高中数学知识归纳典型试题

数学必修4知识归纳

一、任意角（逆时针旋转
?
正角，顺时针旋转
?
负角）
1 、与
?
终边相同的角的集合：
{
?
（1）
|
??
?
?2k
?
,k?Z}

2、弧度制
o
?
?
l
r
，
l?
?
?r

（2）
180?
?

rad

?
1
o
?
()

rad

180

180
o
)
?57.3
o
1
rad
?
(
?
（3）扇形面积
S
11
?
lr?
?
r
2

22
二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号
三、同角三角函数的基本关系式：
1、sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
tan
?
?
sin
?
cos
?
；
tan
?
?cot
?
?1

2、特殊角的三角函数值：
四、诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）
五、三角恒等变换 思想方法：①切化弦、平方降幂的思想； ②化为同角、同名的思想；
③拆角的思想：如
?
?(
?
?
?
)?< br>?
?
?
?(
?
?
?
)
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?)
等
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：
令
?
?
?
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?

sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
???< br>令
?
?
?
?
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
msin
?sin
?
???
cos2
?
?2cos
2
?< br>?1

?
降幂公式：
cos
2
?
?
1+cos2
?
2
，
cos2
?
?1?2sin
2
?

sin
2
?
?
1?cos2
?
2

tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
令
?
?
?
????
tan2
?
?
2tan
?
　

　
1
m
tan
?
tan
?
1?tan
2
?
2、辅助角公式（合一 思想）：关键是“提斜边”
asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
（
?
是辅助角，
a
2
?b
2
3、正余弦“三兄妹”：
是斜边）
sinx?cosx
、
sinx?cosx
、
sinxcosx
—— 知一求二
2
内在联系：
(sinx?cosx)
六、三角函数的图象与性质
?1?2sinxcosx?1?sin2x

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较（见书）
1、会用“五点法”画出函数< br>y?Asin(
?
x?
?
)?B
的图象：步骤：设
X ?
?
x?
?
，令
X
＝
0,
?
2< br>,
?
,
x
值及对应的
y
值
?
描点作 图 试一试：请用“五点法”画出函数
y?2sin(2x?)
在一个周期内闭区间的图象
6
2x?
列表：

3
?
,2
?
?
求相应的
2
?
?
6

0

?
12
0

x

?

2
?
3
2

?

7
?

12
0
3
?

2
5
?

6
－2
2
?


13
?

12
0
y

2、函数
y?Asin(?
x?
?
)?B
的图象变换（伸缩变换与平移变换）
特别注意 ：
y?sin
?
x
?
y?sin
?
?
x?
?
?
，应向左或向右平移
|
?
|
个单位长度 ?
试一试：函数
3、函数
1
?
y?3sin(x?)?2
的图象可以由
y?sinx
的图象经过怎样的变换得到？
26
y?Asin(
?
x?
?
)
表达式的确定：
几个物理量：
步骤：
A
——振幅
T?
2
?
?
——周期
f?
1
T
——频率
?
——初相
?
x?
?
——相位
A
由最值确定
?

?
由周期确定
?

?
由图象上的特殊点确定，
七、解三角形：
1、内角和定理：
A ?B?C
2、正弦定理：
?
?
,
A?B?
?
?C< br>，
sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC
，< br>sin
A?BC
?cos
22

abc
???2R< br>（
R
为△
ABC
外接圆的半径).
sinAsinBsinC
a
注意：① 正弦定理的一些变式：
a?b?c? sinA?sinB?sinC
；
sinA?
2R
，
sinB?b
2R
，
sinC?
c
；
2R
a?2Rsi nA
，
b?2RsinB
，
c?2RsinC

