重点高中数学必修2期中测试卷

重点高中数学必修2期中测试卷

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2

高二数学立体几何试卷

满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选 择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要 求的)
1. 已知平面
?
与平面
?
、
?
都相交， 则着三个平面可能的交线有 （ ）
A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1或2条或3条
2．过正方体一面对角线作一平面去截正方体，截面不可能是 （ ）
A．正三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．矩形
3. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为
A．
6:2
，则侧面与底面的夹角为（ ）
C．
?

12
B．
?
6

?

4
D．
?

3
4. 在斜棱柱的侧面中，矩形的个数最多是 （ ）
A．2 B． 3 C．4 D．6
5.设地球半径为R,若甲地在北纬
45?
东经
120?
, 乙地在北纬
45?
西经
150?
,甲乙两地的球面距离为( )
A．
?
R
B．
?
R
C．
2
?
R
D．
36
4
R

3
，EF与面AC的
2
F
6. 如图，在多面体ABCDEF中，已 知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，
EF?
距离为2，则该多面体的体积为 （ ）
A．
9

2
B．5 C．6
15
D．
2
A
E
D
C
7. 已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ）
．
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，
m
B

?
?
，则α⊥β
8. 下列命题中，正确命题的个数是 （ ）
（1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形
（3）简单多面体就是凸多面体 （4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆
Ａ.0个 Ｂ.1个 Ｃ.2个 Ｄ. 3个
9. 将鋭角B为60°, 边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角
?
,若
?
?
则折后两条对角线之间的距离的最值为
?
60?,120?
?

（ ）
3
3
A. 最小值为
4
, 最大值为
2

3
3
B. 最小值为
4
, 最大值为
4

3

1
3
C. 最小值为
4
, 最大值为
4

10．设有如下三个命题：


3
3
D. 最小值为
4
, 最大值为
2

甲：相交的直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内；
乙：直线l,m中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交 .
当甲成立时， （ ）


A．乙是丙的充分而不必要条件；
C．乙是丙的充分且必要条件
B．乙是丙的必要而不充分条件
D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件.
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．边长为2的正方形ABCD在 平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为
α所成角的大小是 .
12.设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为
23
cm,则其外接球的 表面积为 .
13.足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体.则这个多面体有
条棱,有 个顶点.
14．已知异面直线
a
、
b
，A、B是
a
上两点，C、D是
b
上两点，AB=2，CD=1，直 线AC为
a
与
b
的公垂线，
且AC=2，若
a
与< br>b
所成角为
60?
，则BD= .
15．长方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中， AB=3，BC=2，
BB
1
=1，则A到
C
1
在长方体表 面上的最短距离为 .
16.已知点P，直线
a、b、c以及平面
?
、
?
，给出下列命题：
①若
a、b与
?
成等角，则ab

③若
a
②若?

?
，c
2
，则AC与平面
?b，a?
?，则b
?

?
?
，则c?
?

④若
?
?
?
，a
?
，则a?
?

⑤若
a?c，b?c，则ab或a、b异面或a、b相交

其中正确命题的序号是_______________.(把所有正确命题的序号都填上)

三、解答题（本大题共6题，共70分）
17.（本题满分10分）已知平面
??
平面
?
，直线
a
?
，a垂直于
?
位 置关系，并证明结论.










4
与
?
的交线AB，试判断a与
?
的

18. （本题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A
1< br>B
1
C
1
D
1
.AB=1，AA
1
=2，点E为CC
1
中点，点P为BD
1
中点.
（Ⅰ）证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线；
（Ⅱ）求点D
1
到面BDE的距离.








19．（本题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P- ABCD中，
?ABC?60?
，PA=AC=a，PB=PD=
点E为PD的中点，
（Ⅰ）
PA?平面ABCD，PBP平面EAC
；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的
?
正切值。










2 0．（本题满分12分）在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为正方形ABCD的中心，M为D
1
D的中点.
（Ⅰ）求证：异面直线B
1
O与AM垂直；
（Ⅱ）求二面角B
1
—AM—C的大小；
（III）若正方体的棱长为a，求三棱锥B
1
—AMC的体积。









