符合高中数学的课文读物-高中数学函数奇偶性解题技巧
2017年高中数学知识点学案
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合
(1)、定义:
;集合中的每个对象叫集合
的 。
集合中的元素具有三个特征:
。
(2)、集合的三种表示法:
。
(3)、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作
?
,是
的
?
是 的子集,
真子集);
(4)、元素
a
和集合A之间的关系:
;
(5)、常用数集:自然数集: ;正整数集: ;整数集: ;有理数集:
;实
数集: 。
2、子集 (1)、定义:
,则A叫B的子集 ;记作: 。
注意:A
?
B时,A有两种情况:
。
(2)、性质:①、 ;②、
;
③、 。
3、真子集 :(1)、定义:
,记
作: ;
(2)、性质:①、 ;②、
;
4、补集:①、定义:
,
A
记作: ;
②、性质:
。
5、交集与并集(1)、交集:
;
性质:①、 ,
②、
。
A
(2)、并集:
;
B
性质:①、 ,
②、 。
6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
2
??0
??0
??0
判别式:△=
b
-4
ac
A
B
y
y
二次函数
y
的图象
一元二次方程
O
x
1
x
2
x
x
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
x
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
O
x
1
=x
2
O
集
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解
集
*:
不等式解集的边界值是相应方程的解。
*:
含参数的不等式ax
2
+b
x+c>0恒成立问题
?
含参不等式ax
2
+b
x+c>0的解集是R;
其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况。
7、绝对值不等式的解法:(“>”取两边,“<”取中间)
(1)、当
a?0
时,
|x|?a
的解集是
,
|x|?a
的解集是 。
(2)、当
c?0
时,
|ax?b|?c?ax?b??c,或ax?b?c
,
|ax?b|?c??c?ax?b?c
。
(3)、含两个绝对值的不等式:零点分
段讨论法:例:
|x?3|?|2x?1|?2
。
8、简易逻辑: (1)命题:
;逻辑联结词: ;
简单命题:
;复合命
题: ;
三种形式: ;
判断复合
命题真假:(1)、思路:①、确定复合命题的结构,②、判断构成复合命题的简单
命题的真假,
③、利用真值表判断复合命题的真假;
(2)、真值表:p或q,同假为假,否则为真;p且q,同真为真;非p,真假相反。
(2)、四种命题:
互逆
逆命题
原命题
原命题:若p则q;
逆命题: ;
若q则p
若p则q
否命题:
; 逆否命题: ;
否
互
互为逆否的两个命题是
。
逆
为
互
互
原命题与它的逆否命题是
命题。
为
逆
否
否
(3)、反证法步骤:假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。
互
否
(4)、充分条件与必要条件:
逆否命题
否命题
若
p?q
,则
p
叫
q
的
条件;
若
?
q则
?
p
若
?
p则
?
q
互逆
若
p?q
,则
p
叫
q
的
条件;
若
p?q
,则
p
叫
q
的
条件。
1
射
,
第二章 函数
、映
:
记作
,若
a?A,b?B
,且元素a和元素b对应,那么b叫a的 ,a叫b
的
。
2、函数:(1)、定
义:
,就称
f
:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作 ;
(2)、函数的三要素:
;自变量x的取值范围叫函数
的
,函数值
f
(
x
)的范围叫函数的
,定义域和值域都要用集合或区间表
示;
(3)、函数的表示法常用:
(画图象的三个步
骤: );
(4)、区间:满足不
等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫闭区间,表示为:
;
满足不等式
a?x?b
的实数
x
的集合叫开区间,表示为:
;
满足不等式
a?x?b
或
a?x?b
的实数
x
的集合叫半开半闭区间,分别表示
为: ;
(5)、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R;
②、分式:分母
?0
,0次幂:底数
?0
,例:
y?
1
2?|3x|
1
③、偶次根式:被开方式
?0
,例:
y?25?x
2
④、对数:真数
?0
,例:
y?log
a<
br>(1?)
x
(6)、求值域的一般方法:①、图象观察法:
y?0.2
|x|
1
②、单调函数:代入求值法:
y?log
2
(3x?1),x?[,3]
3
③、二次函
数:配方法:
y?x
2
?4x,x?[1,5)
,
y??x
2
?2x?2
x
2x?1
2
?sinx
⑤、“对称”分式:分离常数法:
y?
⑥、换元法:
y?x?1?
2x
2?sinx
(7)、求
f
(
x
)的一般方法:
④、“一次”分式:反函数法:
y?
