高中数学化学知识点总结合集

高中数学、化学知识点总结合集

高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A?
?
x|y?lgx
?
，B?
?
y|y?lgx< br>?
，C?
?
(x,y)|y?lgx
?
，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
A?x|x
2
?2x?3?0， B?
?
x|ax?1
?

如：集合

若B?A，则实数a的值构成的集合为

??

（答：
?
?1，0，
?
）

3. 注意下列性质：
n

（1）集合a
1
，a
2
，……，a
n
的所有子集的个数是2；

?
?
1
?
3
?
??

（2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（3）德摩根定律：

C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A?B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

ax?5
?0的解集为M，若3?M且5?M，求实数a

x
2
?a
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3?M，∴

a·3?5
?0
3
2
?a
a·5?5
?0
2
5?a
5
??
?a?
?
1，
?
?
?
9，25
?
）

3
?
?
∵5?M，∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).


若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真


若?p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，
哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y?
x
?
4?x
?
lg
?
x?3
?
2
的定义域是


（答：0，2?2，3?3，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则 函数F(x)?f(x)?f(?x)的定

义域是_____________。

（答：a，?a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t?
??????
??
??
?< br>2
x?1?e
x
?x，求f(x).

?
x?1，则t?0


∴x?t?1


∴f(t)?e
t

∴f(x)?e
2
?1
?t
2
?1

?x
2
?1
?
x?0
?

x
2
?1
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
?
?
1?x

如：求函数f(x)?
?
2
?
?
?x
?1
?
x?0
?
的反函数

?
x?0
?
?
?< br>x?1
?
x?1
?
）

（答：f(x)?< br>?
?
?
??x
?
x?0
?
13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C ，a?A，b?C，则f(a)=b?f
?1
(b)?a


?f
?1
?
f(a)
?
?f
?1
(b)?a，f< br>?
f
?1
(b)
?
?f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？

（y?f(u)，u??(x)，则y?f
?
?(x)
?
（外层）（内层）


当内、外层函数单调性相同时f?(x)为增函数，否则f?(x)为减函数。）


如：求y?log
1
?x?2x的单调区间

2
????
?
2
?

（设u??x
2
?2x，由u?0则0?x?2


且log
1
u?，u??
?
x?1
?
?1，如图：

2
2
u




O 1 2 x


当x?(0，1]时，u?，又log
1
u?，∴y?

2


当x?[1，2)时，u?，又log
1
u?，∴y?

2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？


如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0 B. 1
2
3
?
?
C. 2 D. 3
?
a
??
a
?
??
x?
?
?0

（ 令f'(x)?3x?a?3
?
x?
33
????

则x??
aa

或x?
33
a
?1，即a?3

3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称


若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一个偶函数与奇
函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2
x
?a?2
为奇函数，则实数a?

如：若f(x)?
2
x
?1

（∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0


a·2
0
?a?2
?0，∴a?1）

即
0
2?1
2
x
，

又如：f( x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?
x
4?1
求 f(x)在
?
?1，1
?
上的解析式。

2
?x

（令x?
?
?1，0
?
， 则?x?
?
0，1
?
，f(?x)?
?x

4?1
2
?x
2
x
??

又f(x)为奇函数，∴f(x)??
?x

x
4?11?4
?
2
x
?
?
x
?
4?1

又f(0)?0，∴f(x)?
?
x
?
2
?
?
4
x
?1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
x?(?1，0)
x?0
x?
?
0，1
?
）


（若 存在实数T（T?0），在定义域内总有f
?
x?T
?
?f(x)，则f(x )为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f
?
x?a
?
??f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b
?
?
?


即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)


则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称


f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称

?1

f(x)与f(x)的图象关于直线y?x对称


f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称


f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

y?f(x?a)
左移a(a?0)个单位

将y?f(x)图象????????

??
y?f(x?a)
右移a(a?0)个单位

??????????
注意如下“翻折”变换：

上移b(b?0)个单位
下移b(b?0)个单位
y?f(x?a)?b

y?f(x?a)?b
f(x)???f(x)
f(x)???f(|x|)


如：f(x)?log
2
?
x?1
?

作出y?log
2
?
x?1
?及y?log
2
x?1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：y?kx?b
?
k?0
?


（2）反比例函数：y?
的双曲线。

kk
?
k?0?
推广为y?b?
?
k?0
?
是中心O'(a，b)

xx?a
2
b
?
4ac?b
2
?

（3）二次函数y?ax?bx?c
?
a?0
?
?a
?x?图象为抛物线

?
?
??
2a4a
2
?< br>b4ac?b
2
?
b
，

顶点坐标为
?
?
?
，对称轴x??

4a
?
2a
?
2a

开口方向：a?0，向上，函数y
min
4ac?b
2
?

4a

a?0，向下，y
max
4ac?b
2
?

4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
?bx?c?0，??0时，两根x
1
、x
2
为二次函数y?ax
2
?bx?c的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。
?
??0
?
?
b
2

如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k?
?
??k

2a
?
?
?
f(k)?0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k，一根小于k?f(k)?0


（4）指数函数：y?a
x
a?0，a?1


（5）对数函数y?log
a
xa?0，a?1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0??
??


（6）“对勾函数”y?x?
k
?
k?0
?

x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y



?k


O
k


x



20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指 数运算：a?1(a?0)，a
m
n
n
m
?
m
n< br>0?p
?
1
(a?0)

p
a

a?a(a?0)，a?
1
n
a
m
(a?0)


对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM?0，N?0


log
a
??M1
n
?logM?logN，logM?log
aaaa
M

Nn

对数恒等式：a
log
a
x
?x


对数换底公式：log
a
b?
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x) ?f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，……）


（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令x?y??t?f
?
(?t)(?t)
?
? f(t·t)


∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)


∴f(?t)?f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)?f
?
x
2
?x
1
??x
2
?……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导 数法
等。）
如求下列函数的最值：

（1）y?2x?3?13?4x


（2）y?
logc
b
n
?log
a
m
b
n
?log< br>a
b

log
c
am
??
2x?4

x?3
2x
2

（3）x?3，y?

x?3

（4）y?x?4?9?x

（5）y?4x ?
2
?
设x?3cos?，??
?
0，?
?
?
9
，x?(0，1]

x

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l??·R，S
扇
?
11
l·R??·R
2
）

22


R


1弧度
O R

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y
T
B S

P


α

O





M
A x





如：若?
?
??? 0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8
?
?
?
1?2 cos
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?


又如：求函数y?
（∵1?2cos
?
?
?
?
?x
?
）?1?2 sinx?0

?
2
?

∴sinx?
2
，如图：

2

∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0 ?y?1?2

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？


sinx?1，cosx?1

y
y?tgx




x
?


?

?


O
?

2
2






对称点为
?
k

?
?
?
，0
?
，k?Z

?
2
?

y?sinx的增区间为
?
2k? ?
?
?
??
?
，2k??
?
?
k?Z?

22
?
?3?
?

减区间为
?
2k??，2k??
?
k?Z
?

?
22
??

图象的对称点为k?，0，对称轴为x?k??
?
??
?
?
k?Z
?

2
x的增区间为2k?，2k???

y?cos
??
?
k?Z
?

?
?
k?Z
?

减区间为2k???，2k??2?
?

图象的对称点为
?< br>k??
?
?
?
?
，0
?
，对称轴为x?k?
?
k?Z
?

?
2
??
?
，k??
?
k?Z

22
?

y?tanx的增区间为
?
k??
?
?

26. 正弦型函数y=Asin
?
?x+?
?
的图象和性质要熟记 。或y?Acos
?
?x??
?


（1）振幅|A|，周期T?
??
2?

|?|
< br>若f
?
x
0
?
??A，则x?x
0
为对称轴 。


若f
?
x
0
?
?0，则x< br>0
，0为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

??
?3?
，?，，2?，求出x与y，依点

22

?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?

?(x)???
2
?
2
?

解条件组求?、?值


?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cos
?
x?

（∵??x?
?
??
?
23?
??
，x?
?
?，
?
，求 x值。

?
??
6
?
22
??
3?7?? 5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

（x?0时，y?2sinx??2，2，x?0时，y?0，∴y??2，2）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
????

?
?
x'?x?h
a?(h，k)

（1）点P（x，y）?????

??P'（x'，y'），则
?
平移至
?
y'?y?k

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0


如：函数y?2sin
?
2x?
图象？

（y?2sin
?
2x?
?
?
?
?
??
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

4
?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
横 坐标伸长到原来的2倍
??y?2sin
?
2
?
x
?
?
?
?1

?
?1?????????
4
??
?
2
?
4
?
?
?
??
1个 单位
4
?2sin
?
x?
?
?1????????y?2s inx?1?
上平移
???????y?2sinx

??
4
左平移个单位
1
2
?y?sinx）

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin??cos??sec ??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan
2222
?

4
?
?cos0?……称为1的代换。

2
?

“k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2
?sin
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos
9?
?
7?
?
?tan
?
?
?
? sin
?
21?
?
?
?
6
?
4
s in??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值 C. 非负值


又如：函数y?
A. 正值或负值

D. 正值
sin?
sin
2
?
?
cos??1
?
cos?

（y???0，∵??0）

cos?
cos
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?
sin??
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：

sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos?