② 解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
3、余弦定理 4、面积公式：
S
八、平面向量
1、平面向量的概念
（1）定义（2）零向量（3）单位向量（4）平行向量（共线向量）
2、平面向量的线性运算
（1）向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则
（2）向量的模性质： ≤
|a?b|
≤
|a|?|b|

　|a|?|b|　
?< br>1
ah
a
?
1
absinC?
1
r(a?b ?c)
（其中
r
为三角形内切圆半径）.
222
（3）向量共线定 理：向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
，使得
b
3、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义 (投影.) （注意：用几何法计算
（2）夹角
?
与数量积
a?b
之间的关系
（3）数量积的三个运算律：
① 交换律
a?b
③ 分配律
(a
?
?
a

a
和
b
的夹 角时，必须先判断
a
与
b
是否共起点）
?b?a
；② 对 实数的结合律：
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?< br>b)

?b)?c?a?c?b?c
由此可得：
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b
2
，
(a?b)?(a?b)?a< br>2
?b
2

?a?(b?c)
注意：结合律是对实数 的结合，对向量一般是不成立的，即
(a?b)?c
4、平面向量的坐标运算
uuu ruuuruuur
PC?xPA?yPB
（1）平面向量基本定理【定理2】：平面上四点< br>P、A
，
x?y?1?A、B、C
三点共线
、B、C
满足< /p>

uuur
（2）任意两点组成的向量
AB?
(x
2?x
1
,y
2
?y
1
)

（3）向量 的加法、减法、数乘运算：
a
向量的数量积运算：
a?b?
（4）平行向量：
?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
；
?
a?(
?
x
1
,
?
y< br>2
)

x
1
x
2
?y
1
y
2
?a?b
cos
?

a
∥
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
b?
?
a

?b
?
x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?0
?
a?b?0

?
（5）垂直向量：
a
（6）向量的夹角：
cos
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y< br>2
1
2
1
2
2
2
2
?
a? b
a?b

（7）向量的模：
x
1
2
?y
1
2
?
a
2
；
a
2
?a?a?a

uuur
22
两点间距离：
d?AB?AB?
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
a?
2
（8）
AB
的中点坐标：
(
x?x?xy?y
2?y
3
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
；
?ABC
的重心坐标：
(
123
,
1
)
．
2233
a
xy
（9）单位向量：与向量
a
同向的单位向量
a
0
??
(
2
1
2< br>,
2
1
2
)
a
x
1
?y
1
x
1
?y
1

第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
⑶
sin< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?si n
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷< br>sin
?
?
?
?
?
?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??< br>1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
）．
1?tan
?
tan
?
万能公式:
α α
2tan1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?
αα
1?tan
2
1?tan
2
22
⑸
t an
⑹
tan
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式
26、
半角公式:


α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??
2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
21?cosα1?cosαsinα
27、合一变形
?
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y?Asin(
?
x?
?
)?B
形式。
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
28 、常用的数学思想方法技巧如下：
?
．
?
（1）角的变换：在三角化简， 求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关
系， 运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
?
①
2< br>?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
2
?
的二倍；
2
?
是4
30
o
的二倍； ②
15?45?30?60?45?
2
ooooo
；

③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④
?
4
?
?
?
?
2
?(
?
4
?
?
)
；⑤
2
?
?(
?
?
?)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函数名称变换 ：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1” 的代换变形有：

1?sin
2
?
?cos
2< br>?
?tan
?
cot
?
?sin90
o
?t an45
o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式 ，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式
有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式
常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：
1?cos
?
常用升幂化为有理式，
1?tan
?
< br>?_______________
；
1?tan
?
；
1?t an
?
?______________
1?tan
?
；
t an
?
?tan
?
?____________
；
；
1?tan
?
tan
?
?___________
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?
?___________
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
；
tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan4 0
o
?
；
（其中
tan
?
?
；）
asin
?
?bcos
?
?
= ；
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如：
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
tan
?
?cot
?
?
。
高中数学必修四三角函数检测题
1．下列不等式中，正确的是（ ）
A．tan
2. 函数
A．
[?
C．
[?
3.函数
7
?
2
?
13
?
13
?
?? B．sin
?cos(?)
C．sin(π－1)o
D．cos
?cos(?)