①、待定系数法:一次函数
f
(
x
),且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17
,求
f
(
x
)
11
②、配凑法:
f(x?)?x
2
?<
br>2
,
求
f
(
x
)③、换元法:
f(x?1)
?x?2x
,求
f
(
x
)
x
x
1
④、解方程(方程组):定义在(-1,0)∪(0,1)的函数
f
(
x
)
满足
2f(x)?f(x)?
,
x
求
f
(
x
)
3、函数的单调性:
(1)、定义:区间D上任意两个值
x
1
,x
2
,若
x
1
?x
2
时有
,称
f(x)
为D
上增函数;
若
x
1
?x
2
时有
,称
f(x)
为D上减函数。(一致为增,不同为减)
(2)、区间D叫函数
f(x)
的
,单调区间
?
定义域;
(3)、判断单调性的一般步骤:①、 ,②、
,③、 ,④、 。
(4)、复合函数
y?f[h(x)]
的单调性:内外一致为增,内外不同为减;
4、指数及其运算性质:(1)、
,那么这个数叫
a
的
n
次方根;
n
a
叫
,当
n
为奇数时,
n
a
n
?
;当
n
为偶数时,
n
a
n
?
。
m
n
(2)、分数指数幂:正分数指数幂:
a
a
?m
n
?
;负分数指数幂:
?
。
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
(3)、运算性质:当
a?0,b?0,r,s?Q
时,
;
5、对数及其运算性质:(1)、定义:如果
a
b
?N(a?0,a?1
)
,数
b
叫以
a
为底
N
的对数,
记作
,其中
a
叫 ,
N
叫 ,以10为底叫 对数:记为
,以e=…为底叫 对
数:记为 。
(2)、性质:①:
,②、 ,
③、
,④、积的对数: , 商的对
数:
,
幂的对数: ,
方根的对
数: 。
6、指数函数和对数函数的图象性质
函数 指数函数 对数函数
定义
y?log
a
x
(
a?0且a?1
)
y?a
x
(
a?0且a?1
)
图象
(非奇非
偶)
a>1
0
a>1
0
性 定义域
质
值域
单调性
函数值
变化
图 定 点
象
图象
特征
图象
关系
请把下列六个函数的图像补充完整:
y
y=a
|x|
y=a
|x|
y
y=|log
a
y=lo
g
a
|y=log
a
|
x|
y
y=|log
a
x|
y
x|
y
第三章 数列
O
1
x
x|
(一)、数列:(1)、定义:
叫数列;每个数都叫数列的 ;
x
x
数列是特殊的函数:定义域:
,
O
1
O
1
x
O
1
值域: ,对应法则: ;
(2)、通项公式:
;例:数列1,2,…,n的通项
公式
a
n
?
,
1,-1,1,-1,…,的通项公式
a
n
?
; 0,1,0,1,0,…,的通项公式
a
n
?
。 <
br>(3)、递推公式:已知数列{
a
n
}的第一项,且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的
关系用一个公式表示,这
个公式叫递推公式;例:数列{
a
n
}:
a
1
?1
,
a
n
?1?
列{
a
n
}的各项。
(4)、数列的前n项和:
S
n?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
;
数列前n项和与通项的关
系: 。
(二)、等差数列
:(1)、定
义:
,那么这个数列就
叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母
表示。
(2)、通项公式: (其中首项是
a
1
,公差是
d
;整理后是关于n
的一次函数),
(3)、前n项和:1. 2.
(整理后是关于n的
没有常数项的二次函数)
(4)、等差中项:如果
a
,
A
,
b
成等差数列,那么
A
叫做
a
与b
的 。即:
或 。
[说明]:
在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前
一项与后一项的等差中
项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
(5)、等差数列的判定方法:
①、定义法:对于数列
?
a
n
?
,若
a
n
?1
?a
n
?d
(常数),则数列
?
a
n
?
是等差数列。
②、等差中项:对于数列
?
a
n
?,若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
,则数列<
br>?
a
n
?
是等差数列。
(6)、等差数列的性质: ①、等差数列任意两项间的关系:如果
a
n
是等差数列的第
n
项
,
a
m
是等差数列的第
m
项,
且
m?n
,
公差为
d
,则有 ;
②、等差数
列
?
a
n
?
,若
n?m?p?q
,则
。
也就是:
a
1
?a
n
?a
n
????
?
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
,如图所示:
1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
y
1
a
n?1
,求数
③、若数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
n
是其前n项的和,k?N
*
,那么
S
k
,
S
2k
?S<
br>k
,
S
3k
?S
2k
成
?????????
???
S
?
3k
????????????
?a?a???a?a<
br>1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
等差数列。如下图所示:
a
?