5
B
C
A
P
E


2a
，
D

21．（本题满分12分）已知斜三棱柱
BC=2，AC=< br>2
（Ⅰ）侧棱
（Ⅱ）侧面
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧面
A
1
ACC
1
与底面ABC垂直，?ABC?90?
，
A1
B1
C1
3
，且
AA
1
?A
1
C
，
AA
1
=
A
1
C
，求：
AA
1
与底面ABC所成角的大小；
A
1
ABB
1
与底面ABC所成二面角的大小；
A
B
（Ⅲ）顶点C到侧面
A
1
ABB
1
的距离。


















22．（本题满分12分）三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开， 其展开图是一个直
角梯形
PP
P
12
P
3
A

（Ⅰ）求证：侧棱
PB?
C
AC
；
P1A
（Ⅱ）求侧面PAC与底面ABC所成角
?
的余弦。






B
B
C
A
P2CP3



6

高二期末数学试卷答案
一．选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分).
题号
答案
1
D
2
B
3
D
4
A
5
A
6
D
7
B
8
A
9
B
10
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．30? 12．
36
?
cm 13．90，60
14
．
7或11
15
．
32
16
．

②⑤

三、解答题（本大题共5题，共70分）
17．解：a与
?
的位置关系是：直线
a
证明 过直线a作平面
?
?
平面
?
．
分） ∵
a?< br>,∴
ac
.（4分）又
???
直线
c
,（2
∵
a?AB,
∴
c?AB
.（6分）又∵
c??
，∴
c??
,（8分）故
a
????AB
且
???
，
（10分）


M
a
??
.
c
bN

18．（Ⅰ）取BD中点M.连结MC，FM .
∵F为BD
1
中点 ， ∴FM∥D
1
D且FM=
又EC=
1
D
1
D .（2分）
2
1
CC
1
且EC⊥MC ，∴四边形EFMC是矩形
2
∴EF⊥CC
1
.（4分） 又CM⊥面DBD
1
.∴EF⊥面DBD
1
.
∵BD
1
?
面DBD
1
. ∴EF⊥BD
1
. 故EF为BD
1
与CC
1
的公垂线.（6分）

（Ⅱ）解：连结ED
1
，有V
E
－
DBD
1
=V< br>D
1
－
DBE
.
7

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD
1
，设点D
1
到面BDE的距离为d.
则S
?DBE
?d?S
?DBD
1
?(2分）EF.?AA
1
?2,AB?1.
21

?BD?BE?ED?2,EF?,?S
?DBD
1
??2?2?2（.4分）
22
2
2?
133
2
?
23
（S
?DBE
???(2)
2???d?.6分）
2223
3
2
故点D
1
到平面DB E的距离为
23
.
3
19．（Ⅰ）略（6分）（Ⅱ）
23
（6分）
3
20．（Ⅰ）设AD的中点为N，连结ON，由O为正方形ABCD的中心，
得O N⊥平面ADD
1
A
1
.又AA
1
⊥平面ADD
1
A
1
，所以A
1
N为B
1
O在平面ADD
1
A
1
内的射影.（2
分）在正方形ADD
1
A
1
中，
Rt?A
1
AN?Rt?ADM,?AA
1
N??M AD,?AA
1
N??A
1
AM?
?
2
,A
1
N?AM,所以B
1
O?AM.(4分)
（Ⅱ）因为AC⊥平面BB1
D
1
D，所以AC⊥B
1
O.由（1）知
B
1
O⊥AM，所以B
1
O⊥AM，所以B
1
O⊥平面AMC. (6分)
作OG⊥AM于G，连结B
1
G,则∠B
1
GO为二面角 B
1
—AM—C的平面角. （7分）
设正方体棱长为1，则
OG?
BO
OM?OA30
?,
所以
tan?B
1
GO?
1
?5,
所以
AM10
OG
?B
1
GO?arctan5.
（9分）
（Ⅲ）由（1）知，B
1
O⊥平面AMC .所以V
B1
－
AMC
=
1
B
1
O×S< br>△
AMC
3
因棱长为a，所以B
1
O=
66
2
11
3
a，S
△
AMC
=×MO×AC=a
2
a=a
24
22
2

故V
B1
－
AMC
=
66
2
1
3
1
×a×a=a（12分）
24
3
4
21．（Ⅰ）
45?
（4分）
（Ⅱ）
60?
（4分）
（Ⅲ）
3
（4分）
8

22．（Ⅰ）略（5分）（Ⅱ）
4
（7分）
5
9