人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案
1.1．1 任意角
教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
（二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角
的集合的书写．
（三） 情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学过程
一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看 成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所
形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
始边

B

终边
③角的分类：
O
A
顶点
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角

④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶 点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除
外)在第几象限，我们就说这个 角是第几象限角．
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
y
B
1

45°
O
⑴
x
60
o

y
30°
x


例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

1
O
B
2
B
3

⑵

高中数学必修4教案
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α +

k·360° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们
相差
360°的整数倍；

⑷ 角α + k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．
例5．写出终边在
y?x
上的角的集合S ,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β
写出来．
4．课堂小结
①角的定义；
②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；
④终边相同的角的表示法．
5．课后作业：
①阅读教材P
2
-P
5
； ②教材P
5
练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题： 已知α角是第三象限角，则2α，
解：
?
?
角属于第三象限，
?
k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
又k·180°+90°＜
?
各是第几象限角？
2
?
＜k·180°+135°(k∈Z) ．
2
?
＜n·360°+135°(n∈Z) ，
2
当k为偶数时， 令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜
此时，
?
属于第二象限角
2
?
＜n·360°+315°(n∈Z) ，
2
当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n·360°+270°＜
此时，
?
属于第四象限角
2

2

高中数学必修4教案
因此

?
属于第二或第四象限角．
2
1.1.2弧度制（一）
教学目标
（四） 知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应 的关系；熟记特
殊角的弧度数．
（五） 过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度 之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，
并能运用公式解决一些实际问题
（六） 情感与态度目标
通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精 神；通过对弧度制
与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制 下
的简洁美．
教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的?
规定把周角的
1
作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
360
二、新课：
1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来
不太 方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是
如何定义呢？
2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的 单位制
叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角
?
所对应的弧长与半径的比值是否是确 定的？与圆的半径大小有关
吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳：
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
?
r
r
?
?
;
②整圆所对的圆心角为
2
?
r
?2
?
.

r
l
r
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
.

4．角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
360??2
?
；
180??
?
；
1??
②将弧度化为角度：
?
1 80
?0.01745rad
；
n??
n
?
rad
．
180

3

高中数学必修4教案
180180n
)?
．
)
盎
57.30
?< br>57
?
18
?
；
n=(
2p=360?
；
p=180?
；
1rad
=
(
p
p
5． 常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
6．特殊角的弧度
角13515
度 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
弧
0
度
?
?
?
?

432
6
l
?l
r
r?a

2
?
3

3
?
5
?

?

46
3
?

2
?

2
7．弧长公式
a=
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
例1．把67°30＇化成弧度．
例2．把
?
rad
化成度．
例3．计算：
3
5
(1)sin
?
4
；
(2)tan1.5
．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
(1)
19
?
；
(2)?315?
．
3
例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
31
?
19
?
；
(2)?
．
3
6
l
R
19
?
7
?
?2
?
?,< br> 解: (1)
36
O
7
?
19p
而是第三象限的 角,

是第三象限角.
3
6
31p5p31p
(2)
Q-
是第二象限角.
=-6p+,-
666
1
例 6.利用弧度制证明扇形面积公式S?lR,其中l是扇形弧长,R是圆的半径.

2
1
2
?
R
2
,又扇形弧长为l,半径为证法一:∵圆的面积为
?
R
,∴圆心角为1rad的扇形面积为
2
?
(1)
R,
ll1
2
1
rad, ∴扇形面积
S??R?lR
． R22
R
n?
?
R
2
证法二:设圆心角的度数为n，则 在角度制下的扇形面积公式为
S?
，又此时弧长
360
n
?
R1n
?
R1
l??R?l?R
． ，∴
S??
18021802
∴扇形的圆心角大小为
可看出弧度制与角度制 下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要
简洁得多．

4

高中数学必修4教案
11
扇形面积公式:S?lR?
?
R
2

22
7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系
与区别．
8．课后作业：
①阅读教材P
6
–P
8
；
②教材P
9
练习第1、2、3、6题；
③教材P10面7、8题及B2、3题．

