co
s2
?
1?cos2
?
22
;
cos
。
sin
?
cos
?
?sin2
?
;
sin
?
?
?
?
2
22
(2)辅助角公式
22
asinx?bcosx?ab??sinx?
?
,
??
16、向量:既有大小,又有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
数量:只有大小,没有方向的量.
零向量:长度为
0
的向量.
单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
C
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:
a?b?a?b?a?b
.
a
?
⑷运算性质:①交换律:
a?b?b?a
;
②结合律:
a?b?c?a?b?c
;③
a?0?0?a?a
. <
br>b
⑸坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?
y
2
?
.
?
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
a?b??C?????C⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?
b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,则
???
?
x
1
?x
2<
br>,y
1
?y
2
?
.
19、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a
.
①
?
a?
?
a
;
②当<
br>?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反;
当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
;③
?
a?b?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y
?
,则
?
a
?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?<
br>y
?
.
20、向量共线定理:向量
aa?0
与
b<
br>共线,当且仅当有唯一一个实数
?
,使
b?
?
a
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0,则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1<
br>?0
时,向量
a
、
bb?0
共线.
21、平面向量
基本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量
,那么对于这一平面内的任意向
量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
a?
?
1
e
1
?<
br>?
2
e
2
.(不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量
的一组基底)
第二章
平面向量
????
??
??
??
22、分点坐标公式:
设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y<
br>1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
x
1
??
x
2
y
1
?
?
y
2
?.
时,就为中点公式。)
时,点
?
的坐标是
?
,
??
(当
?
?1
1?
?
??
1??
23、平面向量的数量积:
⑴
a?b?abcos
?
a?0
,b?0,0?
?
?180
.零向量与任一向量的数量积为
0
.
??
4
⑵性质:设
a
和b
都是非零向量,则①
a
2
?b?a?b?0
.②当
a
与
b
同向时,
a?b?ab
;当
a
与
b<
br>2
反向时,
a?b??ab
;
a?a?a?a
或
a?
a?a
.③
a?b?ab
.
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?<
br>b
;③
a?b?c?a?c?b?c
.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b??
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1<
br>x
2
?y
1
y
2
.
????
??
若
a?
?
x,y
?
,则
a?x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
.
2设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b
?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则
co
s
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2<
br>?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
.
2
2
x?y
2
2
【高考零距离】
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】
(2007年高考安徽卷)已知
0?
?
?
?
4
,
?
为
f(x)?cos(2x?
?
8
)
的最小正周期,
2cos
2
?
?sin2(
?
?
?
)
a
?(tan(
?
?),?1),b?(cos
?
,2),a?b?m
,求的值.
4
cos
?
?sin
?
?
题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题
【例2】 (2006年高考浙江卷
)如图,函数
y?2sin(
?
x?
?
),x?R
(其中<
br>0?
?
?
与
y
轴交于点(0,1)。
(Ⅰ)求
?
的值;
(Ⅱ)设
P
是图像上的最高点,M、
N是图像与
x
轴的交点,求
PM
与
PN
的夹
角。
?
2
)的图像
5
题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】(山东卷)在
?ABC
中,角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,
t
anC?37
.
(1)求
cosC
;
(2)若
CB?C
A?
5
,且
a?b?9
,求
c
.
2
(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)
设向量
a?(cos
?<
br>,sin
?
),b?(cos
?
,sin
?
)
,
且0?
?
?
?
?
?
,
若
a?
b?
值。
(2007·四川 )已知
cos??
??
??
4
4
,
tan
?
?
,求
tan
?
的
5
3
?
113
,cos(???)?,且0
<
?
<
?
<,
2
714
(Ⅰ)求
tan2?
的值.(Ⅱ)求
?
.
6