高中数学必修二各章节能力提升试题(附答案解析)

9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中
投影不可能是 线段的是________．
[答案] ②④⑤
[解析] 三角形的投影是线段成三角形； 直线的投影是点或直线；平行四边
形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的 投影是圆．
10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的
小正 方体的个数是________．

[答案] 5
[解析] 由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．
11．(2012～2013·烟台高一检 测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，
则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有__ ______．

[答案] ①②③④
12．(2012－2013·湖南高三“ 十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，

其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全 等的等腰直角三角形，则用________
个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．

[答案] 3
[解析] 该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于 4，如图
(1)所示的四棱锥A－A
1
B
1
C
1
D
1
，

如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A
1
B< br>1
C
1
D
1
，A－BB
1
C
1C，A－DD
1
C
1
C
可以拼成一个棱长为4的正方体．
三、解答题

13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的 射影是底面正方形的中
心，试画出其三视图．
[解析] 所给四棱锥的三视图如下图．

[点评] (1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高
平 齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽
度一致(即所谓的“宽 相等”)．
(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．
[拓展提高]
1．三视图中各种数据的对应关系：
(1)正视图中AB的长对应 原四棱锥底面多边形的左右方向的
长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底 面左、右两
边的距离．

(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后 长度，GE、
GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．
(3)俯视图中HIJK的 大小与四棱锥底面的大小形状完全一
致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上 的投影到底面各
顶点的距离．
2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认 为是棱锥的
侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．
14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．

[解析] 图中所给几何 体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中
心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：

15．说出下列三视图表示的几何体：


[解析]

16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．

[答案] 所对应的空间几何体的图形为：

一、选择题
1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这
两条线段( )
A．平行且相等
C．相等不平行
[答案] A
2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0
C．2
[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；
而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
3．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方
形的直观图是正方形 ；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是( )
A．①
C．③④
[答案] B
[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．
4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制
的，其中正确的是( )
B．①②
D．①②③④
B．1
D．3
B．平行不相等
D．既不平行也不相等

[答案] A
[解析] 由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．

5．如图所示，△A′B′C′ 是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的
三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB
C．BC
[答案] D
[解析] △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC＞AD，AC
＞BC.
6 ．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的
上底面尺寸一样，已知长方体的 长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高
为8 m，若按1?500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、
高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
[答案] C
B．AD
D．AC

[解析] 由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2
cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2
cm,1.6 cm.
7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )


[答案] C
[解析] 由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．
8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不
是全等三角形的一 组是( )

[答案] C
h
[解析] C中前者画成斜二测直观图时 ，底AB不变，原来高h变为
2
，后者

1
画成斜二测直观图时 ，高不变，边AB变为原来的
2
.
二、填空题
9．斜二测画法中，位于平 面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点
是M′，则点M′的坐标为________，点 M′的找法是________．
[答案] M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4, 0)和y′轴平行的直线与
过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′.
[解析] 在x′轴的正方向上取点M
1
，使O
1
M
1
＝4，在y′轴 上取点M
2
，使
O′M
2
＝2，过M
1
和M
2
分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.

10．如右图，水平 放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已
知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边 的实际长度是________．
[答案] 10
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，
BC＝4×2＝8，则AB＝AC
2
＋BC
2
＝10.
11．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．

[答案] 16

[解析] 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
1
∴面积S＝
2
×4×8＝16.

12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平
面图 形的直观图，则原图形的周长是________？
[答案] 8
[解析] 原图形为

OABC为平行四边形，
OA＝1，AB＝OA
2
＋OB
2
＝3，
∴四边形OABC周长为8.
三、解答题
13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．

[解析]

14．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥ AB，CD＝AO＝1，三角形
AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置 的直观图
的面积．

[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯 形ABCD水平放臵的
直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，
121
O′D′＝
2
OD，梯形的高D′E′＝
4
，于是梯 形A′B′C′D′的面积为
2
×(1
232
＋2)×
4
＝
8
.
15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出< br>图形，尺寸不作要求)．

[解析] 如图．

1 6．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD
所在直线EF旋转一 周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．
[分析] 该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．
[解析] 直观图如图a所示，三视图如图b所示．

一、选择题
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积
的( )
A．4倍
C.2倍
[答案] D
S
侧
πrl
l
[解析] 由已知得l＝2r，＝
πr
2
＝
r
＝2，
S
底
故选D.
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方
体的侧面积等于( )
A．27
C．6
[答案] C
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2，a
2
＋b
2
·c＝5，
B．43
D．3
B．3倍
D．2倍

∴a＝2，b＝1，故S
侧
＝2(ac＋bc)＝6.
3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积
的比是( )
1＋2π
A.
2π

1＋2π
C.
π

[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全
＝2πr
2
＋2πr·h＝2πr
2
(1＋2π)
S
全
1＋2π
又S
侧
＝h
2
＝4π
2r
2
，∴＝
2π
.
S
侧
[点评] 圆柱的侧 面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和
高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的 母线，弧长为圆锥底面周长；圆
台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差 为圆台
的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．
4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了
( )
A．6a
2

C．18a
2

[答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S
1
＝6a
2
，切割成27个全等的 小正方体后，每
12
?
1
?
2
个小正方体的棱长为
3
a，其表面积为6×
?
3
a
?
2
＝
3< br>a
2
，总表面积S
2
＝27×
3
a
2
＝18a
2
，
??
∴增加了S
2
－S
1
＝12a
2
.
5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1?4?4，母线长为 10，则
圆台的侧面积为( )
B．12a
2

D．24a
2

1＋4π
B.
4π

1＋4π
D.
2π

A．81π
C．14π
[答案] B
B．100π
D．169π

[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
因为母线长 为10，所以在轴截面等腰梯形中，有10
2
＝(4r)
2
＋(4r－r)< br>2
.解得r
＝2.所以S
圆台侧
＝π(r＋4r)·10＝100π， 故选B.
6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视
图是一个 圆，那么这个几何体的全面积为( )

3π
A.
2

C．π
[答案] A
1
[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为
2
，高为1的圆柱，故其全 面
1
3π
?
1
?
2
??
积S＝2π×2
＋2π××1＝.
22
??
7．(2012－2013·安徽合肥一 模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和
侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯 形，则该几何体的侧面
积是( )
B．2π
D．4π

A．6π B．12π

C．18π
[答案] B
D．24π
[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面
积是π(1＋2)×4＝12π.
8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单
位：c m
2
)为( )

A．48＋122
C．36＋122
[答案] A
[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂
1
直于底面的面为等腰三角形，面积为
2
×62×4＝122；其余两个面为 全等的三
1
角形，每个三角形的面积都为
2
×6×5＝15.所以全面积为4 8＋122.
二、填空题
9．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm
2
，则圆柱OO′的底面
半径r＝ ________cm.
[答案] 3
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm
2
)，两底面积为2× πr
2
＝
2πr
2
(cm
2
)，
B．48＋242
D．36＋242

∴2πr
2
＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3 cm.