?
???
?
?sin
令???

令???
co
?
s???
?
?cos?co?s?sin?sin??????cos2? ?cos
2
??sin
2
?

tan
?
? ??
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
co
2
s??
ta n2??

2tan?

2
1?tan?


??bcos??

asin

sin?? cos??
a
2
?b
2
sin
?
???
?
，tan??
b

a
?
2sin
?
??< br>?
?
?
?
?
?

4
?
?
?
?

3
?

sin??3cos??2sin
?
??
应用以上公式对三角函数式 化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能
求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如??
?
???< br>?
??，
???
?
?
??
?
?
?< br>?
??
?
?
?
??
?
……

??
22
??
2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 < br>sin?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?1
??1，∴tan??

（由已知得：

2sin?2
2sin
2
?
2

又tan
?
???
?
?

3
21
?
tan???
?
?tan?
?
32
?
1
）

∴tan?
?
??2?
?
?tan
?
???
?
???
1?tan?
1?
2
·
1
8
?
???
?
·tan
32

如：已知
??
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?

正弦定理：???2R?
?
b?2RsinB

sinAsinBsinC
?
c?2RsinC
?

S
?
?
1
a·bsinC

2

∵A?B?C??，∴A?B???C

C，sin

∴sin
?
A?B
?
?sin

如?ABC中，2sin

（1）求角C；

2
A?BC
?cos

22
A?B
?cos2C?1

2
c
2
，求cos2A?cos2B的值。

（2）若a?b?
2
22

（（1）由已知式得：1?cos
?
A?B
?
?2cos
2
C?1?1


又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

2
1
或cosC??1（舍）

2
?

又0?C??，∴C?

3
1
222

（2）由正弦定理及a?b?c得：

2
3
2222
?

2sinA?2sinB?sinC?sin?

34
3

1?cos2A?1?cos2B?

4
3
2A?cos2B??）

∴cos
4

∴cosC?
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx?
??
?
??
?
，
?
，x?
?
?1，1< br>?

2
??
2

反余弦：arccosx?0，?，x??1，1


反正切：arc tanx?
?
?
????
?
??
?
，
?< br>，
?
x?R
?

?
22
?
34. 不等式的性质有哪些？

（1）a?b，
c?0?ac?bc

c?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d


（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

（4）a?b?0?
1111
?，a?b?0??

abab

（5）a?b?0?a
n
?b
n
，
n
a?
n
b


（6）|x|?a
?
a?0
?
??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a


如：若
11
??0，则下列结论不正确的是（
ab
）


A.a
2
?b
2

C.|a|?|b|?|a?b|
答案：C
35. 利用均值不等式：
?b
2

D.
ab
??2

ba
?
a?b
?

a?b?2aba，b?R；a? b?2ab；ab?
??
求最值时，你是否注

?
2
?22
?
?
?
2
意到“a，b?R
?
”且“等号 成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：

a
2
?b
2
a ?b2ab
??ab?a，b?R
?

22a?b
??

当且仅当a?b时等号成立。


a?b?c?ab?bc?caa，b?R


当且仅当a?b?c时取等号。


a?b?0，m?0，n?0，则

222
??
bb?ma?na
??1??

aa?mb?nb
4

如：若x?0，2?3x?的最大值为
x


（设y?2?
?
3x?

?
?
4
?
?
?2?212?2?43

x
?

当且仅当3x?
423
，又x?0，∴x?时 ，y
max
?2?43）

x3

xy
< br>又如：x?2y?1，则2?4的最小值为
x2yx?2y
?22
1
， ∴最小值为22）

（∵2?2?22

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1?

（1?
111
??…??2

2
2
3
2
n
2
111111

? ?……??1???……?
1?22?3n?1n
2
2
3
2
n
2
??
?1?1?

?2?
1
?2）n
11111
???……??
223n?1n


3 7.解分式不等式
f(x)
?a
?
a?0
?
的一般步骤是什 么？

g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


如：
?
x?1
??
x?1
??
x?2
?
? 0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1


（解集为
?x|x?
23
?
?
1
?
?
）

2
?

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1


求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

证明：
|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)|

22< br>2

?|(x?a)(x?a?1)|(
?
|x?a|?1)
?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1


∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2
?
|a|?1
?

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值


a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值


a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和


u
min
?3?
?
?2
?
?5，∴5?a，即a?5

或者：x?3?x?2?
?
x?3
?
??
x?2
?
?5，∴a?5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n?1
?a
n
?d(d为常数)，a
n
?a
1
?
?
n?1
?d


等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y



前n项和S
n
?
?
a
1
?a
n
?
n
?na
2
1
?
n
?
n?1
?
2
d


性质：
?
a
n
?
是等差数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；


（2）数列
?
a
2n?1
?
，
?
a
2n
?
，
?
ka
n
?b
?
仍为等差数列；


S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
…… 仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；


（4） 若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前 n项和，则
a
m
S
2m?1
?；

b
m
T
2m?1

（5）
?
a
n
?
为等差数列?S
n
?an
2
?bn （a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

S
n
的最值可求二次函数S
n
?an
2
?bn的最值；或者求出?
a
n
?
中的正、负分界

项，即：

当a
1
?0，d?0，解不等式组
?
?
a
n
?0
可得S
n
达到最大值时的n值。

?
a
n?1
?0

当a
1
?0，d ?0，由
?
?
a
n
?0
可得S
n
达到最小 值时的n值。

a?0
?
n?1

如：等差数列< br>?
a
n
?
，S
n
?18，a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3，S
3
?1，则n?

（由a
n
?a
n?1
?a
n?2
?3?3a
n?1
?3，∴a
n?1
?1


又S
3
?
?
a
1
?a
3
?
·3?3a
2
2
?1，∴a
2
?
1

3
?
1< br>?
?
?1
?
n
a?ana?a·n
?
3?
??
1n
?
2n?1
?
???18

∴S
n
?
222

?n?27）

44. 等比数列的定义与性质

定义：
a
n?1
?q（q 为常数，q?0），a
n
?a
1
q
n?1

a
n

等比中项：x、G、y成等比数列?G
2
?xy，或G??xy

?
na
1
(q?1)
?
（要注意!）
< br>前n项和：S
n
?
?
a
1
1?q
n
(q?1)
?
1?q
?
??

性质：
?
a
n
?
是等比数列

< br>（1）若m?n?p?q，则a
m
·a
n
?a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
?S< br>n
，S
3n
?S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n?1时，a
1
?S
1
，n?2时，a
n
?Sn
?S
n?1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法
111
a
1
?
2
a
2
?……?
n
a
n
?2n?5
2
22
1
解：
n?1时，a
1
?2?1?5，∴a
1
?14

2
111

n?2时，a
1
?
2
a
2
?……?
n?1
a
n?1
?2n?1?5
222
1

?1???2?得：
n
a
n
?2

2

如：
?
a
n
?
满足

∴a
n
?2
n?1


∴a
n
?
?
［练习］

数列
?< br>a
n
?
满足S
n
?S
n?1
?
?1 ?

?2?

?
14(n?1)
?
2
n?1
(n?2)

5
a
n?1
，a
1
?4，求a
n

3

（注意到a
n?1
?S
n?1
?Sn
代入得：
S
n?1
?4

S
n

又S
1
?4，∴
?
S
n
?
是等比数列，S
n
?4
n


n?2时，a
n
?S
n
?S
n?1
?……?3·4
n?1

（2）叠乘法

例如：数列
?
a
n
?
中， a
1
?3，
a
n?1
n
?，求a
n

a
n
n?1
解：
a
2
aaa
12 n?11
·
3
……
n
?·……，∴
n
?

a
1
a
2
a
n?1
23na
1
n
3

n

又a
1
?3，∴a
n
?
（3）等差型递推公式

由a
n
?a
n?1
?f(n)，a
1?a
0
，求a
n
，用迭加法

n?2时，a
2
?a
1
?f(2)
?
?
a
3
?a
2
?f(3)
?

?
两边相加，得：

…… ……
?
a
n
?a
n?1
?f(n)
?
?< br>
a
n
?a
1
?f(2)?f(3)?……?f(n)


∴a
n
?a
0
?f(2)?f(3)?……?f(n)

［练习］

数列
?
a
n
?
，a
1
?1，a
n
?3
n?1
?a
n?1
?
n?2
?
，求a
n


（a
n
?
1
n
3?1）

2
??
（4）等比型递推公式

a
n?ca
n?1
?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0

< br>可转化为等比数列，设a
n
?x?c
?
a
n?1
?x
?


?a
n
?ca
n?1
??
c?1
?
x

??
x?

令(c?1)x?d，∴

∴
?
a
n
?
d

c?1
?
?
d
?
d
是首项为a?，c为公比的等比数列

?
1
c?1
?
c?1

∴a
n?
dd
??
n?1
?
?
a
1
?
?
·c

c?1
?
c?1
?
?
?
d
?
n?1
d

c?
?
?
c?1c?1

∴a
n
?
?
a
1
?
［练习］

数列
?
a
n
?
满足a
1
?9，3a
n?1
?a
n
?4，求a
n

?
4
?