1
??
2
??
3????
k
?
k?
?????????????
S
k<
br>S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
④、
设数列
?
a
n
?
是等差数列,
S
奇
是奇数
项的和,
S
偶
是偶数项项的和,
S
n
是前n项的和,
则有:前n项的和
S
n
?S
奇
?S
偶
,
当n为偶数时,
S
偶
?S
奇
?d
,其中d为公差;
当n为奇数时,则
S
奇
?S
偶
?a
中
,
S
奇
?
a
n
S
2n?1
?
'
b<
br>n
S
2n?1
n?1n?1
a
中
,
S
偶
?a
中
(其中
a
中
是等差数列的中间一项)。
22
n
2
'
⑤、等差数列
?
a
n
?的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
,等差数列
?
b
n
?
的前
2n?1
项的和为
S
2n?1
,则
。
(三)、等比数列:(1)、定
义:
,
那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母
表示
(
q?0
)。
(2)、通项公式:
(其中:首项是
a
1
,公比是
q
)
(3)、前n项和:
(推导方法:乘公比,错位相减)
a?aq
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
○
说明:①
S
n
?
2
S
n
?1n
(q?1)
1?q
1?q
3当
q?1时为常数列,
S
n
?na
1
,非0的常数列既是等差数列,也是
等比数列
○
(4)、等比中项:
如果在a与
b
之间插入一个数<
br>G
,使a,
G
,
b
成等比数列,那么
G
叫做
a与
b
的 。
也就是,如果是的等比中项,那么
(5)、等比数列的判定方法:
①、定义法:对于
数列
?
a
n
?
,若
a
n?1
?q(q?0
)
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
a
n
Gb
?
aG
,即
(或
G??ab
,等比中项有 个)
2
②、等比中项:对于数列?
a
n
?
,若
a
n
a
n?2
?a
n?1
,则数列
?
a
n
?
是等比数列。
(6)、等比数列的性质:
①、等比数列任意两项间的关系:如果
a
n是等比数列的第
n
项,
a
m
是等比数列的第
m
项,
且
m?n
,
公比为
q
,则有
。
②、对于等比数列
?
a
n
?
,若
n?m?u?
v
,则 。
也就是:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a??????
,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n<
br> 。如图所示:
a
1
,a
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
③、若数列
?
a<
br>n
?
是等比数列,
S
n
是其前n项的和,
k?N*
,那么
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成等
比数列。
????????????
S
?
3k
????????????
?
a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图所示:
a
?
1
??
2
??<
br>3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S
2k
(7)、求数列的前n项和的常用方法:分析通项,寻求解法
n(n?1)
1?3?5???(2n?1)?n
2
,,
1?2?
3???n?
2
1
1
2
?2
2
?3
2???n
2
?n(n?1)(2n?1)
6
①公式法:“差比
之和”的数列:
(2?3?5
?1
)?(2?3?5
?2
)???(
2?3?5
?n
)?
②、并项法:
1?2?3?4???(?1)
n?1
n?
111
?
③、裂项相消法:
1?????
26(n?1)n
④、到序相加法:
⑤、错
位相减法:“差比之积”的数列:
1?2x?3x
2
???nx
n?1
?
第四章 三角函数
1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角
,顺时针方向旋转负角,不做任何旋
转零角;
(2)、与
?
终边相同的角,
连同角
?
在内,都可以表示为集
合:
。
(3)、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,
角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角
y
P(x,y)
不属于任何象限。
r
2、弧度制:(1)、定义:
叫做1弧度的角,
用弧度做单位叫弧度制。
(2)、度数与弧度数的换算:
。
0
(3)、弧长公式:
。
x
扇形面积: 。
3、三角函数 (1)、定义:(如图) (2)、各象限的符号:
y
y
y
(3)、 特殊角的三角函数值
_
_
+
+
+
+
?
的角
度
O
x
x
O x
O
?
的弧
度
_
_
_
+
_
+
(4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
①、
sin
2
?
?1?cos
2
?
, <
br>sin
?
??1?cos
2
?
;
cos
2<
br>?
?1?sin
2
?
,
cos
?
??1?sin
2
?
;
③
(s
in
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
,
1?sin2
??|sin
?
?cos
?
|
5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
公式二: 公式三: 公式四:
公式五:
补充:
?
2
补充:
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
?
?
,
3
?
?
?
与
?
的三角函数关系:
2
S
(
?<
br>?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?
S
(
?
??
)
:
sin(
?
?
?
)?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
T
(
?
?
?
)
的整式形式为:
tan?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?t
an
?
tan
?
)
例:若
A?B?45?