?tan
55
4557
y?sin(?2x?)
的单调递减区间是（ ）
6
6
?2k
?
,
?
??
3
? 2k
?
](k?Z)
B．
[
?
6
?2k
?
,
5
?
?2k
?
](k?Z)

6?
6
?k
?
,
?
3
?k
?
] (k?Z)
D．
[
?
6
?k
?
,
5
?
?k
?
](k?Z)

6
C.
y?|tanx|
的周期和对称轴分别为（ ）
k
?
?
A.
?
,x?(k?Z)
B.
,x?k
?
(k?Z)
2
2

4.要得到函数
?
,x?k
?
(k?Z)
D.
?
2
,x?
k
?
(k?Z)

2
y?sin2x
的图象，可由函数
y?cos(2x?
?
)
（ ）
4
A. 向左平移
???
?
个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
8844

5．三角形ABC中角C为钝角，则有 （ ）
>cosB B. sinA?
?
15
?
的值等于（ ）
cosx(??x?0 )
，则
?
6．设的函数，若
f(x)?
f(?)
2
?
4
?
?
sinx(0?x?
?
)
2
A.
1
B.
2
C.0 D.
?
2
2

y
2
3
?
f (x)
是定义域为R，最小正周期为
2

7.函数
y?f(x)
的图象如图所示，则
y?f(x)
的解析式为（ ）
A.
y?sin2x?2
B.
y?2cos3x?1

C.


y?sin(2x?
?
5
)?1
D.
y?1?sin(2x?
?
5
)

8．已知函数
是（ ）
f(x)?asinx?bcosx
（
a
、
b
为常数，
a?0
，
x?R
）在
x?< br>?
4
处取得最小值，则函数
y?f(
3
?
?x)4
A．偶函数且它的图象关于点
(
?
,0)
对称 B．偶函数且它的图象关于点
(
C．奇函数且它的图象关于点
(

3
?
,0)
对称
2
3
?
,0)
对称
2
D．奇函数且它的图象关于点
(
?
,0)
对称
f(x)?sinx?3cosx,x?[?
?
,0]
的单调递增区间是（ ）
5
?
5
??
??
A．
[?
?
,?]
B．
[?,?]
C．
[?,0]
D．
[?,0]

66636
?
??
?
??
cosx?
10. 已知函数
y?sin
?
x?
???
，则下列判断正确的是（ ）
1212
????
?
?
?
,0
?
A ．此函数的最小周期为
2
?
，其图像的一个对称中心是
?
?
12
?
?
?
?
,0
?
B．此函数的最小周期为< br>?
，其图像的一个对称中心是
?
?
12
?
?
?
?
C．此函数的最小周期为
2
?
，其图像的一个对称中心是
?
,0
?

?
6
?
?
?
?D．此函数的最小周期为
?
，其图像的一个对称中心是
?
,0
?

?
6
?
9．函数
11. 若
cos2
?
sin(
?
?
?
4
??
)
2
2< br>，则
cos
?
?sin
?
的值为（
1

2
）
Ａ．
?
17.已知函数
7
2
1

2
x
?
f(x)?3sin(?)?3
26

Ｂ．
?
Ｃ． Ｄ．
7
2

（1）用五点法画出它在一个周 期内的闭区间上的图象；（2）指出
（3）说明此函数图象可由









f(x)
的周期、振幅、初相、对称轴；
y?sinx在[0,2
?
]
上的图象经怎样的变换得到.
18．已知函数
1?2cos(2x?)
4
.
f(x)?
sin(x?
?
?
2
)
3
，求
f(
?< br>)
的值.
5
（1）求

（2）若角
?
在 第一象限且
cos
?
?
f(x)
的定义域；

19．设函数
为








20．（本小题14分）已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）设
0?



