（a
n
?8
?
?
?
?
3
?
（5）倒数法
n?1
?1）


例如：a
1
?1，an?1
?
2a
n
，求a
n

a
n
?2

由已知得：
1
a
n?1
?
a
n
?2
11

??
2a
n
2a
n

∴
1
a
n?1
?
11
?

a
n
2

?
?
?
1
?11
?
为等差数列，?1，公差为

a
1
2
?
a
n
?
111
?1?
?
n?1
?
·?
?
n?1
?

a
n
22
2

n?1

?

∴a
n
?

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：
?
a
n
?
是公差为d的等差数列，求
1

?
aa
k?1
kk?1
n
解 ：
由
n
111
?
11
?
??
?
?
?
?
d?0
?

a
k
·a
k?1
a
k
?
a
k
?d
?
d
?
a
k
a
k?1
?
n
11
?
11
?
?
?
?
?

∴
?
?
aadaa
?
k?1
kk?1
k?1
kk?1
?

?
11
?
?
11
??
11
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?……?
?
?
?
?< br>d
?
?
a
1
a
2
??
a
2
a
3
?
aa
?
nn?1
?
?
?< br>1
?
11
?
?
?
?
d
?
a
1
a
n?1
?

［练习］

求和：1?
111
??……?

1?21?2?3
1?2?3?……?n
1
）

n?1

（a
n
?……?……，S
n
?2?
（2）错位相减法：

若
?
a
n
?
为等差 数列，
?
b
n
?
为等比数列，求数列
?
a
n
b
n
?
（差比数列）前n项

和，可由S
n?qS
n
求S
n
，其中q为
?
b
n
?
的公比。


如：S
n
?1?2x?3x?4x?… …?nx
23n?1
?1?


x·S
n
?x?2x
2
?3x
3
?4x
4
?……?
?
n?1
?
x
n?1
?nx
n

? 1???2?：
?
1?x
?
S
n
?1?x?x
2< br>?……?x
n?1
?nx
n


x?1时，S
n
?2?

1?x
?
nx
?
??
n
n
?
1?x
?
2
1?x


x?1时，S
n
?1?2?3?……?n?
n
?< br>n?1
?
2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S
n
?a< br>1
?a
2
?……?a
n?1
?a
n
?
?

?
相加

S
n
?a
n
?a
n?1
?……?a
2
?a
1
?
?

2S
n
?
?
a
1
?a
n
?
?
?
a
2
?a
n?1
?
?……?
?a
1
?a
n
?
……

［练习］
x
2
?
1
??
1
??
1
?

已知f(x)?，则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f
??? ???
?
2
?????
4
?
23
1?x

x
?
1
?

（由f(x)?f
??
??
?
x
?
1?x
2
2
x
2
1< br>???1

222
1?x1?x
?
1
?
1?
??
?
x
?
?
1
?
??
3
??
?
1
?
?
4
?
?
1
???
?
x
?
2

∴原式?f(1)?
?
f(2)?f
??
?
?
?
f(3)?f
??
?
?
?
f(4)?f
??
?

???????
?
?
1
?
??
2
??

?
11
?1?1?1?3）

22
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

S
n
? p
?
1?r
?
?p
?
1?2r
?
?……? p
?
1?nr
?
?p
?
n?
?
?
n
?
n?1
?
?
r
?
……等差问题

2
?
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款— —分期等额归还本息的借款
种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方 式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还
款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按 复利），那么每期应还x元，满足
n

p(1?r)?x
?
1?r
?
n?1
?x
?
1?r
?
n?2
? ……?x
?
1?r
?
?x

n
?
1??
1?r
?
n
?
1?r
?
?1
?
?x
?

?
?x
r
?
?
1?
?
1?r
?
?
?
∴x?
pr
?
1?r
?
n
?
1?r
?
n
?1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：N?m
1
?m
2
?……?m
n


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：N?m
1
·m
2
……m
n


（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排 列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

A
n
?n
?
n?1
??< br>n?2
?
……
?
n?m?1
?
?
m
n!
?
m?n
?

?
n?m
?
!

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并 组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n
?
n?1
?
……
?
n?m ?1
?
A
m
n!
n
?

C?
m
?

m!m!
?
n?m
?
!
A
m
m
n

规定：C
0
n
?1


（4）组合数性质：

n?mm?101nn

C
m
，C
m
?C
m
n
?C
nn
?C
n n?1
，C
n
?C
n
?……?C
n
?2

50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定 位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相
同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐 一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i< br>?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x
1
?x
2
?x
3
?x
4
，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15
解析：可分成两类：
C. 12 D. 10
??

（1）中间两个分数不相等，



有C
5
?5（种）

4

（2）中间两个分数相等

x
1
?x
2
?x
3
?x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理

(a?b)? C
n
a?C
n
a
n0n1n?1n?22n?rrn
b?C
2
b?…?C
r
b?…?C
n
n
a
na
n
b

rn?r

二项展开式的通项公式：T
r?1
?C
n
a
r
b
r
(r?0，1…… n)


C
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

rn?r
r?0，1，2，……，n

（1）对称性：C
n
?C
n
??
1nn
< br>（2）系数和：C
0
n
?C
n
?…?C
n
? 2

35024n?1

C
1

n
?C
n
?C
n
?…?C
n
?C
n
?Cn
?…?2
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
?
n
?
2
；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式

?
?1< br>?
项，二项式系数为C
n
?
2
?
n?1n?1
系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为C
n
2
?C
n
2
22

如：在二项式
?
x?1
?
的展 开式中，系数最小的项系数为
表示）

（∵n＝11


∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第
11
n
n?1n?1（用数字

12
?6或第7项

2
r

由C
11
x
11?r
(?1)
r
，∴取r?5即第 6项系数为负值为最小：

65

?C
11
??C
11
??426


又如：
?
1?2x
?
2004
2004
?a
0< br>?a
1
x?a
2
x
2
?……?a
200x
?
x?R
?
，则

4
?
a
0
?a
1
?
?
?
a
0
?a
2?
?
?
a
0
?a
3
?
?……?
?
a
0
?a
2004
?
?

（令x?0，得：a
0
?1


令x?1，得：a< br>0
?a
2
?……?a
2004
?1

（用数字作答）


∴原式?2003a
0
?a0
?a
1
?……?a
2004
?2003?1?1?2004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0


（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B


??


（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。


（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B??


（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A


A?A??，A?A??


（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?
A包含的等可能结果m
?

一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P
?
A?B
?
?P(A)?P(B)


（3）若A、 B相互独立，则PA·B?P
?
A
?
·P
?
B
?< br>

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
??

k
k次的概率：P
n
(k)?C
k
n
p
?
1?p
?
n?k

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
?
C
2
2
?

?
P
1
?
2
4
?
?

C
10
15
??
（2）从中任取5件恰有2件次品；
3
?
C
2
10
?
4
C
6

?
P
2
??
?

5
21
C
10
??
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213

∴m?C
2

·46?4
3
23
C
244
3
·4·6?4
?

∴P
3
?

3
125
10
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
523

∴n?A
10
，m?C
2
A
45
A
6

23
C
2
10
4
A
5
A
6

∴P
4
?

?
5
21
A
10
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从
总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；
分层 抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到
的概 率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的 概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体
的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差
?
x
m ax
?x
min
?
；

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

其中，频率?小长方形的面积?组距×

样本平均值：x?
频率

组距
1
x
1
?x
2
?……?x
n

n
??

样本方差：S?
2
1
?
x
1
?x
?
2
?
?
x
2?x
?
2
?……?
?
x
n
?x
?2

n
??
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛 ，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的
概率为____________。
42
C
10
C
5

（）

6
C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。


（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

?
?

（3）单位向量|a
0
|?1，a
0
?
??
??
a
|a|

（4）零向量0，|0|?0

?

?
长度相等
??
a?b

（5）相等的向量?
?
方向相同
?
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a

（7）向量的加、减法如图：
??????

???

OA?OB?OC

???

OA?OB?BA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

? ??
实数对?
1
、?
2
，使得a??
1
e
1
??
2
e
2
，e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量

的一组基底。
?????

（9）向量的坐标表示


i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

?
? ?
a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a?
?
x，y
?< br>，即为向量的坐标

?
????
表示。

设 a?x
1
，y
1
，b?x
2
，y
2


则a?b?x
1
，y
1
?y
1
， y
2
?x
1
?y
1
，x
2
?y
2


?a??x
1
，y
1
??x
1
，?y
1


若Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2

?
??
??
?
??
?????
?
?
???
????
?

则AB?
?
x
2?x
1
，y
2
?y
1
?

?

|AB|?
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
，A、B两 点间距离公式

?????
57. 平面向量的数量积

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。


?为向量a与b的夹角，??0，?


B
??
??

b

O
?

?
?
a


D A
数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·b?b·a


②(a?b)c?a·c?b·c

???????
????
?????