4-1.2.1任意角的三角函数（三）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的 线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
教学过程：
一、复习引入：
1. 三角函数的定义
2. 诱导公式 < br>sin(2k
?
?
?
)?sin
?
(k?Z)
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
(k?Z)

tan(2k
?
?
?
)?tan
?
(k?Z)o
tan600
的值是
____________.
D 练习1.
A.?
33
B. C.?3 D.3

33
练习2.
若sinθcosθ?0,则θ在________.
B
A.
第一、二象限
B.
第一、三象限
C.
第一、四象限
D.
第二、四象限

若cosθ?0，且sin2
?
?0则θ的终边在____
练习3. C
A.第一象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第二象限

二、讲解新课：
22
x?y?1
时，有三角 函数正弦、余弦、正切值的
P(x,y)
当角的终边上一点的坐标满足
几何表示——三 角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

5

高中数学必修4教案
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角
?
的顶点在原点
O
，始 边与
x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P
(x,y)
， < br>过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
；过点
A(1 ,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向
y

y

延
T

长线交与点
T
.
P

P



A

A


x

o
M

o

M

x




T


y

（Ⅱ）
y

（Ⅰ）

T



M

A


M

A

x

o

x

o



P

T


P


（Ⅲ）
（Ⅳ）

由四个图看出：
当角
?
的终边不在坐标轴上时 ，有向线段
OM?x,MP?y
，于是有
sin
?
?
yyxxyMPAT
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
，
tan
?
????AT

r1r1xOMOA

我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到< br>x
轴的垂直线段；余弦线
在
x
轴上；正切线在过单位圆与
x< br>轴正方向的交点的切线上，
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2） 三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向
?
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指
向 垂
足；正切线由切点指向与
?
的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负 ：三条有向线段凡与
x
轴或
y
轴同向的为正值，与
x
轴或< br>y
轴反
向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）

例2.
若0?
?
?
?
5
?
2
?
13
?
； （2）； （3）
?
； （4）
?
．
6
336
解：图略。
?
2
，证明sin
?
?cos
?
?1.


6

高中数学必修4教案

例3.比较大小：< br>24
(1)sin
?
与sin
?
35
24
( 3)tan
?
与tan
?
35




24
(2)cos
?
与cos
?

35
1
例4.在[0，2
?
]上满足sinx?的x的取值范围是(
2
?< br>?
??
?
5
?
?
A.
?
0,
?
B.
?
，
?
C.
?
6
??
66
?


)

?
?
2
?
?
，
?
D.
?
63
??
?
5
?
?
，
?< br>??
?
6
?
例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．
11
(1)sinx??;

(2)cosx?.

22

答案：（1）
7
?
11
?
??
（2）
??2k
?
?x??2k
?
,k?Z
； < br>?2k
?
?x??2k
?
,k?Z
；
6666
三、巩固与练习：P17面练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业： 作业4

参考资料
例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1?
sin
2
?
4
?
2
?
4
?
与
s in
2?
tan
与
tan

3535
解： 如图可知：

sin
2
?
4
?
2
?
4
?
?
sin
?
tan tan
3535
3
1
2? tan?
?

3
2
y
30?
T


o
210?
A

x
例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
1? sin?≥
y
解： 1? 2?

P
2
P
1


o x


7

高中数学必修4教案

30?≤?≤150?
30?
?
?
?
90?或210?
?
?
?
270?

补充：1．利用余弦线比较
cos64,cos285
的大小；
2．若< br>oo
?
4
?
?
?
?
2
，则比较sin
?
、
cos
?
、
tan
?
的大 小；
3．分别根据下列条件，写出角
?
的取值范围：
（1）
cos
?
?

33
； （2）
tan
?
??1
； （3）
sin
?
??
．
22
4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三 角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分
析、探究、解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与
比值（函数值） 的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各
象限的符号），以 及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重
点。
教学难点：利用与单位圆 有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他
们的集合形式表示出来.
教学过程：
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中 ，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依
次为
sinA?aba
,cosA?,tanA?
．
ccb
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α 终边上任意一点
P
（除了原点）的坐标为
(x,y)
，
x
2
?y
2
?0)
，那么
yy
（1）比值叫做α的正弦，记作
sin
?
，即
sin
?
?
；
rr
xx
（2）比值叫做α的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
?
；
rr
它与原点的距离为
r(r?|x|?|y|?