,则
(1?tanA)(1?tanB)?2
.(反之不一定成立)
??
ab
7、辅助角公式:
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
sinx?cosx
?
2
?
222
a?b
?
a?b
?
(其中
?
称为辅助角,
?
的终
边过点
(a,b)
,
tan
?
?
b
)
(多用于研究性质)
a
8、二倍角公式:(1)、
S
2
?
:
sin2
?
?
(2)、降次公式:(多用于研究性质)
C
2
?
:
cos2
?
?
sin
?
cos
?
?
1
sin2
?
2
1?cos2
?
11
T
2
?
:
tan2
?
?
cos
2
?
??cos2
?
?
222
1?cos2
?
?2|cos
?
|
; (3
)、二倍角公式的常用变形:①、
1?cos2
?
?2|sin
?
|
,
11
?cos2
?
?|cos
?
|
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|<
br>,
22
22
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?<
br>?1?
;
cos
4
?
?sin
4
?<
br>?cos2
?
;
2
4422
sin
④半角:
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
?
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
cos??
??
,,
tan??
22221?cos
?
si
n
?
1?cos
?
9、三角函数的图象性质
(1)、函数的周期性
:①、定义:对于函数
f
(
x
),若存在一个非零常数T,当
x取定义域
内的每一个值时,都有:
,那么函数
f
(
x
)叫周期函数,非零常数
T叫这个函数的
;
②、如果函数
f
(
x
)的所有周期中存在一个最小的
正数,这个最小的正数叫
f
(
x
)
的 。 <
br>(2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数
f
(
x
)的定义域内的任
意一个
x
,
都有:
,则称
f
(
x
)是奇函数,
则称
f
(
x
)是偶函数。
②、奇函数的图象关于
对称,偶函数的图象关于 对称;
③、奇函数,偶函数的定义域关于
对称;
(3)、正弦、余弦、正切函数的性质(
k?Z
)
函数 定义域
值域 周期性 奇偶
性
递增区间
递减区间
y?sinx
图象的五个关键点:
;
y
y?cosx
图象的五个关键点:
1
0
y
x
x
y
1
;对称轴是直线
;
y?Asin(
?
x?
?
)
的周期
y?s
inx
的对称中心为
o
-
1
为 ;
0
;对称轴是直线
?
x?<
br>?
)
的周期
y?cosx
的对称中心为
x
;
y?Acos(
为 ;
y?tanx
的对称中心为点
和点 ;
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期
为
;
(4)、函数
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,<
br>?
?0)
的相关概念:
函数
定义
域
值域
振幅
周期
频率 相位
初
相
图象
-
1
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与
y?sinx
的关系:
当A
?1
时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
①、振幅变换:
y?sinx
当
0?
A
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
1
当
?
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
②、周期变换:
y?sinx
?
1
当时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
0?
?
?
1
当
?
?0
时,图象上的各点向左平移
?
个单位倍
③、相位变换:
y?sinx
?
当
?
?0
时,图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位倍
?
④、平移变换:
y?Asin
?
x
当
?
?0
时,图象上的各点向左平移个单位倍
?
||
个单位倍
?
?0
时,图象上的各点向右平移当 ?0
时)平移|
?
|个单位
?
?0
时)或向右(
?
常叙述成: ①、把
y?sinx
上的所有点向左(
?
?
得到
y?sin(x?
?
)
;
②、再把
y?sin(x
?
?
)
的所有点的横坐标缩短(
?
?1
)或伸长(
0?
?
?1
)到原来的
1
倍
?
(纵
坐标不变)得到
y?sin(
?
x?
?
)
;③、再把
y?sin(
?
x?
?
)
的所有点的纵坐标伸长(
A?1
)
11、三角函数求值域
(1)一次函数型:
y?Asinx?B
,例:
y??2sin(3x?
?
12
)?5
,
y?sin
xcosx
用辅助角公式化为:
y?asinx?bcosx?
a
2
?b
2
?sin(x?
?
)
,例:
y?4sin
x?3cosx
(2)二次函数型:①、二倍角公式的应用:
y?sinx?cos2x
②、代数代换:
y?sinxcosx?sinx?cosx
第五章、平面向量
1、空间向量:(1)、定义:
叫做向量,向量都可用同一平面内的
表示。
(2)、零向量:长度为
的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意的。
(3)、单位向量:长度等于
的向量叫单位向量;
(4)、平行向量:
的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作
ab
;
规定
0
与任何向量平行;
(5)、相等向量:
的向量叫相等向量,零向量与零向量相等;
2、向量的运算:(1)、向量的加减法:
向量的减
向量的加
法
法
三角形法
平行四边形法
(2)、实数与向量的积:①、定义:实数
则
则
?