③a· b?x
1
，y
1
·x
2
，y
2
?x
1
x
2
?y
1
y
2


注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c)


（3 ）重要性质：设a?x
1
，y
1
，b?x
2
，y
2


①a⊥b?a·b?0?x
1
·x
2
? y
1
·y
2
?0


②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|


?a??b（b?0，?惟一确定）


?x1
y
2
?x
2
y
1
?0


③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

?
?
2?
22
1
2
1
????
???
??????? ???
????
??????
??
???
?
?
??
?
??

④cos??
［练习］
a·b
?
?
|a|·|b|
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y·x?y
2
1
2
12
2
2
2

?
?
?
?
?
?

（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则

|a?b?c|?
答案：
22

???


（2）若向量a?x，1，b?4，x，当x?
答案：2
?
??
?
??
时a与b共线且方向相同

??
??

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?
答案：
13

58. 线段的定比分点
??
o


设P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
，分点Px，y，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在

??????
??
l上且不同于P< br>1
、P
2
，若存在一实数?，使P
1
P??PP
2< br>，则?叫做P分有向线段

?
P
1
P
2
所成 的比（??0，P在线段P
1
P
2
内，??0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??< br>1??
2
，P为P
1
P
2
中点时，
?

?

y??yy?y
22
?
y?
1?
y?
1
?
?
1??2
?
?

< br>
如：?ABC，Ax
1
，y
1
，Bx
2，y
2
，Cx
3
，y
3


则 ?ABC重心G的坐标是
?
??????
y?y
2
?y
3< br>??
x
1
?x
2
?x
3
，
1
?

??
33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面

????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

判定性质
线∥线???线⊥面???面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a

b
??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则


a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO







线面垂直：
P
??
O
a


a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a


O
α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?


面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?


α a


l


β

a⊥面?，b⊥面??a∥b


面?⊥a，面?⊥a??∥?


a b



??

60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0时，b∥?或b??

o


（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180

oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于 B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱
l
，∴∠AOB为所
求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A



θ
O
β


B
????????????????????????C?
D

（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

α

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B

（①arcsin
36
；②60
o
；③arcsin）

43
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝A D，求面PAB与面PCD所成的
锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积
转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。
D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧
?

V
锥
?
1
C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2
1
底面积×高

3
63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R
2
?d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。


（4）S
球
?4?R，V
球
?
2
4
?R
3

3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内 切球半径r之比为R：r＝3：
1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3?B.4?C.33?D.6?

答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角??0，?，k? tan??
?
?
y
2
?y
1
?
?
?
?
??，x
1
?x
2
?

?
x
2
?x
1
?
2
?
< br>P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
是l上两点，直线l的方向向量a?1，k

（2）直线方程：

点斜式：y?y
0
?k
?
x? x
0
?
（k存在）


斜截式：y?kx?b


截距式：
??????
xy
??1

ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）


（3）点Px
0
，y
0
到直线l：Ax?By?C?0的距离d?
??
A x
0
?By
0
?C
A?B
22

（4）l
1
到l
2
的到角公式：t an??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2

l
1
与l
2
的夹角公式：tan??
k
2
?k
1

1?k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？

A
1
B
2
?A
2
B
1
?
?
?l
1
∥l
2

A
1
C
2
?A
2
C
1
?

k
1
?k
2
?l
1
∥l
2
（反之 不一定成立）


A
1
A
2
?B
1
B
2
?0?l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
??1?l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组?关于x（或y ）的一元二次方程?“?”
??0?相交；??0?相切；??0?相离

68. 分清圆锥曲线的定义
?
椭圆?PF
1
?PF
2
?2a，2 a?2c?F
1
F
2
?
?

第一定义
?
双曲线?PF
1
?PF
2
?2a，2a?2c?F
1< br>F
2

?
?
?
抛物线?PF?PK

第二定义：e?
PF
PK
?
c

a

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y


b

O
F
1
F
2
a x


a
2
x?

c

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?b?0
?

ab

222

a?b?c

??

x
2
y
2

2
?
2
?1
?
a?0，b?0
?

ab
222

c?a?b

??


e>1 e =1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2
?
2
?1有相同焦点的双曲线系为
2
?< br>2
??
?
??0
?

abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。
（求 交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P
1
P
2
?

?
?
1?k
2
2
x?x
??
?
?
12
?4x
1
x
2
?

1
?2
?
?
1?
2
?
?
y
1
?y
2
?
?4y
1
y
2

?
k
?
??
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l

x
2
y
2

2
?
2
?1

ab
?
a
2
?
?e，PF
2
?e
?
x
0
?
?
?ex
0
?a

PKc
??

PF
1
?ex
0
?a

y
A P
2



O F x

P
1
B

PF
2


y
2
?2px
?
p?0
?

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mx
2
?ny2
?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为
2m
，则的值为
2n

答案：
m2

?
n2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线 C上任意一点，
设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a?
x?x'y?y'
，b??x'?2a?x，y'?2b?y）

22

只要证明A'2a?x，2b?y也在曲线C上，即f(x')?y'

??
?
AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称?
?

AA'中点在l上
?

?
?
?
k
A A'
·k
l
??1
?
AA'中点坐标满足l方程

?
x?rcos?
74.圆x
2
?y
2
?r
2的参数方程为
?
（?为参数）

y?rsin?
?

?
x?acos?
x
2
y
2

椭 圆
2
?
2
?1的参数方程为
?
（?为参数）

ab
?
y?bsin?
75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出 目标函
数的最值。

高中化学重要知识点详细总结

一、俗名
无机部分：
纯碱、苏打、天然碱 、口碱：Ｎa
2
CO
3
小苏打：NaHCO
3
大苏打：Na
2
S
2
O
3
石膏（生石膏）：CaSO
4
.2H
2
O
熟石膏：2CaSO
4
·.H
2
O 莹石：CaF
2
重晶石：BaSO
4
（无毒） 碳铵：NH
4
HCO
3
石灰石、大理
石：CaCO
3
生石灰：CaO 食盐：NaCl 熟石灰、消石灰：Ca(OH)
2
芒硝：Na
2
SO
4
·7H
2
O (缓泻剂) 烧
碱、火碱、苛性钠：NaOH 绿矾：FaSO
4
·7H
2
O 干冰：CO
2
明矾：KAl (SO4)
2
·12H
2
O 漂白粉：
Ca (ClO)
2
、CaCl
2
（混和物） 泻盐：MgSO
4
·7H
2
O 胆矾、蓝矾：CuSO
4
·5H
2
O 双氧水：H
2
O
2
皓矾：
ZnSO
4
·7H
2
O 硅石、石英：SiO
2
刚玉：Al
2
O
3
水玻璃、泡花碱、矿物胶：Na
2
SiO
3
铁红、铁矿：Fe
2
O
3

磁铁矿：Fe
3
O
4
黄铁矿、硫铁矿：FeS
2
铜绿、孔雀石：Cu
2
(OH)
2
CO
3
菱铁矿：FeCO
3
赤铜矿：Cu
2
O 波
尔多液：Ca (OH)
2
和CuSO
4
石硫合剂：Ca (OH)
2
和S 玻璃的主要成分：Na
2
SiO
3
、C aSiO
3
、SiO
2
过磷
酸钙（主要成分）：Ca (H
2
PO
4
)
2
和CaSO
4
重过磷酸钙（主要成分）：Ca (H
2
PO
4
)
2
天然气、沼气、坑气
（主要成分）：CH
4
水煤气：CO和H
2
硫酸亚铁铵（淡蓝绿色）：Fe (NH
4
)
2
(SO
4
)
2
溶于水后呈淡绿色
光化学烟雾：NO
2
在光照下产生的一种有毒气体 王水：浓HNO
3
与浓HCl按体积比1：3混合而成。
铝热剂：Al + Fe
2
O
3
或其它氧化物。 尿素：CO（NH
2
)
2

有机部分：
氯仿：CHCl
3
电石：CaC
2
电石气：C
2
H
2
(乙炔) TNT：三硝基甲苯 酒精、乙醇：C
2
H
5
OH
氟氯烃：是良好的制冷剂，有毒，但破坏O
3
层。 醋酸：冰醋酸、食醋 CH
3
COOH
裂解气成分（石油裂化）：烯烃、烷烃、炔烃、H
2
S、CO
2
、CO等。 甘油、丙三醇 ：C
3
H
8
O
3