8
22

高中数学必修4教案
yy
叫做α的正切， 记作
tan
?
，即
tan
?
?
；
xx< br>xx
（4）比值叫做α的余切，记作
cot
?
，即
cot?
?
；
yy
说明：①α的始边与
x
轴的非负半轴重合 ，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
（3）比值
的大小，只表明与α的终边相同的 角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点
P(x,y)
在α的终边上
的位置的改变而改变大小；
③当
?
?
于
0
，
?
2
?k?
(k?Z)
时，α的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐标
x
都等
x
y
无意义；同理当
?
?k
?
(k ?Z)
时，
cot
?
?
无意义；
y
x
y xy
x
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实
rrx
y
所以
tan
?
?
数，
正弦、余弦、正切、余切 是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为
三角函数。
2．三角函数的定义域、值
函 数 定 义 域 值 域
域

y?sin
?

[?1,1]

R


y?cos
?

[?1,1]

R


?

y?tan
?

{
?
|
?
??k
?
,k?Z}

R

2

注意：
(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了
几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin
?
是个整体符号，不能认为 是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角 三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形
的性质，“r”同为正值. 所不同的是 ，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角
函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比 来定义的,它也适合锐角三角函数的定
义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是 由特殊到一般的认识和研
究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一 致性，将直角三角形置于平面直角
坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负 半轴重合，利用我们
熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）
（1）
0
； （2）
?
； （ 3）
解：（1）因为当
?
?0
时，
x?r
，
y?0
，所以
3
?
．
2
sin0?0
，
cos0?1
，
tan0?0
，
cot0
不存在。
（2）因为当
?
?
?
时，x??r
，
y?0
，所以

9

高中数学必修4教案
sin
?
?0
，
cos
?
??1
，
tan
?
?0
，
cot
?
不存在，
3
?
（3）因为当
?
?
时，
x?0
，y??r
，所以
2
3
?
3
?
3
?< br>3
?
不存在，
cotsin??1
，
cos?0
，
tan
?0
，
2
22 2
例2．已知角α的终边经过点
P(2,?3)
，求α的四个函数值。
解： 因为
x?2,y??3
，所以
r?2
2
?(?3)
2
?13
，于是
y?3313x2213
；
cos
?
??
；
????
r13r13
1313
x2
y3
tan
?
???
；
cot
?
???
．
y3
x2
例3．已知角α 的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求α的四个三角函数值。
sin
?< br>?
解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?
当
5|a|
，
x?a,y?2a

a?0时，sin
?
?
y2a2a25
???
r5
5|a|5a
cos
?
?
xa5a
??
r5
5a
；
1
；
5< br>tan
?
?2;cot
?
?;sec
?
?5;csc
?
?
22
y2a2a25
当
a?0时，
；
sin
?
?????
r5
5|a|?5a
cos
?
?
xa5a
15
；
tan
?
?2;cot
?
?;sec
．
?
??5;csc
?
??
???
22
r
?5a
5< br>4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： y
对于第一、二象限为正（
y?0,r?0
），对于第三、四象限为负（
y?0,r?0
）；
r
x
②余弦值对于第一、四象限为正（
x?0 ,r?0
），对于第二、三象限为负（
x?0,r?0
）；
r
y< br>③正切值对于第一、三象限为正（
x,y
同号），对于第二、四象限为负（
x, y
异号）．
x
①正弦值
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）
cos250
； （2）
sin(?
o
?
4
)
； （3）
tan(?672
o
)
； （4）
tan
11
?
．
3
例4．求证：若
sin
?
?0
且
tan
?
?0
，则角
?
是第三象限角，反之也成立。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
c os(
?
?2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z．
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
例5 ．求下列三角函数的值：（1）
cos
9
?
11
?
)
， ， （2）
tan(?
4
6

10

高中数学必修4教案
例6．求函数
y?
cosx
c osx
?
tanx
的值域
tanx
解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，
x?0,y?0
cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,
x?0,y?0

|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0
…………ⅢⅣ………,
x
|cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0
?0,y?0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角 函数的符号及诱
导公式。