参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题；每小题5分，共60分。）

题 号
答 案
1
B
2
A
3
D
4
C
5
B
6
B
7
D
8
D
9
D
10
B
11
C
12
A
f(x)?3cos
2
?
x?si n
?
xcos
?
x?a
(其中
?
＞
0,
a?R
),且
f(x)
的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标
?< br>?
?
5
?
?
.（1）求
?
的值； （2） 如果
f(x)
在区间
?,
上的最小值为
3
，求a的值. < br>??
6
?
36
?
f(x)?Asin(
?
x ?
?
)(A?0,
??
?0,|
?
|?
?
2
)
在一个周期内的图象 下图所示。
x?
?
，且方程
f (x)?m
有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和。
y
2
1


O
11
?
x
12
-2
5由角C为钝角，得∠A+∠B<90°，知0°<∠B<90°-∠ A<90°得sinA=cos(90°-A)11、os2asin(a-π4)=-√22
√2(cosa- sina)(cosa+sina)(sina-cosa)=-√22
cosa+sina=12

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）(2)周期T＝
4
?
，振幅A＝3，初相
?
由
?
?
6
，
x
??
??k
?
?
262
，得
x?2k
?
?
2
?
(k?Z )
即为对称轴；
3
（3）①由
②由
y?sinx
的图象上 各点向左平移
?
?
?
6
个长度单位，得
y?sin(x?< br>?
6
)
的图象；
x
?
，得
y?sin(?)
的图象；
)
的图象上 各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
26
6
x
?
x
?
③由
y?sin(?)
的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）， 得
y?3sin(?)
的图象；
26
26
x
?
x
?
④由
y?3sin(?)
的图象上各点向上平移3个长度单位，得
y?3sin(?)
＋3的图象。
2626
2
18．解：（1）
f (x)?3cos
?
x?sin
?
xcos
?
x?a

y?sin(x?
?
＝
∵
?
3
313
?a
，
cos2
?
x?sin2
?
x??a
＝< br>sin(2
?
x?)?
32
222
f(x)
的图象在 y轴右侧的第一个高点的横坐标为
?
，
6
1
；
2
632
?
3
?
?
7
?
??
?
5
?
?
?a
，
?x?
?
?,
?
，< br>?x??
?
0,
（2）由（1）的
f(x)?sin(x?)?
，
?
32
3
?
6
?
?
36
?
?2
?
???
，
?
?
???
?
∴ 当
x?
?
3
?
7
?
6
时，
sin (x?
?
3
)
取最小值
?
3?1

213
1
?
?
5
?
?
?a
， ，∴f(x)
在区间
?,
的最小值为
??
??
22
2
36
??
??


13
??a?3
，< br>?a?
22
19．解：（1）由
sin(x?
;故
?
2
)?0
，得
的定
cosx?0
义域
，
为
?x?k
?
?
?
2
(k?Z)
2
,k?Z}

f(x)
{x|x?k
?
?
?
y
2
1

O
?

5
?

2
?

?
x
-2
61 2
3
（2）由已知条件得
sin
?
从而
34
?1? cos
2
?
?1?()
2
?
；
55
??
?
1?2cos(2
?
?)
1?2(cos2
?
c os?sin2
?
sin)
44

4
＝
f(
?
)?
?
cos
?
sin(
?
?)
2< br>1?cos2
?
?sin2
?
2cos
2
?
?2sin
?
cos
?
14
?
＝＝
2(cos?
?sin
?
)
＝
cos
?
cos
?
5
f(0)?1
，
?sin
?
?
.
20． 解：（1）显然A＝2， 又图 象过（0，1）点，
?
由图象结合“五点法”可知，
(
1
??
，
?|
?
|?,?
?
?
2
26
； 11
?
,0)
对应函数
y?sinx
图象的点(
2?
,0
),
12
?
?
?
11
??< br>??2
?
126
,得
?
?
?2
. 所以所求的函数的解析式为：
f(x)?2sin(2x?)
.
6

< br>（2）如图所示，在同一坐标系中画出
由图可知，当
?2?
y?2sin(2x ?
?
6
)
和
y?m
(
m?R
)的图象，
m?1或1?m?2
时，直线
y?m
与曲线有两个不同的交点，即原方程有两 个不同的实数根。
?
m
m?1或1?m?2
； 当
?2?m?1
时，两根和为的取值范围为：
?2?

?
2
?
；当
1?m?2
时，两根和为
63
.