焦炉气成分（煤干馏）：H
2
、CH
4
、乙烯、CO等。 石炭酸：苯酚 蚁醛：甲醛 HCHO
福尔马林：35%—40%的甲醛水溶液 蚁酸：甲酸 HCOOH
葡萄糖：C
6
H
12
O
6
果糖：C
6
H
12
O
6
蔗糖：C
12
H
22
O
11
麦芽糖：C
12
H
22
O
11
淀粉：（C
6
H
10
O
5
）
n
硬脂酸：C
17
H
35
COOH 油酸：C
17
H
33
COOH 软脂酸：C
15
H
31
COOH
草酸：乙二酸 HOOC—COOH 使蓝墨水褪色，强酸性，受热分解成CO
2
和水，使KMnO
4
酸性溶液褪色。
二、 颜色
铁：铁粉是黑色的；一整块的固体铁是银白色的。 Fe
2+
——浅绿色 Fe
3
O
4
——黑色晶体
Fe(OH)
2
——白色沉淀 Fe
3+
——黄色 Fe (OH)
3
——红褐色沉淀 Fe (SCN)
3
——血红色溶液
FeO——黑色的粉末 Fe (NH
4
)
2
(SO
4
)
2
——淡蓝绿色 Fe
2
O
3
——红棕色粉末 FeS——黑色固体
铜：单质是紫红色 Cu
2+
——蓝色 CuO——黑色 Cu
2
O——红色 CuSO
4
（无水）—白色
CuSO
4
·5H
2
O——蓝色 Cu
2
(OH)
2
CO
3
—绿色 Cu(OH)
2
——蓝色 [Cu(NH
3
)
4
]SO
4
——深蓝色溶液
BaSO
4
、BaCO
3
、Ag
2
CO
3
、CaCO
3
、AgCl 、 Mg (OH)
2
、三溴苯酚均是白色沉淀
Al(OH)
3
白色絮状沉淀 H
4
SiO
4
（原硅酸）白色胶状沉淀
Cl
2
、氯水——黄绿色 F
2
——淡黄绿色气体 Br
2
——深红棕色液体 I
2
——紫黑色固体
HF、HCl、HBr、HI均为无色气体，在空气中均形成白雾
CCl
4
——无色的液体，密度大于水，与水不互溶 KMnO
4--
——紫色 MnO
4
-
——紫色
Na
2
O
2
—淡黄色固体 Ag
3
PO
4
—黄色沉淀 S—黄色固体 AgBr—浅黄色沉淀

AgI—黄色沉淀 O
3
—淡蓝色气体 SO
2
—无色，有剌激性气味、有毒的气体
SO
3
—无色固体（沸点44.8
0
C） 品红溶液——红色 氢氟酸：HF——腐蚀玻璃
N
2
O
4
、NO——无色气体 NO
2
——红棕色气体 NH
3
——无色、有剌激性气味气体
三、 现象：
1、铝片与盐酸反应是放热的，Ba(OH)
2
与NH< br>4
Cl反应是吸热的；
2、Na与H
2
O（放有酚酞）反应，熔 化、浮于水面、转动、有气体放出；(熔、浮、游、嘶、红)
3、焰色反应：Na 黄色、K紫色（透过蓝色的钴玻璃）、Cu 绿色、Ca砖红、Na
+
（黄色）、K
+
（紫色）。
4、Cu丝在Cl
2
中燃烧产生棕色的烟； 5、H
2
在Cl
2
中燃烧是苍白色的火焰；
6、Na在Cl
2
中燃烧产生大量的白烟； 7、P在Cl
2
中燃烧产生大量的白色烟雾；
8、SO
2
通入品红溶液先褪色，加热后恢复原色；
9、NH
3
与HCl相遇产生大量的白烟； 10、铝箔在氧气中激烈燃烧产生刺眼的白光；
11、镁条在空气中燃烧产生刺眼白光，在CO< br>2
中燃烧生成白色粉末（MgO），产生黑烟；
12、铁丝在Cl
2
中燃烧，产生棕色的烟； 13、HF腐蚀玻璃：4HF + SiO
2
＝ SiF
4
+ 2H
2
O
14、Fe(OH)
2
在空气中被氧化：由白色变为灰绿最后变为红褐色；
15、在常温下：Fe、Al 在浓H
2
SO
4
和浓HNO
3
中钝化；
16 、向盛有苯酚溶液的试管中滴入FeCl
3
溶液，溶液呈紫色；苯酚遇空气呈粉红色。
17、蛋白质遇浓HNO
3
变黄，被灼烧时有烧焦羽毛气味；
18、在空气中燃烧：S——微弱的淡蓝色火焰 H
2
——淡蓝色火焰 H
2
S——淡蓝色火焰
CO——蓝色火焰 CH
4
——明亮并呈蓝色的火焰 S在O
2
中燃烧——明亮的蓝紫色火焰。
19．特征反应现象：
白色沉淀[Fe(OH)
2
]?
空气
???红褐色[Fe(OH)
3
]

20．浅黄色固体：S或Na
2
O
2
或AgBr
21．使 品红溶液褪色的气体：SO
2
（加热后又恢复红色）、Cl
2
（加热后不恢复 红色）
22．有色溶液：Fe
2+
（浅绿色）、Fe
3+
（黄色） 、Cu
2+
（蓝色）、MnO
4
-
（紫色）
有色固 体：红色（Cu、Cu
2
O、Fe
2
O
3
）、红褐色[Fe (OH)
3
] 黑色（CuO、FeO、FeS、CuS、Ag
2
S、PbS）
蓝色[Cu(OH)
2
] 黄色（AgI、Ag
3
PO
4
） 白色[Fe(0H)
2
、CaCO
3
、BaSO
4
、AgCl、BaSO
3
]
有色气体：Cl
2
（黄绿色）、NO
2
（红棕色）
四、 考试中经常用到的规律：
1、溶解性规律——见溶解性表； 2、常用酸、碱指示剂的变色范围：
指示剂
甲基橙
酚酞
石蕊
＜3.1红色
＜8.0无色
＜5.1红色
PH的变色范围
3.1——4.4橙色
8.0——10.0浅红色
5.1——8.0紫色
>4.4黄色
>10.0红色
>8.0蓝色
3、在惰性电极上，各种离子的放电顺序：
阴极（夺电子的能力）：Au
3+
>Ag
+
>Hg
2+
>Cu
2+
>Pb
2+
>Fa
2+
>Zn
2+
>H
+
>Al
3+
>Mg
2+
>Na
+
>Ca
2+
>K
+

–
阳极（失电子的能力）：S
2-
>I
-
>Br >Cl
-
>OH
-
>含氧酸根
注意：若用金属作阳极，电解时阳极本身发生氧化还原反应（Pt、Au除外）
4、双水解离子方程式的书写：（1）左边写出水解的离子，右边写出水解产物；
（2）配平：在左边先配平电荷，再在右边配平其它原子；（3）H、O不平则在那边加水。
例：当Na
2
CO
3
与AlCl
3
溶液混和时： 3 CO
3
2-
+ 2Al
3+
+ 3H
2
O = 2Al(OH)
3
↓ + 3CO
2
↑
5、写电解总反应方程式的方法：（1）分析：反应物、生成物是什么；（2）配平。
例：电解KCl溶液：2KCl + 2H
2
O == H
2
↑+ Cl
2
↑+ 2KOH 配平：2KCl + 2H
2
O == H
2
↑+ Cl
2
↑+ 2KOH
6、将一个化学反应方程式 分写成二个电极反应的方法：（1）按电子得失写出二个半反应式；（2）再考
虑反应时的环境（酸性或 碱性）；（3）使二边的原子数、电荷数相等。
例：蓄电池内的反应为：Pb + PbO
2
+ 2H
2
SO
4
= 2PbSO
4
+ 2H
2
O 试写出作为原电池(放电)时的电极反应。
写出二个半反应： Pb –2e- → PbSO
4
PbO
2
+2e- → PbSO
4

分析：在酸性环境中，补满其它原子： 应为： 负极：Pb + SO
4
2-
-2e- = PbSO
4

正极： PbO
2
+ 4H
+
+ SO
4
2-
+2e- = PbSO
4
+ 2H
2
O
注意：当是充电时则是电解，电极反应则为以上电极反应的倒转：
为： 阴极：PbSO
4
+2e
-
= Pb + SO
4
2-
阳极：PbSO
4
+ 2H
2
O -2e- = PbO
2
+ 4H
+
+ SO
4
2-

7、在解计算题中常用到的恒等：原子恒等、离子恒等、电子 恒等、电荷恒等、电量恒等，用到的方法有：
质量守恒、差量法、归一法、极限法、关系法、十字交法 和估算法。（非氧化还原反应：原子守恒、电
荷 平衡、物料平衡用得多，氧化还原反应：电子守恒用得多）
8、电子层结构相同的离子，核电荷数越多，离子半径越小；
9、晶体的熔点：原子晶体 >离子晶体 >分子晶体 中学学到的原子晶体有： Si、SiC 、SiO
2
=和金刚石。
原子晶体的熔点的比较是以原子半径为依据的： 金刚石 > SiC > Si （因为原子半径：Si> C> O）.
10、分子晶体的熔、沸点：组成和结构相似的物质，分子量越大熔、沸点越高。
11、 胶体的带电：一般说来，金属氢氧化物、金属氧化物的胶体粒子带正电，非金属氧化物、金属硫化物
的胶体粒子带负电。
12、氧化性：MnO
4-
>Cl
2
>Br
2
>Fe
3+
>I
2
>S=4(+4价的S) 例： I
2
+SO
2
+ H
2
O = H
2
SO
4
+ 2HI
13、含有Fe
3+
的溶液一般呈酸性。 14、能形成氢键的物质：H
2
O 、NH
3
、HF、CH
3
CH
2
OH 。
15、氨水（乙醇溶 液一样）的密度小于1，浓度越大，密度越小，硫酸的密度大于1，浓度越大，密度越
大，98%的浓硫 酸的密度为：1.84gcm3。
16、离子是否共存：（1）是否有沉淀生成、气体放出；（2） 是否有弱电解质生成；（3）是否发生氧化
还原反应；（4）是否生成络离子[Fe(SCN)
2
、Fe(SCN)
3
、Ag(NH
3
)
+
、[C u(NH
3
)
4
]
2+
等]；（5）是否发生
双水解。
17、地壳中：含量最多的金属元素是— Al 含量最多的非金属元素是—O HClO
4
(高氯酸)—是最强的酸
。
18、熔点最低的金属是Hg (-38.9C),；熔点最高的是W（钨3410c）；密 度最小（常见）的是K；密度最
大（常见）是Pt。
19、雨水的PH值小于5.6时就成为了酸雨。
20、有机酸酸性的强弱：乙二酸 >甲酸 >苯甲酸 >乙酸 >碳酸 >苯酚 >HCO
3
-