10 ．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的
表面积为________．
[答案] 24＋23
[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧 面是全
1
等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(
2×2×3)
＋3×(4×2)＝24＋23.

11．如图所示，一圆柱内挖去 一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆
锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半 径为2，则该组合体

的表面积等于________．
[答案] (410＋28)π
[解析] 挖去的圆锥的母线长为6
2
＋2
2
＝210，
则圆锥的侧面积等于 410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底
面面积为π×2
2
＝ 4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.
2
12．下图 中，有两个相同的直三棱柱，高为
a
，底面三角形的三边长分别为
3a、4a、5a( a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面
积最小的是一个四棱柱，则a的取 值范围是________．

15
[答案] 03

[解析] 底面积为6a
2
，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种
情况： S
1
＝2×6a
2
＋2(10＋8＋6)＝12a
2
＋ 48，
S
2
＝24a
2
＋2(10＋8)＝24a
2＋36，
S
3
＝24a
2
＋2(10＋6)＝24a
2
＋32.
拼成四棱柱时只有一种情况：
表面积为(8＋6)×2＋4×6a
2
＝24a
2
＋28.
15
由题意得24a
2
＋28<12a
2
＋48，解得03
.
三、解答题

13．已知各棱长为5，底面为 正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S－ABCD，
如图所示，求它的表面积．
[分析] 求各侧面的面积→
求侧面积→求底面积→求表面积
[解析] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
各侧面都是全等的正三角形，
设E为AB的中点，
则SE⊥AB，
153
∴S
侧
＝4S
△
SAB< br>＝4××5×＝253，
22
S
底
＝5
2
＝25，
∴S
表面积
＝S
侧
＋S
底
＝253＋25＝25( 3＋1)．
14．正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台
的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
[解析] (1)如图，设O
1
、O分别为上、下底面的中心，过C
1
作C
1
E⊥AC于
E，过E作EF⊥BC，连接C
1
F，则C
1
F为正四棱台的斜高．

由题意知∠C
1
CO＝45°，
2
CE ＝CO－EO＝CO－C
1
O
1
＝
2
(b－a)，
2
在Rt△C
1
CE中，C
1
E＝CE＝
2
(b －a)，
1
又EF＝CE·sin45°＝
2
(b－a)，
∴C
1
F＝C
1
E
2
＋EF
2

＝
213
[
2
?b－a?]
2
＋[
2?b－a?]
2
＝
2
(b－a)．
13
∴S
侧
＝
2
(4a＋4b)×
2
(b－a)＝3(b
2
－a
2
)．
1
(2)由S
侧
＝a
2
＋b
2
，∴
2
(4a＋4b)·h
斜
＝a
2
＋ b
2
，
a
2
＋b
2
b－a
∴h
斜
＝.又EF＝
2
，
2?a＋b?
2
∴h＝h
2
斜
－EF＝
ab
.
a＋b

15 ．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中
内接一个高为3的 圆柱，求圆柱的表面积．
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝4
2
－2
2
＝23.
如图所示易知△AEB∽△AOC，

AEEB3r
∴＝，即＝，∴r＝1
AOOC
23
2
S
底
＝2πr
2
＝2π， S
侧
＝2πr·h＝23π.
∴S＝S
底
＋S
侧
＝2π＋23π＝(2＋23)π.
16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)

[解析] 几何体的直观图如图．

这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与 正四棱锥的组合体，易求棱
?
1
?
锥的斜高h′＝22，其表面积S＝4＋4 ×4×2＋
?
2
×4×22
?
×4＝48＋162
??
2
cm
2
.

一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )
A．63
C．11
B．36
D．12

[答案] A
[解析] 设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相
乘得 (abc)
2
＝108，∴V＝abc＝63.
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )
A．323
C．243
[答案] B
3
[解析] 上底面积S
1
＝6×
4
×2
2
＝63，
3
下底面积S
2
＝6×
4
×4
2
＝243，
1< br>体积V＝
3
(S
1
＋S
2
＋S
1
S
2
)·h
1
＝
3
(63＋243＋63·243)×2＝283.
3．(2 012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图
为全等的等腰直角三角形， 直角边长为1，则这个几何体的体积为( )
B．283
D．203

A．1
1
C.
3

[答案] D
[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．
1
B.
2

1
D.
6

111
体积V＝
3×
2
×1×1×1＝
6
.
4．体积为52cm
3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截
得这个圆台的圆锥的体积为( )
A．54 cm
3

C．58cm
3

[答案] A
[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥与圆台体积
比为1 :26，∴小圆锥体积为2cm
3
，故原来圆锥的体积为54 cm
3
，故选A.
5．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积
为( )
B．54πcm
3

D．58πcm
3


11
A.
2

C．4
[答案] C
[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边形，面积为
4，高为1，则直接代公式可求． < br>6．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶
点的凸多面体 的体积为( )
2
A.
6

2
B.
3

B．5
9
D.
2

3
C.
3

[答案] B
2
D.
3

[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸 多面体是正八面体(即
由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均
2122
为
2
，故正八面体的体积V＝2V
正四棱锥
＝2×
3
×1
2
×
2
＝
3
.故选B.
1
7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
2
，
则该几何体的俯视图可以是( )

[答案] C
[解析] 若该几何体的俯 视图是选项A，则该几何体是正方体，其体积V＝
1
1
3
＝1≠
2< br>，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体是圆柱，
1
π
1
其体积V＝π×()
2
×1＝≠，所以B选项不是；若该几何体的俯视是选项D，242
1
π
1
则该几何体是圆柱的四分之一，其体积V＝
4(π×1
2
×1)＝
4
≠
2
，所以D选项不是；
1
若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体是三棱柱，其体积V＝
2
×1×1×1 ＝
1
2
，所以C选项符合题意，故选C.
8．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm

和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，
液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这
个简单几何体的总高度为( )

A．29 cm
C．32 cm
[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几
何体的总高度为h，则有π× 1
2
(h－20)＝π×3
2
(h－28)，解得h＝29(cm)．
二、填空题
9．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[答案] 3
B．30 cm
D．48 cm
1
[解析] 设底面半径为r，则
3
πr
2
×4＝4π，解得r＝3，即底面半径为3.