与向量
a
的积是一个向量,记作: ;
②:它的长度:
|
?
a|?
;
③:它的方向:当
?
?0
,
?
a
与向量a
的方向
;当
?
?0
,
?
a
与向量
a
的方向
;当
指向被减
首位连结
数
3、平面向量基本定理:如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一
向量a
,有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使
;不共线的向量
e
1
,e
2
叫这个
平面内所有向量的一组基
向量,{
e
1
,e
2
}叫 。
4、平面向量
的坐标运算:(1)、运算性质:
a?b?b?a,a?b?c?a?b?c,a?0?0?a?a
(2)、坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1<
br>?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则a?b?
。
设A、B两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),则<
br>AB?
。
?
??
?
?0
时,
?
a
=
0
;
????
??
(3)、实数与向量的积的运算律:
设
a?
?
x,y
?
,则λ
a?
。
(4)、平面向量的数量积:①、 定义:
a?b?
,
0?a?
。
①、平面向量的数量积的几何意义:向量
a的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b<
br>|
cos
?
的
乘积;
③、坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
;
向量
a
的模|
a
|:
|a|
2
?a?
a
?x
2
?y
2
;模|
a
|
?
④、设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹
角,则
cos
?
?
,
a
??
??
?
?
????
??
?
b
?
。
5、重要结论:(1)、两个向量平行的充要条件:
ab?
(
?
?R)
设
a?
?
x
1,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?
。
(2)、两个非零向量垂直的充要条件:
a?b?
,
设
a?
?
x
1
,y
1
?,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
。
(3)
、两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离:
|AB|?
(4)、P分线段P
1
P
2
的:设P(x,y)
,P
1
(x
1
,y
1
)
,P
2
(x
2
,y
2
)
,且
P
1
P?
?
PP
2
,(即
????
??
??
??
??
??
?
??
|
P
1
P|
|PP
2
|
)
?
x?
?
x?
则定比分点坐标公式
?
, 中点坐标公式
?
。
?
y?
?
y?
'
?
?
x?,
(5)、平移公式:如果点
P(x,y)按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′(x′,y′),则
?
'
?
?
y?.
?
S
?
?
。 6、解三角形:(1)、三角形的面积公式:
(2)、在△
ABC
中:
A?B?C?180?
,
因为
A?B?180??C
:
sin(A?B)?sinC
,
cos(A?B)??cosC
,
tan(A?B)??tanC
因为
A?B
?90??
C
:
sin(
A?B
)?
cos
C
,
cos(
A?B
)?sin
C
,
tan(
A?B
)?cot
C
222222
22
(3)、正弦定理,余弦定理
①、正弦定
理:
;
②、余弦定
理:
。
求角:
cosA?
。
第六章:不等式
1、不等式的性质:(1)、对称性:
a?b?
;(2)、传递性:
a?b,b?c?
;
(3)、
a?b?
a?c?b?c
;
a?b,c?d?a?c?b?d
(4)、
a?
b,
若
c?0?ac?bc
,若
c?0?ac?bc
;
a?
b?0,c?d?0?ac?bd
(5)、
a?b?0?a
n
?b
n
,
n
a?
n
b,(n?N,n?1)
(没有减法
、除法)
1、 基本不等式:(1)、
(2)、
a?b?2ab
或
ab?(
22
a?b
(
ab?
)
2
y
a?b
2
)
一正、二定、三相等
2
x
不满足相等条件时,注意应用函数
f(x)?x?
1
图象性质(如图)
x
应用:证明(注意1的技巧),求最值,实际应用
(3)、对于n个正数:
a
1
,a
2
,a
3
?,a
n
(n?2)
,
那么:
a
1
?a
2
???a
n
叫做n个正数的算术平均数,
n
a
1
a
2
?a
n
叫做n个正数的几何平均数;
n
3、不等式的证明,常用方法:
(1)比
较法:①、作差:
a?b?0?a?b,a?b?0?a?b
,(作差、变形、确定符号) <
br>②、作商:
a
?1(b?0)?a?b(b?0),
a
?1(b?0)
?a?b(b?0)
bb
(2)综合法:由因到果,格式:
??, ??; ??, ??;
(3)分析法:执果索因,格式:原式
?,
??, ??, ??,
(4)反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。
4、不等式的解法:(不等式解集的边界值是相应方程的解)
一元二次不等式(
x<
br>2
的系数为正数):
??0
时“>”取两边,“<”取中间
绝对值不等式:含一个绝对值符号的:“>”取两边,“<”取中间
含两个绝对值符号的:
零点分段讨论法(注意取“交”,还是取“并”)
高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿)
分式不等式的解法:移项、通分、根轴法
第七章:直线和圆的方程
1、倾斜角和斜率:(1)、倾斜角:
①、范围:
?