21、有机鉴别时，注意用到水和溴水这二种物质。
例：鉴别：乙酸乙酯（不溶于水，浮）、溴苯（不溶于水，沉）、乙醛（与水互溶），则可用水。
22、取代反应包括：卤代、硝化、磺化、卤代烃水解、酯的水解、酯化反应等；
23、 最简式相同的有机物，不论以何种比例混合，只要混和物总质量一定，完全燃烧生成的CO
2
、 H
2
O及
耗O
2
的量是不变的。恒等于单一成分该质量时产生的CO
2
、H
2
O和耗O
2
量。
24、可使溴水褪 色的物质如下，但褪色的原因各自不同：烯、炔等不饱和烃（加成褪色）、苯酚（取代褪
色）、乙醇、醛 、甲酸、草酸、葡萄糖等（发生氧化褪色）、有机溶剂[CCl
4
、氯仿、溴苯、CS
2
（密度
大于水），烃、苯、苯的同系物、酯（密度小于水）]发生了萃取而褪色。 25、能发生银镜反应的有：醛、甲酸、甲酸盐、甲酰铵（HCNH
2
O）、葡萄溏、果糖 、麦芽糖，均可发生
银镜反应。（也可同Cu(OH)
2
反应） 计算时的关系式一般为：—CHO —— 2Ag
注意：当银氨溶液足量时，甲醛的氧化特殊： HCHO —— 4Ag ↓ + H
2
CO
3

反应式为：HCHO +4[Ag(NH
3
)
2
]OH = (NH
4
)
2
CO
3
+ 4Ag↓ + 6NH
3
↑+ 2H
2
O
26、胶体的聚沉方法：（1）加入电解质；（2）加入电性相反的胶体；（3）加热。
常见的胶体：液溶胶：Fe(OH)
3
、AgI、牛奶、豆浆、粥等；气溶胶：雾、云、烟等； 固溶胶：有色玻璃、
烟水晶等。
27、污染大气气体：SO
2
、CO、 NO
2
、NO，其中SO
2
、NO
2
形成酸雨。 28、环境污染：大气污染、水污染、土壤污染、食品污染、固体废弃物污染、噪声污染。工业三废：废渣、
废水、废气。
。
29、在室温（20C）时溶解度在10克以上——易溶；大于 1克的——可溶；小于1克的——微溶；小于
0.01克的——难溶。
30、人体含水约 占人体质量的23。地面淡水总量不到总水量的1%。当今世界三大矿物燃料是：煤、石油、

天然气。石油主要含C、H地元素。
31、生铁的含C量在：2%——4.3% 钢的含C量在：0.03%——2% 。粗盐：是NaCl中含有MgCl
2
和 CaCl2
，
因为MgCl
2
吸水，所以粗盐易潮解。浓HNO
3
在空气中形成白雾。固体NaOH在空气中易吸水形成溶液。
32、气体溶解度：在一定的压强和温度下，1体积水里达到饱和状态时气体的体积。
五、无机反应中的特征反应
1．与碱反应产生气体
?




2．与酸反应产生气体




?
?
单质
?
2Al?2NaOH?2H
2
O?2NaAlO< br>2
?3H
2
?
（1）
?
Si?2NaOH?H2
O?Na
2
SiO
3
?2H
2
?
?
?
?
碱
（2）铵盐：
NH
4
???NH
3
??H
2
O

Al、Si?
OH
???H
2
?
?





?
?
?
HCl
???H
2
?
?
?
浓H
2
SO
4
??SO
2
?
?
金属
?
???
?
?
HNO
3
??NO
2
?、NO?
?
?
??
?
浓HS O
4
（1）
?
?
单质
??SO
2
?、C O
2
?
?
?
??
2
?
C
?
?
浓HNO
3
?

?
?
?
????NO
2
?、CO
2
?
?
?
非金属
?
浓 HSO
4
??SO
2
?
?
?
?
??
2
?
?
S
?
?
浓HNO
3
?
?
????SO
2
?、NO
2
?
?
?
??
H
?
CO
3
2?
?
HCO
3
?
?
???CO
2
?

?
?
2?
H
?
?
化合物SHS??
（2）
??
?H
2S?

?
?
2?

H
?
?
S OHSO???SO
2
?
?
3
?
3
?
?< br>
3．Na
2
S
2
O
3
与酸反应既产生沉淀 又产生气体：

S
2
O
3
2-
+2H
+
=S↓+SO
2
↑+H
2
O
4．与水反应产生气体

?
?
2Na?2H
2
O?2NaOH?H
2?
（1）单质
?
?
?
2F
2
?2H
2
O?4HF?O
2
?

?
2Na
2
O< br>2
?2H
2
O?4NaOH?O
2
?
?
< br>?
Mg
3
N
2
?3H
2
O?3Mg
?
OH
?
2
??2NH
3
?
（2）化合物
?
?
Al
2
S
3
?6H
2
O?2Al< br>?
OH
?
3
??3H
2
S?

?
CaC?2HO?Ca
?
OH
?
?CH?

2222
2
?

5．强烈双水解




2
O
?
CO
3
2?
HCO
3< br>?
?
H
???CO
2
??Al
?
OH
?
3
?
?
2?3?
2
O
Al与
?
SHS
?
?
H
???H
2
S??Al
?
OH
?
3
?
?
H
2
O
?
AlO? ???Al
?
OH
?
3
?
2
?
?
?
?
?
6．既能酸反应，又能与碱反应

（1）单质：Al （2）化合物：Al
2
O
3
、Al(OH)
3
、弱酸弱碱盐、弱酸的酸式盐、氨基酸。

CO
2
?
?O
2
??Na
2
CO
3
?
???
7．与 Na
2
O
2
反应
?
H
2
O
?< br>??O
2
??NaOH
?
??

8．2FeCl3
+H
2
S=2FeCl
2
+S↓+2HCl
9．电解
?
H
2
O?
电解
???H
2< br>??O
2
?
?
?

电解
?Al?O
2
?
?
Al
2
O
3
?
熔融
????

?
电解
NaCl溶液????NaOH?Cl
2
??H
2
?
?
?

高温
10．铝热反应：Al+ 金属氧化物
????
金属+Al
2
O
3

11． Al
3+
Al(OH)
3
AlO
2
-
12．归中反应：2H
2
S+SO
2
=3S+2H
2
O
4NH
3
+6N O
????
4N
2
+6H
2
O


13．置换反应：（1）金属→金属
?

?
1.金属?盐?金属?盐
?
2.铝热反应
?
催化剂
或H
2
O
??
H
????H
2
?
?
活泼金属（Na、Mg、Fe）
（2）金属→非金属
?
?
2Mg?CO
2
?
点燃
???2MgO?C
?

?
2F
2
?2H
2
O?4HF?O
2
?
?
高温

??Si?2CO
?
2C?SiO
2
??
（3）非金属→非金属
?
高温
??CO?H
2
?
C?H
2
O??

?
Cl(Br、I)?HS?S?2HCl（HBr、HI）
2
?
222
高温
?
??金属?H
2
O
?
H
2< br>?金属氧化物??
（4）非金属→金属
?
高温
?
C?金属氧化物????金属?CO
2
?

14、一些特殊的反应类型：
⑴ 化合物+单质 化合物+化合物 如 ：Cl
2
+H
2
O、H
2
S+O
2
、、NH
3
+O
2
、CH
4
+O
2
、C l
2
+FeBr
2

⑵ 化合物+化合物 化合物+单质NH
3
+NO、H
2
S+SO
2
、Na2
O
2
+H
2
O、NaH+H
2
O、
Na
2
O
2
+CO
2
、CO+H
2
O
⑶ 化合物+单质 化合物PCl
3
+Cl
2
、Na
2
SO
3
+O
2
、FeCl
3
+Fe 、FeCl
2
+Cl
2
、CO+O< br>2
、Na
2
O+O
2

14．三角转化：





15．受热分解产生2种或3种气体的反应：

?
?
NH
4
HCO
3
[(NH
4
)
2
CO
3
]???NH
3
??CO
2
??H
2
O
?
?
（1）铵盐
?
NH4
HSO
3
[(NH
4
)
2
SO
3< br>]???NH
3
??SO
2
??H
2
O
?< br>
?
NHHS[(NH)S]???NH
3
??H
2
S?
442
?