10．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、AB的中
点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V
1
(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2

的两部分，那么V
1
?V
2
＝_______ _.
[答案] 7?5
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V
1
＋V
2
＝Sh.
因为E、F分别为AC、AB的中点，
111
所以S
△
AEF＝
4
S，所以V
1
＝
3
h(S＋
4
S ＋
所以V
1
:V
2
＝7:5.
S75
S·)＝Sh，V＝V－V＝
21
41212
Sh.

11．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最
大值为 a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
πr
2
?a＋b?
[答案]
2
[解析] 两个同样的该 几何体能拼接成一个高为a＋b的圆柱，则拼接成的
圆柱的体积V＝πr
2
(a＋b) ，
πr
2
?a＋b?
所以所求几何体的体积为.
2

12．(2010·天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
____．
10
[答案]
3

[解析] 由三视图知，该几何体由一个高为1 ，底面边长为2的正四棱锥和
110
一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2× 2×1×
3
＋1×1×2＝
3
.
三、解答题
13．把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
2727
[答案]
2π
或
π


3
[解析] 如图所示，当BC为底面周长时，半径r
1
＝
2π
，
327
2
则体积V＝πr
1
·AB＝π(
2π
)
2
×6 ＝
2π
；

63
当AB的底面周长时，半径r
2＝
2π
＝
π
，
327
2
则体积V＝πr2
·BC＝π(
π
)
2
×3＝
π
.
14．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA
1
与底面圆直径AB的夹角为
60° ，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

[解析] 如图所示，作轴截面A1
ABB
1
，设圆台的上、下底面半径和母线长分
别为r，R，l，高为 h.
作A
1
D⊥AB于点D，
则A
1
D＝3.
1
又∵∠A
1
AB＝60°，∴AD＝A
1
D·，
tan60°
3
即R－r＝3×
3
，∴R－r＝3.
又∵∠BA
1
A＝90°，∴∠BA
1
D＝60°.
∴BD＝A
1
D·tan60°，即R＋r＝3×3，
∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，
1
∴V
圆台
＝
3
πh(R
2
＋Rr＋r
2
)
1
＝3
π×3×[(23)
2
＋23×3＋(3)
2
]
＝21π.
所以圆台的体积为21π.
15．已知△ABC的三边长分别是AC＝ 3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线
为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[分析] 应用锥体的侧面积和体积的计算公式求解．

解题流程：
AC⊥BC底面半高BD，
△ABC旋转体是两求表
――→――→――→求体积
的特征个同底圆锥面积
径为CDAD

[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，
知AC
2
＋BC
2
＝AB
2
，则AC⊥BC.
所以BC·AC＝AB·CD，
1212
所以CD＝
5
，记为r＝
5
，
12那么△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝
5
，
母线长分别是AC＝3，BC＝4，
1284
所以S
表面积
＝πr·(AC ＋BC)＝π×
5
×(3＋4)＝
5
π，
1
2
1
2
V＝
3
πr
(AD＋BD)＝
3
πr
· AB
11248
＝
3
π×(
5
)
2
×5 ＝
5
π.
[特别提醒] 求旋转体的有关问题常需要画出其轴截面，将空间问题转化 为
平面问题来解决．对于与旋转体有关的组合体问题，要弄清楚它是由哪些简单几
何体组成的， 然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入
公式求各自的表面积或体积．
16．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体
的体积．

[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积
为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，
1
体积为
3
×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.

一、选择题
1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 ( )
1
A.
2
B．1 C．2 D．3
[答案] D
2．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是( )
A．22R
3

8
C.
9
3R
3

[答案] C
3．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为
( )
A．R B．2R C．3R D．4R
[答案] D
4
B.
3
πR
3

3
D.
9
R
3

4．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
6π
A.
6

C.
2π

2
π
B.
2

D.
3π

2π
[答案] A
a
[解析] 由6a＝4πR得
R
＝< br>22
2π
V
1
a
3
3
?
?
，∴＝＝
3V
2
4
3
4π
?
3
πR
6π
2π
?
3
?
＝
6
.
3
?
5．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球
的表面积的比是( )
A．6:5
C．4:3
[答案] D
[解析] 设球的半 径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴
2πR
2
＋4πR
2< br>3
4πR
2
＝
2
.
6．(2012～2013山东 临清中学高一第三次月考试题)已知长方体一个顶点上
三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同 一球面上，则这个球的表面积是
( )
A．202
C．50π
[答案] C
5
[解析] 长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝3
2
＋4
2
＋5
2
，∴R＝
2
2，
S
球
＝4πR
2
＝50π.
7．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
( )
B．252
D．200π
S
柱
＝
S
球
B．5:4
D．3:2

A．9π
C．11π
[答案] D
[解析] 本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想
．．．．．
像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，
高为3，球的半径为1 ，∴该几何体的表面积为
2π×1×3＋2π×1
2
＋4π×1
2
＝12π.
a< br>8．64个直径都为
4
的球，记它们的体积之和为V
甲
，表面积之和为 S
甲
；一
个直径为a的球，记其体积为V
乙
，表面积为S
乙
，则( )
A．V
甲
>V
乙
且S
甲
>S
乙

C．V
甲
＝V
乙
且S
甲
>S
乙

[答案] C
1
3
1
32
[解析] 计算得V
甲
＝
6
πa
，S
甲
＝4πa，V
乙
＝
6
πa
，S
乙
＝πa
2
，∴V
甲
＝V< br>乙
，
且S
甲
>S
乙．

二、填空题
9．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积和是
原来整球表面积的____ ____倍．
3
[答案]
2