?
②、定义:在平面直角坐标系中,
对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴饶交点按逆时针
方向旋转到和直线重合时的最小正角记为
?
,则
?
叫直线的倾斜角;
当直线与和x轴平行或重合时,倾斜角为 ;
当直线与和x轴垂直时,倾斜角为 。
(2)、斜 率:
,
k?(??,??)
当
k
是特殊角的三角函数值时,直接写出角;
(3)、直线上两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
,则斜率为 ,
2、直线方程:直线方程的五种形式(1)、点斜式: ;
(2)、斜截式: ;(3)、两点式:
;
(4)、截距式:
(截距是直线与坐标轴的交点坐标,可正可负可为零)
AC
(5)、一般式:
(A、B不同时为0) 斜率
k??
,
y
轴截距为
?
BB
3、两直线的位置关系(1)、平行:
l
1
l
2
?
A
1
?
B
1
?
C
1
时
,
A
2
B
2
C
2
o
l
1
l
2
;
垂
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
?l
2
;
直:
k
1
?k
2
??1?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0;
(2)、相
交:
k
1
?k
2
A
1
?
B
1
,交点就是方程组
?
的解。
?
A
2
B
2
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0.
f
1
(x,y)?0
任意曲线
的交点就是:曲线方程构成的方程组
?
的解
?
?
f
2
(x,y)?0
(3)、点到直线的距离公式
(直线方程必须化为
一般式)
两平行线间的距离公式:
(即一条直线上任一点到另一条直线
的距离)
4、
线性规划:(1)、二元一次不等式表示的平面区域:
不等式
Ax
2
?Bx?C?0
(或≤,或>,
或<
)表示直角坐标系中以直线为分界的直线某一侧的平面区域。
(2)、求线性目标函数在线性约束条件
下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。满
足线性约束条件的解
(x,y)
叫
做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。最优解常在区域的交点或边界上。
(3)、具体解题的步骤:画出图形,求交点,代入目标函数求值,确定最大值或最小值
注意实际问题中的整数解(整点)
5、 曲线方程:(1)、曲线和方程的关系:在直角坐标
系中,曲线C的点与方程F(x,y)=0
的实数解满足:
①、曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,
②、方程F(x,y)=0的解为
坐标的点都在曲线C上,那么,方程叫曲线的方程,曲线叫方
程的曲线
(2)曲线方程步骤:①建系,设点; ②列方程;③化简(注明条件)。
(3)、方法:直接法:直接把相等关系转化为方程;
定义法:常用的是圆、椭圆、双曲线的定义;
代入法:用所求的点的坐标表示已知曲线上的点的坐标,代入已知曲线方程;
参数法:常用的参数有角、斜率、题中的字母系数;
6、圆的方程:(1)、圆的标准方程为
,圆心为
C(a,b)
,半
径为
r
(2)圆的一般方程为
(配方:
D
2
E
2
D
2
?E
2
?
4F
)
(x?)?(y?)?
224
D
2
?E
2
?4F?0
时,表示一个以
(?
D
,?
E
)<
br>为圆心,半径为
22
1
2
D
2
?E
2
?4F
的圆
?
y?rsin
?
?
x?rcos
?
(3)、圆的参数方程为 (
?
为参数
),圆心在原点时:
?
(4)、点与圆的位置关系:判断方法
上(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,外?0,内?0
,上=0
(5)、直线与圆位置关系:已知直线
Ax?By?C?0
和圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
①、圆心到直线的距离
d
与
r
比较,相离
d?r
,相切
d?r
,相交d?r
;
?
Ax
2
?Bx?C?0
?
②、利
用根的判别式:联立
?
消元后得一元二次方程的判别式
?
,
222
?
?
(x?a)?(y?b)?r
??0?
直线和圆相交,
??0?
直线和圆相切,
??0?
直线和圆相离;
相关问题:求弦长:弦心距,半径,弦的一半组成
Rt?