五、巩固与练习
1、教材P15面练习；

2、作业P20面习题1．２A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（ 1）、（3）
题。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系
教学目的：
知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联
系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分
析、解决三角的思维能力；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角
?
是一个任意 角，
?
终边上任意一点
P(x,y)
，它与原点的距离为
r(r? |x|
2
?|y|
2
?x
2
?y
2
?0)
，那么：
sin
?
?
yxy
，
cos
?< br>?
，
tan
?
?
，
rrx
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果
sinA?
3
，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函 数值；
5
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关
系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

11

高中数学必修4教案
（1）商数关系：
tan
?
?
说明：
①注意“同角”，至 于角的形式无关重要，如
sin4
?
?cos4
?
?1
等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
22
sin
?
22
（2）平方关系：
sin
?
?con
?
?1

co n
?
tan
?
?cot
?
?1(
?
?k
?
,k?Z)
；
2
sin
?
等。
tan
?
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
2
?
?1?cos
2
?
，
cos
?
?
2．例题分析：
一、求值问题
例1．（1） 已知
sin
?
?
（2）已知
cos
?
??
12
，并且
?
是第二象限角，求
cos
?
,tan
?
,cot
?
．
13
4
，求
sin
?
,tan
?
． 5
1313
22
12
2
5
222
解：（1）∵
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
cos
?
?1?sin
?
?1?()?()

又∵
?
是第二象限角， ∴
cos
?
?0
，即有
cos
?
??
5
，从而
13
tan?
?
sin
?
1215
??cot
?
???< br>cos
?
5
，
tan
?
12

22
（2）∵
sin
?
?cos
?
?1
， ∴
sin
?
?1?cos
?
?1?(?)?()
，
22
4
5
2
3
5
2
4
?0
， ∴
?
在第二或三象限角。
5
3sin
?
3
当?
在第二象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin?
?
，
tan
?
???
；
5cos
?
4
3sin
?
3
当
?
在第四象限时，即有
sin
?
?0
，从而
sin
?
??
，
t an
?
??
．
5cos
?
4
又∵
cos
?
??
总结：
1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值
中， 确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解
的情况不止一种。
2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方
关系 开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知
tan
?
为非零实数，用
tan
?
表示
sin
?
,cos
?
．
解：∵
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
?
222
22
sin
?
，
cos
?< br>2
2
∴
(cos
?
?tan
?
)?cos< br>?
?cos
?
(1?tan
?
)?1
，即有
cos
?
?
又∵
tan
?
为非零实数，∴
?
为象限角。
1
，
2
1?tan
?
11?tan
2
?
当
?
在第一、四象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
?
，
?
22
1?tan
?
1?tan
?

12

高中数学必修4教案
tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
?
； < br>2
1?tan
?
11?tan
2
?
当
?在第二、三象限时，即有
cos
?
?0
，从而
cos
?
??
，
??
22
1?tan
?
1?tan
?
tan
?
1?tan
2
?

sin
?
?tan
?
?cos
?
??
．
1?tan
2
?
sin
?
?4cos
?
例 3、已知
sin??2cos?
，求
⑵
2sin
2
??2sin
?
cos
?
?cos
2
?
．
5sin
?
?2cos
?

解：
?sin??2cos??tan??2

?
sin??4cos?tan??4?21
????

5sin??2cos?5tan??2126
强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分 母同除以
cos
?
,将分子、
分母转化为
tan
?
的代数式；
2? “化1法”
可利用平方关系
sin
?
?cos
?
?1
，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关
系化归为
t an
?
的分式求值；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；
（2）尽量使分母不含三角函数式；
（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角 函数式变形时，常将式子中的“1”作巧
妙的变形，
二、化简
练习1．化简
1?sin
2
440
o
．
2oo2 o
?1?sin(360?80)?1?sin80
解：原式
22
?cos< br>2
80
o
?cos80
o
．
1?cos
?
1?cos
?
3
?
? (
?
?
?
?)
练习2．
化简
1?cos
?
1?cos
?
2
三、证明恒等式
cosx1?sinx
?
．
1?sinxcosx
证法一：由题义 知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
c osx(1?sinx)cosx(1?sinx)
1?sinx
?
??
右边 ． ∴左边=
(1?sinx)(1?sinx)cos
2
x
cosx
例4．求证：
∴原式成立．
证法二：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
又∵
(1?sinx)(1?sinx) ?1?sinx?cosx?cosx?cosx
，
22
cosx1?sinx
?
．
1?sinxcosx
证 法三：由题义知
cosx?0
，所以
1?sinx?0,1?sinx?0
．
∴