[解析] S
球
＝4πR
2,
2S
半
＝(2πR
2
＋πR
2
)×2＝6πR
2
，
B．V
甲
乙
且S
甲
乙

D．V
甲
＝V
乙
且S
甲
＝S
乙

B．10π
D．12π

2S
半
6πR
2
3
＝
2
＝.
S
球
4πR2
10．若圆柱 、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体
积的比为________．
[答案] 3:1:2
[解析] V
柱
＝πR
2
×2R＝2πR
3
，
1
2
2π
3
V
锥
＝
3
πR
×2R＝
3
R，
4
V
球
＝
3
πR
3
.
V
柱
:V
锥
:V
球
＝3:1:2.
11．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为
________．
3
6
[答案]
π

4
[解析] 设球O的半径为r，则
3
πr
3
＝2
3
，
3
6
解得r＝
π


12．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同
的球( 球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，
则球的半径是______ __cm.
[答案] 4
[解析] 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为π r
2
×6r＝6πr
3
，

4
3
高度 为8 cm的水的体积为8πr3个球的体积和为3×
3
πr
＝4πr
3，由题意6πr
3
－
2,
8πr
2
＝4πr
3
，解得r＝4.
三、解答题
13．(2012～2013·福建厦门高一检测)如 图是一个几何体的三视图，根据图中
数据，求该几何体的表面积和体积．

[解析]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．
1
S＝
2
×4πR
2
＋πR
2
＝12π，
4116
V＝
3
πR
3
×
2
＝
3
π.
14．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形
部分的高为h cm，半径为r cm.试管的容量为108π cm
3
，半球部分容量为全试管
1
容量的
6
.
(1)求r和h；
(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm处，求水的体积．
1
[解析] (1)∵半球部分容量为全试管容量的
6
，
1
∴半球部分与圆柱体部分容量比为
5
，
4
3
1
πr
×
2
1
3
即
5
＝
2

πr
×h

104
3
11
∴h＝
3< br>r，
3
πr
×
2
＝108π×
6

∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．
41
(2)V＝
3
πr< br>3
×
2
＋πr
2
×(h－4)
41
＝3
π×3
3
×
2
＋π×3
2
×6＝72π(c m
3
)．
15．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别 是S
1
、
S
2
、S
3
，试比较它们的大小．
[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则
S
1< br>＝6a
2
，S
2
＝4πR
2
，S
3
＝6πr
2
.
4
由题意知，
3
πR
3
＝ a
3
＝πr
2
·2r，
3
3
3
1
∴R＝
4π
a，r＝
2π
a，
3
9
?
3
?
2
3
22
3
?
∴S
2
＝4π
?
＝4π·a＝
36πa
，
2
a
16π
?
4π
?
3
1
?
3
?
2
3
22
1
?
S
3
＝6π
?
＝6π·a＝54πa，
2
a
4π
?
2π
?
∴S
2
3
.
33
又6a
2
>32πa
2
＝54π a
2
，即S
1
>S
3
.
∴S
1
、S
2
、S
3
的大小关系是S
2
3
< S
1
.

16．(2012－2013·杭州高二检测)如 图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半
球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请 计算说明理由．
14128
[解析] V
球
＝
2
×
3
πR
3
＝
3
π，
11160
V
锥< br>＝
3
πR
2
h＝π×4
2
×10×
3
＝
3
π，
128160
3
π<
3
π
∴不会溢出．

一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
[答案] D
[解析] 镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有< br>大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.

2．如图所示，下列符号表示错误的是( )
A．l∈α
C．l?α
[答案] A
[解析] 观察图知：P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的．
3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A?α，B?α，∴AB?α；
B．P?l
D．P∈α

②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；
③∵A?a，a?α，∴A?α；
④∵A?α，a?α，∴A?a.
其中表述方式和推理都正确的命题的序号是( )
A．①④
C．④
[答案] C
[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α ；②错，应写为AB?α；③错，推理错
误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．
4．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个
C．4个
[答案] D
[解析] 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，
可确定一个平 面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定
4个平面．
5．下列命题中正确的是( )
A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
[答案] B
[解析] 当圆心与圆周上 两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，
所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共 线时，平面α和平面β可能
相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，
所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是
平面图形，所以选 项B正确．
6．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列
四个 命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α?a?α
B．3个
D．1个或4个或无数个
B．②③
D．③

②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①②
C．①④
B．②③
D．③④

[答案] D
[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；
a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯
一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，
∴b?α，故③ 正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.
7．若一直线a在平面α内，则正确的图形是( )

[答案] A
8．下图中正确表示两个相交平面的是( )

[答案] D
[解析] A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图
规则画，也不正确 ．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注
意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有 时也可以不画．
二、填空题
9．经过一点可以作__________个平面；经过两点可 作________个平面；经
过不在同一直线上的三点可作________个平面．
[答案] 无数，无数，一
10．“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内 ．”用符号
语言叙述这一命题为____________________________．
[答案] A∈α，B∈α，C∈AB?C∈α
11．若平面α与平面β相交于直线l，点A ∈α，A∈β，则点A________l；
其理由是________________．
[答案] ∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上
12．已知α∩β＝l ，m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用
符号表示为________．
[答案] P∈l
[解析] ∵m∩n＝P，m?α，n?β，∴P∈α，P∈β，
又α∩β＝l，∴P∈l.
三、解答题
13．用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平 面α与平面β交于PA，平面α与平
面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；
(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
[解析] (1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形

表示如图1.

(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD ＝AC.图形
表示如图2.
14．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．

[解析] 图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β，b∩AB＝M；
图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B；
图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a?α，直线b?β，a∩b＝A，A∈CD.
15． 如图，已知α∩β＝l，梯形ABCD两底为AD，BC且满足AB?α，CD
?β，求证：AB，CD ，l交于一点．

[证明] ∵AD，BC是梯形ABCD的两底边，
∴AB与CD必交于一点．
设AB∩CD＝M，
则M∈DC，且M∈AB.
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β.
即M是平面α与β的公共点．
又∵α∩β＝l，
由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一点．

16．已知直线l与四边形AB CD的三边AB，AD，CD所在直线分别相交于
点E，F，G.
求证：四边形ABCD是平面四边形．
[证明] 设AB，AD确定的平面为α，则E∈α，F∈α.
于是EF?α.
又∵G∈EF，∴G∈α.
∴DG?α，即DC?α.
∴C∈α.