?
?
2Cu(NO
3
)< br>2
???2CuO?4NO
2
??O
2
?
?
（2）硝酸盐
?
?
?
2AgNO???2Ag?2NO
2
??O
2
?
3
?
16．特征网络：
O
2
O
22
O
（1）
A???B???C?
H
???D(酸或碱 )

O
2
O
22
O
①
NH（气体）??? NO???NO
2
?
H
???HNO
3

3

222
②
H
2
S（气体）???SO
2
? ??SO
3
????H
2
SO
4

O
2< br>O
22
O
③
C（固体）???CO???CO
2
?< br>H
???H
2
CO
3

222
④
N a（固体）???Na
2
O???Na
2
O
2
????Na OH

OOHO
OOHO

强酸
?
??气体B
?
??
（2）A—
?
强碱
?
??气体C
?
??

A为弱酸的铵盐：(NH
4
)
2
CO
3
或NH
4< br>HCO
3
； (NH
4
)
2
S或NH
4< br>HS；(NH
4
)
2
SO
3
或NH
4
HSO
3

（3）无机框图中常用到催化剂的反应:
2
，?2KClO
3
?
MnO
????2KCl?3O
2
?< br>2
2H
2
O
2
?
MnO
???2H
2
O?O
2
?
?
2SO
2
?O
2
?
催化剂，
????2SO
3
?
4NH
3
?5O< br>2
?
催化剂，
????4NO?6H
2
O
?
N
2
?3H
2
?
催化剂，
????2NH
3

17.关于反应形式的联想：
1．热分解反应：典型的特征是一种物质加热（1变2或1变3）。
A
B+C :不溶 性酸和碱受热分解成为相应的酸性氧化物（碱性氧化物）和水。
举例：H
4
SiO4
；Mg（OH）
2
，Al（OH）
3
，Cu（OH）
2
，Fe（OH）
3
不溶性碳酸盐受热分解：CaCO
3
，MgCO
3
（典型前途是和CO
2
的性质联系），
NaNO
3
，KNO
3
，KClO
3
受热分解(典型特征是生成单质气体）。
B＋C＋D：属于盐的热稳定性问题。NH4HCO3，MgCl
2
·6H
2
O，AlCl
3
·6H
2
O
硝酸盐的热稳定性：Mg（NO
3
）
2
，Cu（NO
3
）
2
，AgNO
3
KMnO
4
。FeSO
4
NH
4
I，NH
4
HS(分解的典型特征是生成两种单质。
H
2
O
2
也有稳 定性，当浓度低时，主要和催化剂有关系。温度高时
受热也会使它分解。

含有电解熔 融的Al
2
O
3
来制备金属铝、电解熔融的NaCl来制备金属钠。
2.两种物质的加热反应：
C：固体和固体反应：SiO
2
和CaO反应 ；固体和气体C和CO
2
A＋B
C＋D：固体和固体反应的：Al和不活泼的金属氧化 物反应。
SiO
2
和C的反应（但是生成气体）SiO
2
和碳酸钙以 及碳酸钠的反应。
C还原金属氧化物。
固体和液体反应：C和水蒸气的反应：Fe和水蒸气的反 应。
气体和液体：CO和水蒸气。
C＋D＋E：浓烟酸和MnO
2
反应制备氯 气：浓硫酸和C，Cu，Fe的反应，
浓硝酸和C的反应。实验室制备氨气。

六、常见的重要氧化剂、还原剂
氧化剂
活泼非金属单质：X
2
、O
2
、S

还原剂
活泼金属单质：Na、Mg、Al、Zn、Fe
某些非金属单质： C、H
2
、S

高价金属离子：Fe
3+
、Sn
4+
不活泼金属离子：Cu
2+
、Ag
+
［Ag(N H
3
)
2
］
+
、新制Cu(OH)
2


低价金属离子：Fe
2+
、Sn
2+

非金属的阴离子及其化合物：
2-
S、H
2
S、I
-< br>、HI、NH
3
、Cl
-
、HCl、Br
-
、HBr
含氧化合物：NO
2
、N
2
O
5
、MnO
2
、Na
2
O
2
、低价含氧化合物：CO、SO
2
、H
2
SO
3
、Na
2
SO
3
、Na2
S
2
O
3
、NaNO
2
、
H2
O
2
HClO、HNO
3
、浓H
2
SO4
、NaClO、H
2
C
2
O
4
、含-CHO 的有机物：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸某酯、
Ca(ClO)
2
、KClO
3< br>、KMnO
4
、王水 葡萄糖、麦芽糖等
既作氧化剂又作还原剂的有：
S、SO
3
、HSO
3
、H
2
SO
3
、 SO
2
、NO
2
、Fe及含-CHO
2---2+

七、反应条件对氧化－还原反应的影响．
1．浓度：可能导致反应能否进行或产物不同 < br>8HNO
3
(稀)＋3Cu==2NO↑＋2Cu(NO
3
)
2
＋4H
2
O S+6HNO
3
(浓)===H
2< br>SO
4
+6NO
2
↑+2H
2
O
4HNO
3
(浓)＋Cu==2NO
2
↑＋Cu(NO
3
)
2
＋2H
2
O 3S+4 HNO
3
(稀)===3SO
2
+4NO↑+2H
2
O
2．温度：可能导致反应能否进行或产物不同

冷、稀
4

Cl
2
+2NaOH=====NaCl+NaClO+H
2
O

高温
3Cl
2
+6NaOH=====5NaCl+NaClO
3
+3H
2
O

3．溶液酸碱性.
2S
2-
＋SO
3
2-
＋6H+＝3S↓＋3H
2
O
5Cl
-
＋ClO
3
-
＋6H
+
＝3Cl
2
↑ ＋3H
2
O
S
2-
、SO
3
2-
，Cl
-
、ClO
3
-
在酸性条件下均反应而在碱性条件下共存.
Fe
2+
与NO
3
-
共存,但当酸化后即可反应.3Fe
2+
＋NO
3
-
＋4H
+
＝3Fe
3+
＋ NO↑＋2H
2
O
一般含氧酸盐作氧化剂,在酸性条件下,氧化性比在中性 及碱性环境中强.故酸性KMnO
4
溶液氧化性较强.
4．条件不同，生成物则不同
点燃点燃
1、2P＋3Cl
2
===2PCl
3
(Cl2
不足) ； 2P＋5Cl
2
===2 PCl
5
(Cl
2
充足)
点燃点燃
2、2H
2< br>S＋3O
2
===2H
2
O＋2SO
2
(O
2
充足) ； 2H
2
S＋O
2
===2H
2
O＋ 2S(O
2
不充足)
缓慢氧化点燃
3、4Na＋O
2
=====2Na
2
O 2Na＋O
2
===Na
2
O
2

CO
2
适量
4、Ca(OH)
2
＋CO
2
====CaCO
3
↓＋H
2
O ； Ca(OH)
2
＋2CO
2
(过量)==Ca(HCO
3
)
2

点燃点燃
5、C＋O< br>2
===CO
2
(O
2
充足) ； 2 C＋O
2
===2CO (O
2
不充足)
6、8HNO
3
(稀)＋3Cu==2NO↑＋2Cu(NO
3
)
2
＋4H2
O 4HNO
3
(浓)＋Cu==2NO
2
↑＋Cu( NO
3
)
2
＋2H
2
O
7、AlCl
3
＋3NaOH==Al(OH)
3
↓＋3NaCl ； AlCl
3
＋4NaOH(过量)==NaAlO
2
＋2H
2
O
8、NaAlO
2
＋4HCl(过量)==NaCl＋ 2H
2
O＋AlCl
3
NaAlO
2
＋HCl ＋H
2
O==NaCl＋Al(OH)
3
↓
9、Fe＋6HNO< br>3
(热、浓)==Fe(NO
3
)
3
＋3NO
2↑＋3H
2
O Fe＋HNO
3
(冷、浓)→(钝化)
Fe 不足
10、Fe＋6HNO
3
(热、浓)====Fe(NO
3
)< br>3
＋3NO
2
↑＋3H
2
O
Fe过量
Fe＋4HNO
3
(热、浓)====Fe(NO
3
)
2
＋ 2NO
2
↑＋2H
2
O
Fe不足Fe过量
11、Fe＋4 HNO
3
(稀)====Fe(NO
3
)
3
＋NO↑＋2H
2
O 3Fe＋8HNO
3
(稀) ====3Fe(NO
3
)
3
＋2NO↑＋4H
2
O
H
2
SO
4