13

高中数学必修4教案
cosx1?si nx
cosx?cosx?(1?sinx)(1?sinx)
cos
2
x? 1?sin
2
x
?
?
??0
，
(1?sinx) cosx
1?sinxcosx
(1?sinx)cosx
cosx1?sinx∴．
?
1?sinxcosx
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等 式两边差异来促成统一的过程，证明时常
用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；
（2）证明左右两边同等于同一个式子；
（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
五、课后作业：《习案》作业第 五 课时

参考资料
化简
1?2sin40
o
cos40
o
．
解：原 式
?sin
2
40
o
?cos
2
40
o< br>?2sin40
o
cos40
o


?(sin40
o
?cos40
o
)
2
?|cos40o
?sin40
o
|?cos40
o
?sin40
o< br>．

1

(0????)
，求
tan?及sin< br>3
??cos
3
?的值。
5
12?
解：1? 由
sin?cos???,0????,得：cos??0???(,?)

252
497
2
由
(sin??cos?)?
联立：
,得：sin??cos??
255
思考1．已知
sin??cos ??
?
sin??cos??
?
?
?
?
sin?? cos??
?
?
33
14
?
sin??
5
?
?
5
?tan???
4

?
73
3< br>?
cos???
55
?
91

125
4?2mm?3
2、已知
sin??
求
tan?的值。

,cos??,?是第四象限角，
m?5m?5
4?2m
2
m?3
2
22
解：∵sin? + cos? = 1 ∴
()?()?1

m?5m?5
2?
sin??cos??() ?(?)?
33
4
5
3
5
化简，整理得：
m(m? 8)?0
当m = 0时，
sin??
?m
1
?0,m
2
?8

43

,cos???，(与?是第四象限角不合）
55
12512
当m = 8时，
sin???,cos??，?tan???

13135

1．3诱导公式（一）

14

高中数学必修4教案
教学目标
（一）知识与技能目标
⑴理解正弦、余弦的诱导公式．
⑵培养学生化归、转化的能力．
（二）过程与能力目标
（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．
（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
（三）情感与态度目标
通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以 及孜孜以求的
探索精神等良好的个性品质．
教学重点
掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．
教学难点
运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．
教学过程
一、复习：
诱导公式（一）
sin(360?k?
?
)?sin
?
cos(360?k?
?
)?cos
?
诱导公式（二）
tan(360?k?
?
)?tan
?


sin(180??
?
)??sin
?
cos(180??
?
)??cos
?

诱导公式（三）
tan(180??
?
)?tan
?

sin(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?cos
?
诱导公式（四）
tan(?
?
)??tan
?


tan(180??
?
)??tan
?


sin(180??
?
)?sin
?
cos(180??
?
)??cos
?
对于五组诱导公式的理解 ：
①
公式中的
?
可以是任意角；

②这四组诱导公式可以概括为：
?
?
?
,
?
?< br>?
,的三角函数值，等于它的同名

三角函数值， 前面加上一个把
?
看成锐角时原函数值的符号。
总结为一句话：函数名不变，符号看象限
练习1：P27面作业1、2、3、4。
2：P25面的例2：化简
二、新课讲授：
1、诱导公式（五）
sin(
2、诱导公式（六）
sin(
2k
?
?
?
(k?Z), ?
?
,
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)?sin
?


22
?
?
?
?
)?cos
?
cos(?
?
)??sin
?


22
?
总结为一句话：函数正变余，符号看象限
例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：
(1)tan
3
?
31
?
17
, (2)sin, (3)cos519?, (4)sin(?
?
).

5363
练习3：求下列函数值：
65
?
31
?
, (2)sin(?), (3)sin670?, (4)tan580?).

64
3
?
?
?
)??cos
?
例2．证明：（1）
sin(
2
(1)cos

15