故A，B，C，D四点共面，即四边形ABCD为平面四边形．

一、选择题
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[答案] D

[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另
一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如
右图，就是相交的情况，∴ B应排除．
对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条
直线b ，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.
规律总结：解答这类立体几何的命 题的真假判定问题，一方面要熟练掌
握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例， 构造相关特
例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．
2．a，b为异面直线，且a?α，b?β，若α∩β＝l，则直线l必定( )
A．与a，b都相交
C．至少与a，b之一相交
B．与a，b都不相交
D．至多与a，b之一相交

[答案] C
[解析] 若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直
线矛盾．故选C.
3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位
置关系是( )
A．相交
C．异面
[答案] D
B．平行
D．以上都有可能

[解析] 如图所示，长方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
中，AB与AA
1
相交，A
1
B
1
与
AA
1
相交，所以AB∥A
1
B
1
；又AD与AA
1
相交，所以AB与AD相交；又A
1
D
1
与
AA
1
相交，所以AB与A
1
D
1
异面．故选D .
4．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与对角线AC
1
异面的棱有( )
A．3条
C．6条
[答案] C
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．
5．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那 么这两个角相等；②如
果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直< br>角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等
或互补；④如果两 条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
B．4条
D．8条

[答案] B
[解析] ②④是正确的．
6. 空间四边形ABC D中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥
AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°

[答案] A
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A.
7．正方体A
1
B
1
C
1
D
1
－ABCD中，BD与B
1
C所成的角是( )
A．30°
C．60°
[答案] C
[解析] ∵A
1
D∥B
1
C，∴A
1
D与BD所 成的锐角(或直角)即为所求角，连接
A
1
B.∵△A
1
DB为正三 角形，
∴∠A
1
DB＝60°.
8．空间四边形ABCD中，AB、BC 、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，
BD＝25，PR＝3，则AC和BD所成的角为( )
A．90°
C．45°
[答案] A
B．60°
D．30°
B．45°
D．90°

[解析] 如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，
∴∠PQR为AC和BD所成角
1
又PQ＝
2
AC＝2，
1
QR＝
2
BD＝5，RP＝3
∴PR
2
＝PQ
2
＋QR
2
，∴∠PQR＝90°
即AC和BD所成的角为90°，故选A.
二、填空题
9．分别在两个平面内的两 条直线的位置关系是________，不平行的两条直
线的位置关系是________，两条直线没 有公共点，则它们的位置关系是________，
垂直于同一直线的两条直线的位置关系为_____ ___．
[答案] 平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异面．
10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠ACB＝∠A′C′B′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.
一定成立的是________．
[答案] ③
11．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为a、M、N、P、Q分 别为棱AB、BC、
C
1
D
1
和CC
1
的中点，则

①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．
②DB
1
与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．
[答案] ①相交 60° ②异面 90°
[解析] ①连接AC、D
1
C由于P、Q分别为C
1
D
1
、C
1
C的中点，

所以PQ∥D
1
C，
同理MN∥AC，
则AC与D
1< br>C所成角即为MN与PQ所成角，∠D
1
CA＝60°.
②连接AC、BD交于O，
取BB
1
的中点H，连OH，则OH∥B
1
D，

连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，
又MN∥AC，OH∥B
1
D，∴MN⊥B
1
D.

12．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中

①AC和DD
1
所成角是________度．
②AC和D
1
C
1
所成的角是________度．
③AC和B
1
D
1
所成的角是________度．
④AC和A
1
B所成的角是________度．
⑤O为B
1
D
1
中点，AC和BO所成角是________度．
⑥A
1
B和B
1
D
1
所成角是________度 ．
[答案] ①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.
[解析] ①DD
1
⊥面ABCD，∴DD
1
⊥AC；
②D
1
C
1
∥DC，∠DCA＝45°，∴D
1
C
1
与AC成4 5°角；
③B
1
D
1
∥BD，BD⊥AC，∴B
1
D
1
⊥AC；
④A
1
B∥D
1
C，△D
1
AC为等边三角形，∴成60°角；
⑤在正方体中，∵O是B
1
D1
中点，∴O为A
1
C
1
中点，
又A
1B＝BC
1
∴BO⊥A
1
C
1
，
又AC∥A
1
C
1
，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角； < br>⑥B
1
D
1
∥BD，△A
1
BD为等边三角形，∴成 60°角．
三、解答题

13．如图所示，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中的面A
1C
1
内有一点P，经过
点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
[分析] 由于BC∥B
1
C
1
，所以平行于BC的直线只需要平行 于B
1
C
1
即可．
[解析] 如图所示，在面A
1
C
1
内过P作直线EF∥B
1
C
1
，交A
1B
1
于点E，交
C
1
D
1
于点F，则直线EF 即为所求．
理由：∵EF∥B
1
C
1
，BC∥B
1
C
1
，∴EF∥BC.

14．如图所示，A B是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、
VC的中点，求异面直线DE与AB所成的 角．
[解析] 由已知得BC⊥AC，
又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.
又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，
∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.

15．如右图，等腰 直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA
⊥AB，若DA＝1，且E为DA的 中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择 适当的点，分别引BE
与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方 向，
使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其
补角，解 △EFB即可获解．
[解析] 取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、
AC的中点，

∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
115
在Rt△ EAB中，AB＝1，AE＝
2
AD＝
2
，∴BE＝
2
.
1112
在Rt△AEF中，AF＝
2
AC＝
2
，AE＝< br>2
，∴EF＝
2
.
15
在Rt△ABF中，AB＝1，AF ＝
2
，∴BF＝
2
.
12
EF
24
10
在等腰△EBF中，cos∠FEB＝
BE
＝＝
10
，
5
2
10
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
10
.
16．如下图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、E
1
、F
1
分别为棱AD、
AB 、B
1
C
1
、C
1
D
1
的中点．
求证：∠EA
1
F＝∠E
1
CF
1
.

[证明] 如下图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1D
1
中，取A
1
B
1
的中点M，则BF
1＝A
1
M＝
2
AB.