12、C
2
H
5
OH
浓

H

2
SO

4


CH
2
=CH
2
↑＋H
2
O C
2
H
5
－OH＋HO－C
2
H
5

浓

C
2
H
5
－O－C
2< br>H
5
＋H
2
O
170℃

140℃

Fe
Cl
13、 ＋ Cl
2
→ ＋ HCl

Cl
Cl
光
＋3Cl
2
→
Cl

Cl
（六氯环已烷）


Cl Cl
H
2< br>O醇
14、C
2
H
5
Cl＋NaOH
→ C
2
H
5
OH＋NaCl C
2
H
5< br>Cl＋NaOH
→CH
2
＝CH
2
↑＋NaCl＋H
2
O
15、6FeBr
2
＋3Cl
2
（不足）==4Fe Br
3
＋2FeCl
3
2FeBr
2
＋3Cl2
（过量）==2Br
2
＋2FeCl
3

八、离子共存问题
离子在溶液中能否大量共存，涉及到离子的性质及溶液酸碱性等综合知 识。凡能使溶液中因反应
发生使有关离子浓度显著改变的均不能大量共存。如生成难溶、难电离、气体物 质或能转变成其它种
类的离子（包括氧化一还原反应）.
一般可从以下几方面考虑
1．弱碱阳离子只存在于酸性较强的溶液中.如Fe
3+
、Al
3+
、Zn
2+
、Cu
2+
、NH
4
+
、Ag
+
等均与OH
-
不能
大量共存.
2．弱酸阴离子只存在 于碱性溶液中。如CH
3
COO
-
、F
-
、CO
3
2-
、SO
3
2-
、S
2-
、PO
43-
、 AlO
2
-
均与H
+

不能大量共存.
3．弱酸的酸式阴离子在酸性较强或碱性较强的溶液中均不能大量共存.它们 遇强酸（H
+
）会生成弱
酸分子；遇强碱（OH
-
）生成正盐和水. 如：HSO
3
-
、H CO
3
-
、HS
-
、H
2
PO
4
-
、HPO
4
2-
等
4．若阴、阳离子能相互结合生成难溶或微溶 性的盐，则不能大量共存.如：Ba
2+
、Ca
2+
与CO
3
2-
、
SO
3
2-
、 PO
4
3-
、SO
4
2-
等；Ag
+
与Cl
-
、Br
-
、I
-
等；Ca
2+
与F
-
，C
2
O
4
2-
等
5．若阴、阳离子发生双水解反应，则不能大量共存 .如：Al
3+
与HCO
3
-
、CO
3
2-
、HS
-
、S
2-
、AlO
2
-
、ClO
-
、
SiO
3
2-
等Fe
3+
与HCO
3
-
、CO
3
2-
、AlO
2
-
、ClO
-
、SiO
3
2-
、C
6
H
5< br>O
-
等；NH
4
+
与AlO
2
-
、 SiO
3
2-
、ClO
-
、CO
3
2-
等
6．若阴、阳离子能发生氧化一还原反应则不能大量共存.如：Fe
3+
与I
-
、S
2-
；MnO
4
-
（H
+
）与I< br>-
、Br
-
、
-2-2-2+-+2-2-+
Cl、S、 SO
3
、Fe等；NO
3
（H）与上述阴离子；S、SO
3
、H
7．因络合反应或其它反应而不能大量共存
如：Fe
3+
与F
-
、CN
-
、SCN
-
等； H
2
P O
4
-
与PO
4
3-
会生成HPO
4
2-
，故两者不共存.
九、离子方程式判断常见错误及原因分析
1．离子方程式书写的基本规律要求：（写、拆、删、查四个步骤来写）
（1）合事实：离子反应要符合客观事实，不可臆造产物及反应。
（2）式正确：化学式与离子符号使用正确合理。
（3）号实际：“=”“”“→”“↑”“↓”等符号符合实际。
（4）两守恒：两边原子数 、电荷数必须守恒（氧化还原反应离子方程式中氧化剂得电子总数与还原
剂失电子总数要相等）。
（5）明类型：分清类型，注意少量、过量等。
（6）细检查：结合书写离子方程式过程中易出现的错误，细心检查。
例如：(1)违背反应客观事实
如：Fe
2
O
3
与氢碘酸：Fe
2
O
3
＋6H
+
＝2 Fe
3+< br>＋3H
2
O错因：忽视了Fe
3+
与I
-
发生氧化一 还原反应
(2)违反质量守恒或电荷守恒定律及电子得失平衡
如：FeCl
2
溶液中通Cl
2
：Fe
2+
＋Cl
2
＝Fe
3+
＋2Cl
-
错因：电子得失不相等，离子电荷不守恒
(3)混淆化学式（分子式）和离子书写形式
如：NaOH溶液中通入HI：OH
-
＋HI＝H
2
O＋I< br>-
错因：HI误认为弱酸.
(4)反应条件或环境不分：
如：次氯酸钠 中加浓HCl：ClO
-
＋H
+
＋Cl
-
＝OH
-
＋Cl
2
↑错因：强酸制得强碱

(5)忽视一种物质中阴、阳离子配比.
如：H
2
SO
4
溶液加入Ba(OH)
2
溶液:Ba2+
＋OH
-
＋H
+
＋SO
4
2-
＝ BaSO
4
↓＋H
2
O
正确：Ba
2+< br>＋2OH
-
＋2H
+
＋SO
4
2-
＝BaS O
4
↓＋2H
2
O
(6)“＝”“ ? ”“↑”“↓”符号运用不当
如：Al
3+
＋3H
2
O＝A l(OH)
3
↓＋3H
+
注意：盐的水解一般是可逆的，Al(OH)
3
量少，故不能打“↓”
2.判断离子共存时，审题一定要注意题中给出的附加条件。
＋-
错误！未 找到引用源。酸性溶液（H）、碱性溶液（OH）、能在加入铝粉后放出可燃气体的溶液、由
＋-
水电离出的H或OH=
-a
1×10molL(a>7或a<7)的溶液等。
-3+2+2+2+--
错误！未找到引用源。有色离子MnO
4
,Fe,F e,Cu,Fe(SCN)。 错误！未找到引用源。MnO
4
,NO
3
等
在酸性条件下具有强氧化性。
2-2-+
错误！未找到引用源。S
2
O
3
在酸性条件下发生氧化还原反应：S
2
O
3
+2H= S↓+SO
2
↑+H
2
O
错误！未找到引用源。注意题目要求“一 定大量共存”还是“可能大量共存”；“不能大量共存”还
．．．．
是“一定不能大量共存”。
．．
错误！未找到引用源。看是否符合题设条件和要求，如“过量”、“少量”、“适 量”、“等物质的
量”、“任意量”以及滴加试剂的先后顺序对反应的影响等。
十、中学化学实验操作中的七原则
1．“从下往上”原则。2．“从左到右”原则。3．先“ 塞”后“定”原则。4．“固体先放”原则，“液
体后加”原则。5．先验气密性(装入药口前进行)原 则。6．后点酒精灯(所有装置装完后再点酒精灯)原则。
7．连接导管通气是长进短出原则。
十一、特殊试剂的存放和取用10例
、K：隔绝空气；防氧化，保存在煤油中(或 液态烷烃中)，(Li用石蜡密封保存)。用镊子取，玻片
上切，滤纸吸煤油，剩余部分随即放人煤油中 。
2.白磷：保存在水中，防氧化，放冷暗处。镊子取，立即放入水中用长柄小刀切取，滤纸吸干水分。
3.液Br
2
：有毒易挥发，盛于磨口的细口瓶中，并用水封。瓶盖严密。
4.I
2
：易升华，且具有强烈刺激性气味，应保存在用蜡封好的瓶中，放置低温处。
5.浓HNO
3
，AgNO
3
：见光易分解，应保存在棕色 瓶中，放在低温避光处。
6.固体烧碱：易潮解，应用易于密封的干燥大口瓶保存。瓶口用橡胶塞塞严或用塑料盖盖紧。

3
·H
2
O：易挥发，应密封放低温处。
8.C
6
H
6
、
、C
6
H
5
—C H
3
、CH
3
CH
2
OH、CH
3
CH< br>2
OCH
2
CH
3
：易挥发、易燃，密封存放低温处，并远离 火
源。

2+
盐溶液、H
2
SO
3及其盐溶液、氢硫酸及其盐溶液：因易被空气氧化，不宜长期放置，应现用现配。
10.卤水、石灰水、银氨溶液、Cu(OH)
2
悬浊液等，都要随配随用，不能长时间放置。
十二、中学化学中与“0”有关的实验问题4例及小数点问题
1.滴定管最上面的刻度是0。小数点为两位 2.量筒最下面的刻度是0。小数点为一位
3.温度计中间刻度是0。小数点为一位 4.托盘天平的标尺中央数值是0。小数点为一位
十三、能够做喷泉实验的气体
1、NH
3
、HCl、HBr、HI等极易溶于水的气体均可做喷泉实验。
2、CO
2
、Cl
2
、SO
2
与氢氧化钠溶液； 3、C
2
H
2
、C
2
H
2
与溴水反应
十四、比较金属性强弱的依据
金属性：金属气态原子失去电子能力的性质；
金属活动性：水溶液中，金属原子失去电子能力的性质。
注：金属性与金属活动性并非同一概念，两者有时表现为不一致，