(6)、求圆的切线方程:设点斜式,用圆心到切线的距离等于半径,求斜率;
①、过圆x
2
?y
2
?r
2
上一点
M(x
0<
br>,y
0
)
的切线只有一条,方程为:
。
②、过圆外一点的切线一定有两条;(若只解出一个斜率,另一条没有斜率,切线方程为:
x?x
0
)
③、斜率确定的切线一定有两条。
(7)、圆中的最值问题:数形结合,寻求解法。
第八章:圆锥曲线
1、
圆锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质
曲线 椭圆 双曲线
定义
抛物线
标准
方程
图象
y
0
x
y
0
x
y
0
x
F
1
F
2
F
1
F
2
F
x
2
y
2
x
2
y
2
y
2
x
2
yxb
由双曲线求渐近线:
2
?
2
?1?
2
?
2
?0?
2
?
2
????y??x
baa
ababba
byxy2
x
2
x
2
y
2
x
2
y2
由渐近线求双曲线:
y??x????
2
?
2
?2
?
2
?0?
2
?
2
?
?
aba
baabab
2、求离心率
e
:方法一:用
e
的定义
e?
求
c
;
a
c
;法二:得到与
a、b、c
有关的方程,解方程,
a
b
2
b
2
(
离心率
e
与
a、b、c
的关系可以互相表示:椭圆
e?1?
2
,双曲线
e?1?
2
)
aa
3、直线和圆锥曲线的位置关系:
(1)、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法(基本思路)
?
直线方程
→消元→一元二次方程→判别式 Δ
联立
?
(方程的思想)
?
圆锥曲线方程
(2)、求弦长的方法:
①求交点,利用两点间距离公式求弦长;
②弦长公式
l?1?k
2
x1
?x
2
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
] (消y)
(
3)、与弦的中点有关的问题常用“点差法”:
11
?1?
2
|y
1
?y
2
|?(1?
2
)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
] (消x)
把弦
的两端点坐标代入圆锥曲线方程,作差→弦的斜率与中点的关系;
kk
(弦的中点与弦的斜率可以相互表示)
(4)、与双曲线只有一个交点的直线:一相切,二与渐近线平行
与抛物线只有一个交点的直线:一相切,二与对称轴平行
4、圆锥曲线的最值问题:
(1)、利用第二定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离求最值;
(2)、结合曲线上的点的坐标,利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值;
y
2
x
2
2
在
y?2px
上的点常设
(,y),在
x?2py
上的点常设
(x,)
2p2p
2
(3)、利用数形结合求最值;基本思路:与直线平行,与曲线相切.
(椭圆中,长轴是最长的弦;双曲线中,实轴是最短的弦。)
第九章 直线 平面
简单的几何体
1、 平面的性质:
公理1:
。
公理2:
。
(两平面相交,只有一条交线)
P?
?
?
?
?
?
?
?
?l
且
P?l
公理3:
。(强调“不共线”)
(三个推论:1、直线和直线外一点,2、两条相交直线,
3、两条平行直线,确定一个平面)
空间图形的平面表示方法:斜二测画法(水平长不变,竖直长减半)
2、
两条直线的位置关系:
。不同在任何一个平面内的两条直线
叫 。
(1)、异面直线判断方法:①定义,
②判定:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面不经过此点的直线是异面直
a
线.(两在两不在)
(2)、两条直线垂直:两条异面直线所成的角是直角,这两条直线互相垂直.
A
α
垂直相交(共面)、异面垂直,都叫两条直线互相垂直.
a∩
α
=A
(3)、空间平行直线:公理4:
。
3、直线与平面的位置关系: 直线在平面内,记作
直线在平面外 直线与平面相交,记作
直线与平面平行,记作
4、直线与平面平行:定义:
。
a
(1)、判定定理:
。
(线线平行
?
线面平行)
l?
?
,m?
?
,且lm
?
l
?
α
a
α
(2)、性质定理:
。(线面平
行
?
线线平行)
l
?
,l?
?
,
?
?
?
?m
?
lm
5、两个平面平行:定义:
。
(1)、判定定理:
。(线面平行
?
面面平行)
推
论:
。
(2)、性质定理:①
。(面面平行
?
线线平行)
②
;(面面平行
?
线面平行)
③夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。
平行间的相互转化关系:线线平行 线面平行 面面平行
6、直线和平面垂直:定义:
。
(常用于证明线线垂直:线面垂直
?
线线垂直)
(1)、判定定理:
。(线线垂直
?
线面垂直)
(2)、性质定理:①过一点和已知平面垂直的直线只有
一条,过一点和已知直线垂直的平面
只有一条。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面。
③线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。
(3)正射影:自一点P 向平面<
br>?
引垂线,垂足P
‘
叫点P在
?