又∵BF∥A
1
M，
∴四边形A
1
FBM为平行四边形．
∴A
1
F∥BM.
而F
1
、M分别为C
1
D
1
、A
1
B
1
的中点，
则F
1
M綊C
1
B
1
，
而C
1
B
1
綊BC，∴F
1
M∥BC，且F
1
M＝BC.
∴四边形F
1
MBC为平行四边形，
∴BM∥F
1
C.又 BM∥A
1
F，∴A
1
F∥CF
1
.
同理取A
1
D
1
的中点N，连接DN，E
1
N，
则A
1
N綊DE，
∴四边形A
1
NDE为平行四边形．
∴A
1
E∥DN.
又E
1
N∥CD，且E
1
N＝CD，
∴四边形E
1
NDC为平行四边形．
∴DN∥CE
1
.∴A
1
E∥CE
1
.
∴∠EA
1
F与∠E
1
CF
1
的两边分别对应平行，
且方向都相反．
∴∠EA
1
F＝∠E
1
CF
1
.
规律总 结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另
外，通常证明三角形的相似或全等也可以 完成角的相等的证明，如本例还可通过
证明△EA
1
F与△E
1
CF
1
全等来证明角相等．

一、选择题
1．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对
C．4对
[答案] B
2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关
系是( )
A．平行
C．平行或相交
[答案] B
[解析] 由棱台的定义知，棱 台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任
一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱 与不含这条侧棱的任
意一个侧面所在的平面都相交．
3．M∈l，N∈l，N?α，M∈α，则有( )
A．l
∥
α
C．l与α相交
[答案] C
[解析] 如图所示，l∩α＝M.
B．l?α
D．以上都有可能
B．相交
D．不相交
B．3对
D．5对

4．给出以下结论：
(1)直线a
∥
平面α，直线b?α，则a
∥
b.
(2)若a?α，b?α，则a、b无公共点．

(3)若a?α，则a
∥
α或a与α相交．
(4)若a∩α＝A，则a?α.
正确的个数为( )
A．1个
C．3个 D
[答案] B
[解析] 其中(3)，(4)正确．
5．若直线a
∥
平面α，直线b
∥
平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行
C．异面
[答案] D
B．相交
D．以上都有可能
B．2个
．4个

[解析] 如图所示，长 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
B
1
∥
平面AC，A
1
D
1
∥
平
面AC，有A
1
B
1
∩A
1
D
1
＝A
1
；又D
1
C
1
∥
平面AC，有A
1
B
1
∥
D
1
C
1
；取BB1
和CC
1
的中点M，N，则MN
∥
B
1
C< br>1
，则MN
∥
平面AC，有A
1
B
1
与MN 异面，故选D.
6．平面α
∥
平面β，直线a
∥
α，则( )
A．a
∥
β
C．a与β相交
[答案] D
[解析] 如图(1)满足a
∥
α，α
∥
β，此时a
∥
β；
如图(2)满足a
∥
α，α
∥
β，此时a?β，故选D.
B．a在面β上
D．a
∥
β或a?β

7．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( )
A．α
∥
β
C．α与β重合
[答案] D
[解析] 如下图，设α∩β＝l，则在α内与l平 行的直线可以有无数条a
1
，a
2
，?，
a
n
，? ，它们是一组平行线．这时a
1
，a
2
，?，a
n
，?与平 面β都平行，但此时
α∩β＝l.
B．α与β相交
D．α
∥
β或α与β相交

8．已知m、n为异面直线，m
∥
平面α，n
∥
平面β，α∩β＝l，则l( )
A．与m、n都相交
B．与m、n中至少一条相交
C．与m、n都不相交
D．与m、n中只有一条相交
[答案] C
[解析] m
∥
平面α，则m与平面α没有公共点，∴m与l 无公共点，同理
由n
∥
β知n与l无公共点，故l与m、n都没有公共点．

二、填空题
9．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与 另一平面
的位置关系是________．
[答案] 平行或在平面内
10．如果 在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个
平面的位置关系是________．
[答案] 平行或相交
[解析] 可根据题意作图判断，如图(1)(2)所示，分别为两个平面平行、相交
的情形．

11．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l
∥
α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面
相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α
∥
平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a
∥
b.
[答案] ①⑤
[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的 ；
③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误
的；④中，异 面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相
交，可以平行，还可以在该平面内，所 以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没

有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公 共点，即它们平行或异面，所以
⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面 ，所以
⑥是错误的．
12．以下结论中，正确的结论序号为________．
①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；
②过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行；
③过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；
④过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；
⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑥l
∥
α，A∈α，过A与l平行的直线l
1
必在α内．
[答案] ②③⑥
[解析] ①错，②对，见图一，过P有无数条直线都与α平行，这无数条 直
线都在平面β内，有且只有一个β
∥
α；
③对，④错，见图二，想一想打开的书页，一支笔与书脊平行；

⑤错，可以在其中 一个平面内；⑥对，假设l
1
不在α内，直线l与点A确定
一个平面β，与α相交得交 线l′，∵a
∥
α，∴a
∥
l′，又l
∥
l
1，∴l
1
∥
l′，这
与l
1
∩l′＝A矛盾，故l1
?α.

三、解答题
13．完成下列作图
(1)在图中画出两个平行平面；(2)在图中画出两个相交平面；

(3)在图中画出三个平行平面；(4)在图中画出一个平面与两个平行平面相交；

(5)在图中分别画出三个两两相交的平面．

[解析]

[规律总结] 两个相交平面的画法：
①先画两个平行四边形的相交两边，如图(1)．


②再画出表示两个平面交线的线段，如图(2)．
③过图(1)中线段的端点分别引线段，使 它平行且等于(2)中表示交线的线段，
如图(3)．
④画出图(3)中表示两个平面的平行 四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚
线，也可以不画)．

14．如右图所 示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是A
1
B
1
和BB
1
的中点，试判断

(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(3)AM所在的直线与平面CDD
1
C
1
的位置关系？
(4)CN所在的直线与平面CDD
1
C
1
的位置关系？
[解析] (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD
1
C
1
平行．
(4)CN所在的直线与平面CDD
1
C
1
相交．
15． 如下图，平面α、β、γ满足α
∥
β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a
与β 的关系并证明你的结论．

[解析] a
∥
b，a
∥
β.证明如下：
由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α
∥
β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a
∥
b.
∵α
∥
β，∴α与β无公共点，
又a?α，
∴a与β无公共点，∴a
∥
β.

16．如图所示，已知平面α∩ β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，
B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与 平面β的交线与l有什么关系？证明
你的结论．

[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，
则P∈AB，P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面AB C与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β
的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．
即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

一、选择题
1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行
C．在平面内
[答案] A
[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．
2．已知两条相交直线a、b，a
∥
平面α，则b与α的位置关系( )
A．b
∥
α
C．b?α
[答案] D
[解析] ∵a ，b相交，∴a，b确定一个平面为β，如果β
∥
α，则b
∥
α，如
果β不平行α，则b与α相交．
3．直线a、b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置
关系是( )
A．b?α
C．b与α相交
[答案] D
[解析] 可构建模型来演示，三种位臵关系都有可能．
AF
4．五棱台ABCDE－A
1B
1
C
1
D
1
E
1
中，F，G分别是 AA
1
和BB
1
上的点，且
FA
BG
＝
G B
，则FG与平面ABCDE的位置关系是( )
1
A．平行
C．异面
[答案] A
AFBG
[解析] ∵
FA
＝
GB
，
11
∴FG
∥
AB，又 FG?平面ABCDE，AB?平面ABCDE，∴FG
∥
平面ABCDE.
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE?EB＝
B．相交
D．FG在平面ABCDE内
1
B．相交
D．不确定
B．b与α相交
D．b
∥
α或b与α相交
B．b
∥
α
D．以上都有可能

CF?FB＝1?2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行
C．在平面内
[答案] A
B．相交
D．异面

AECF
[解析] 如图，由
EB
＝
FB
，得AC
∥
EF.
又EF?平面DEF，AC?平面DEF，
∴AC
∥
平面DEF.
6．给出下列结论：
(1)平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)平行于同一条直线的两个平面平行；
(3)平行于同一平面的两条直线平行；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行．
其中正确的个数为( )
A．1个
C．3个
[答案] B
[解析] 由公理4知(1)正确，正方体ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，DD
1
∥
平面ABB
1
A
1
，
DD
1
∥
平面BB
1
C
1
C，但两个平面相交，故(3)错；同样在正方体ABCD －A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1< br>B
1
与B
1
C
1
都与平面ABCD平行，故(3)错 ；(4)正确，故选B.
7．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱BC、C
1
D
1的中点，
则EF与平面BB
1
D
1
D的位置关系是( )
B．2个
D．4个

A．EF
∥
平面BB
1
D
1
D
B．EF与平面BB
1
D
1
D相交
C．EF?平面BB
1
D
1
D
D．EF与平面BB
1
D
1
D的位置关系无法判断
[答案] A
[证明] 取D
1
B
1
的中点O，连OF，OB，
11
∵OF綊2
B
1
C
1
，BE綊
2
B
1
C
1
，∴OF綊BE，
∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF
∥
BO
∵EF?平面BB
1
D
1
D，BO?平面BB
1
D
1
D，
∴EF
∥
平面BB
1
D
1
D，故选A.
8．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕
AB转动，在转动的过程中 ，AB的对边CD与平面α的位置关系是( )

A．平行
B．相交

C．在平面α内
D．平行或在平面α内
[答案] D
[解析] 在旋转过程中CD
∥
AB，由直线与平面平行的判定定理得CD
∥
α，
或CD?α，故选D.
二、填空题
9．P是平行四边形ABCD所在 平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD
的交点，则EO与图中平行的平面有________个 ．

[答案] 2
[解析] 在△PBD中，E、O分别为中点，
所以 EO
∥
PD，因此EO
∥
面PCD，EO
∥
面PAD. < br>10．过三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的任意两条棱 的中点作直线，其中与平面ABB
1
A
1
平行的有________条．
[答案] 6
[解析] 如图：

DD
1
、EE
1
、DE、D
1
E
1
、DE
1
、 ED
1
都平行于面ABB
1
A
1
.
11．如图， 在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，M是A
1
D
1
的中点，则直线MD
与平面A
1
A CC
1
的位置关系是______．
直线MD与平面BCC
1
B
1
的位置关系是________．

[答案] 相交 平行
[解析] 因为M是A
1
D
1< br>的中点，所以直线DM与直线AA
1
相交，所以DM
与平面A
1
ACC
1
有一个公共点，所以DM与平面A
1
ACC
1
相 交．
取B
1
C
1
中点M
1
，MM
1綊C
1
D
1
，C
1
D
1
綊CD，
∴四边形DMM
1
C为平行四边形，∴DM綊CM
1
，
∴DM
∥
平面BCC
1
B
1
.
12．如 下图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE
沿DE折起，如图(2 )所示，则BF与平面ADE的位置关系是________．

[答案] 平行
[解析] ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB
∥
FD，
∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF
∥
ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF
∥
平面ADE.
三、解答题
13．如图，在三棱锥P－ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点．

求证：OD
∥
平面PAB.
[证明] ∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD
∥
AP.
∵OD?平面PAB，AP?平面PAB.
∴OD
∥
平面PAB.
14．如图，已知A
1
B
1
C
1
－ABC是三棱柱，D是 AC的中点．
证明：AB
1
∥
平面DBC
1
.

[证明] ∵A
1
B
1
C
1
－ABC是三棱柱，
∴四边形B
1
BCC
1
是平行四边形．
连接B
1
C交BC
1
于点E，则B
1
E＝EC.
在△AB
1
C中，∵AD＝DC，∴DE
∥
AB
1
.

又AB
1
?平面DBC
1
，DE?平面DBC
1
，
∴AB
1
∥
平面DBC
1
.
15．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、
PC的中点．

(1)求证：MN
∥
平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
1
[解析] (1)取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊
2
DC.
由M是AB的中点，且DC綊AB，

∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN
∥
AH.
由MN?平面PAD，AH?平面PAD，
∴MN
∥
平面PAD.
(2)连接AC并取其中点O，连接OM、ON，
11
∴OM綊
2
BC，ON綊
2
PA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23.
∴MO
2
＋O N
2
＝MN
2
，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
16．如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面 体的直观图，右边是它
的正视图和侧视图(单位：cm)．

(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，证明：BC′
∥
平面EFG.
[解析] (1)如下图(1)所示．

11284
(2)所求多面体的体积V＝V
长 方体
－V
三棱锥
＝4×6×4－
3
×(
2
×2×2 )×2＝
3
(cm
3
)．
(3)将原多面体还原为长方体，如上图 (2)，连接AD′，因为D′C′綊DC，
DC綊AB，所以D′C′綊AB，所以四边形ABC′D ′为平行四边形，所以AD′
∥
BC′.
因为E，G分别是AA′，A′D′的中点 ，所以在△AA′D′中，EG
∥
AD′，
因此EG
∥
BC′.
又BC′?平面EFG，EG?平面EFG，所以BC′
∥
平面EFG.