内的正射影(简称射影) <
br>斜线在平面内的射影:过斜线上斜足外一点,作平面的垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线在
平面内
的射影。
(4)三垂线定理:
。
逆定理:
。
P
A
7、两个平面垂直:定义:平面角是直角的二面角叫直二面角,相交成直二面角的两个平面
D
a
垂直。
O
A
B E
(1)、判定定理:
。(线面垂直
?
a
C
面面垂直)
(2)、性质定理:
。(面面垂直
?
线面垂直)
垂直间的相互转化关系:线线垂直
线面垂直 面面垂直
10、角
(1)、等角定理:
,那么这
两个角相同。
(2)、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条
斜线和这个平面内任一
条直线所成的角中最小的.公式:
;
O
(3)、角的范围:
①、异面直线所成的角的范围:
两条直线所成的角的范围:
两个向量所成的角的范围:
B
②、斜线与平面所成的角的范围:
A
直线与平面所成的角的范围:
C
③、二面角的范围:
(4)、定义及求法:
①、异面直线所成的角:已知两条异面直线
a
、b
,经过空间任一点
O
作
a'
∥
a
,
b'
∥
b
,
a'
与
b'
所成的锐角(或直角)叫做
异面直线
a
与
b
所成的角(或夹角).
范围:
?
?(0,]
.
2
求法一:作平行线;
求法二:(向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。
②、斜
线和平面所成的角:一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角;斜线和平面不
垂直,不平行。
如果直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是0
。
的角。
求法
一:公式
cos
?
?cos
?
1
?cos
?
2
;
A
O
求法二:解直角三角形,斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形;
B
A’
③、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,直线叫二面角的棱;
O’
二面角的平面角:垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线所成的角。
B’
求法
一:几何法:一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角,再解直
角三角形;
11、距离(满足最小值原理)
(1)、点到平面的距离:一点到它在平面内的正射影的距离;
求法一:解直角三角形;
求法二:等积法,利用体积相等;
求法三:向量法:如图点P为平面外一点,点A为平面内的任一点,
平面的法向量为n,过点P作平面?的垂线PO,记PA和平面?所成的角为?,
求法一:解直角三角形;
12、棱柱
?
(1)、定义:
的多
面体叫棱柱。
斜棱柱(侧棱不垂直底面)——直棱柱(侧棱垂直底面)——正棱柱(底面
是正多边形的直
棱柱)
(2)、性质:①、棱柱的侧面是
,所有侧棱都 ;过不相邻的两条侧棱的截
面是 ;
直棱柱的各个侧面都是 ;正棱柱的各个侧面都是 的矩形。
c
b
②、棱柱的两个底面与平行于底面的截面是
的多边形。
a
(3)、平行六面体——直平行六面体——长方体——正方体,平行六面体
?
四棱柱
①、平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分;
②、长方体的对角线长的平方等于
;
③、正方体的对角线长
l?
,正方体的面对角线可构成一个正四面体(如图)。
13、棱锥
(1)、定义:
的多面体叫棱锥;
的棱锥叫正棱锥。
ShVh
P
(2)、性质:①、棱
锥被平行于底面的平面所截,则
1
?
1
2
,
1
?<
br>1
3
;中截面。
S
2
h
2
V
2<
br>h
2
23
‘
C
A
O
②、正棱锥各侧棱
,斜高 ,各侧面是 三角形;
B
③、正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成 三角形,
高、侧棱和侧棱在底面的射影组成 三角形。
A
14、正多面体:每个面都有相同边数的正多边形,每个顶点都有相同的棱数。
O
正多边形 顶点数面 数F 棱 数E 以各面的中心为顶点的正多面体
B
V
正四面体
正六面体
正八面体
正十二面体
正二十面体
欧拉公式:
15、球:
(1)、定义:
的集合叫球体;
的集合叫球面;
O
(2)、性质:①、截圆:一个平面截一个球面,截面是一个 ;
R
d
22
r?R?d
圆心是球心在圆面上的射影,;
N
O
‘
r
‘
P
过球心的截圆叫
,过球面上任意两点的大圆有一个或无数个;
O
B
A
不过球心的截圆叫 。平行于
的小圆叫纬线或纬圆。
②、纬度:纬线上一点的球半径与赤道面所成的线面角的度数;
O
T
'
图中:
?AOC,?BOA
都是纬度;常用
?OAO
??AOC
D
C
经度: 以南北轴SN为棱的二面角的度数;
C
图中:
?TOD,?TOC
都是经度;常用经度差
?COD??
AOB
S
(3)、两点的球面距离:经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度,
是球面上两点的最短
连线的长度。
求法:球心角的弧度数乘以球半径,即
。
(4)、球的体积公式: ,球的表面积公式:
,柱体
V?
,
锥体
V?
。
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