一、选择题
1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面( )
A．平行
C．垂直
[答案] D
[解析] 过直线的平面有无数个，考虑两个面的位臵要全面．
2．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
[答案] D
3．如图所示，设E，F，E
1
，F
1
分别 是长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的 棱AB，
CD，A
1
B
1
，C
1
D
1的中点，则平面EFD
1
A
1
与平面BCF
1
E
1
的位置关系是( )
B．相交
D．都可能

A．平行
C．异面
[答案] A
[解析] ∵E
1
和F
1
分别是A
1
B
1
和D
1
C
1
的中点，
∴A
1
D
1
∥E
1
F
1
，又A< br>1
D
1
?平面BCF
1
E
1
，E
1
F
1
?平面BCF
1
E
1
，
∴A
1
D
1
∥平面BCF
1
E
1
.
又E
1
和E分别是A
1
B
1
和AB的中点， ∴A
1
E
1
綊BE，∴四边形A
1
EBE
1< br>是平行四边形，
B．相交
D．不确定

∴A
1
E∥BE
1
，
又A
1E?平面BCF
1
E
1
，BE
1
?平面BCF
1
E
1
，
∴A
1
E∥平面BCF
1
E
1
，
又A< br>1
E?平面EFD
1
A
1
，A
1
D
1
?平面EFD
1
A
1
，A
1
E∩A
1< br>D
1
＝A
1
，
∴平面EFD
1
A
1
∥平面BCF
1
E
1
.
4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
[答案] D
[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，直线AB∥CD，则直线
AB∥平面DC
1
，直线A B?平面AC，但是平面AC与平面DC
1
不平行，所以选
项A错误；取BB
1
的中点E，CC
1
的中点F，则可证EF∥平面AC，B
1
C1
∥平面
AC.又EF?平面BC
1
，B
1
C
1
?平面BC
1
，但是平面AC与平面BC
1
不平行，所以
选项B错误；直线AD∥B
1
C
1
，AD?平面AC，B
1
C
1
?平面BC
1
，但平面AC与
平面BC
1
不平 行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，
所以选项D正确．

5．下列结论中：
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( )

A．(1)(2)
C．(1)(3)
[答案] C
B．(3)(4)
D．(2)(4)
6．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直
线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
[答案] A
[解析] 当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直
线，故选A.
7．过平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
任意两条棱的中点作直线，其中与平面
DBB
1
D
1
平行的直线共有( )
A．4条
C．8条
[答案] D
B．6条
D．12条

[解析] 如图所示，以E为例，易证EI，EQ∥平面DBB
1
D
1
.
与E 处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合题意的直
8×2
线
2< br>＝8条．以I为例，易证IE∥平面DBB
1
D
1
，与I处于同等地位 的点还有J，

K，L，故有符合题意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．
8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，
H分别为PA，PD， PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③
C．①②③
[答案] C
B．①④
D．②③

[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则 EH∥AB，所以EH∥平面
ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABC D；平面PAD，平
面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．
∵AB∥CD，
∴平面PCD∥AB.

同理平面PAD∥BC.
二、填空题
9．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是
________．
[答案] 平行
10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥ a，
则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
[答案] 平行
[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对
于β内的任 意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异
面，即β内不存在直线b∥a.故α ∥β.
11.

如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H分别为棱CC
1
、 C
1
D
1
、
D
1
D、CD的中点，N是BC的中点 ，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M
满足________时，有MN∥平面B
1BDD
1
.
[答案] 点M在FH上
[解析] ∵FH∥BB
1
，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B
1
BDD
1
，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN?平面FHN，
∴MN∥平面B
1
BDD
1
.
12．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[答案] ①②③④
[解析] 展开图可以折成如图a所示的正方体．

在正方体中，连接AN，如图b所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴①②正确；

如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平
面AFN ，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正
确．
三、解答题
PEPF
13．在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱PA、P B、PC上，且
EA
＝
FB
PG1
＝
GC
＝
2
，求证平面EFG∥平面ABC.
[分析] 要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定 理需在平面EFG内寻找两
条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线， 故
应从比例关系入手先找线线平行关系．
PEPF
[证明] 在△PAB中，∵
EA
＝
FB
，∴EF∥AB，

∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC，
∵EF∩FG＝F，且FG?平面EFG，EF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABC.
总结评述：欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，
可通过证“线线平行”来 完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．

14．如图，F，H分别 是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的 棱CC
1
，AA
1
的中点，
求证：平面BDF∥平面B
1< br>D
1
H.

[证明] 取DD
1
中点E，
连AE、EF.
∵E、F为DD
1
、CC
1
中点，
∴EF綊CD.
∴EF綊AB，
∴四边形EFBA为平行四边形．
∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D
1
D、A
1
A中点，
∴D
1
E綊HA，∴四边形HAED
1
为平行四边形．
∴HD
1
∥AE，
∴HD
1
∥BF，

< br>由正方体的性质易知B
1
D
1
∥BD，且已证BF∥D
1H.
∵B
1
D
1
?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B
1
D
1
∥平面BDF.
∵HD
1
?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD
1
∥ 平面BDF.又∵B
1
D
1
∩HD
1
＝D
1
，
∴平面BDF∥平面B
1
D
1
H.
15．如图所示 ，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是B
1
D
1
的中点，E，F，G
分别是BC，DC和SC的中 点，求证：

(1)直线EG∥平面BDD
1
B
1
；
(2)平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.

[证明] (1)如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD
1
B
1
，EG?平 面BDD
1
B
1
，
∴直线EG∥平面BDD
1
B
1
.