高中数学人教版必修二题库-高中数学教程ppt课件
常见三角函数值
sin30°=12
cos30°=√32
tan30°=√33
cot30°=√3
sin15°=(√6-√2)4
sin45°=√22
cos45°=√22
tan45°=1
cot45°=1
sin75°=(√6+√2)4
sin60°=√32
cos60°=12
tan60°=√3
cot60°=√33
cos15°=(√6+√2)4
cos75°=(√6-√2)4(这四个可根据
sin(45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出)
三角函数公式
一、任意角的三角函数
在角的终边上任取一点 P(x, y) ,记: r ?
x
2
? y
2
,
y
正切函数: tan?
x
r
余割函数: csc?
y
y
正弦函数: sin?
r
x
余切函数: cot?
y
x
余弦函数: cos?
r
r
正割函数: sec?
x
二、三角函数在各象限的符号
三、同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tan x ? cot x ? 1 。
商数关系:
tan x ?
cos x
sin x
平方关系: sin
2
x ? cos
2
x ? 1,1 ? tan
2
x ?
sec
2
x ,1 ? cot
2
x ? csc
2
x 。
四、诱导公式
公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
tanα
公式二:设
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=
cot(2kπ+α)=cotα ( 其 中 k∈Z)
为任意角,π+α 的三角函数的值与
cos(π+α)=-cosα
cot(π+α)=cotα
的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
tan(π+α)=tanα
公式三:任意角 α
与-α 的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
公式四:利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα
公式五:?与 α
的三角函数值之间的关系:
2
sin(?)=cosα cos(?)=sinα
2 2
tan(?)=cotα cot(?)=tanα
2 2
公式六:?与 α 的三角函数值之间的关系:
2
sin(?)=cosα
cos(?)=-sinα
2 2
tan(?)=-cotα cot(?)=-tanα
2 2
3
公式七:
?与 α 的三角函数值之间的关系:
2
33
sin( ?)=-cosα cos( ?)=-sinα
2 2
33
tan( ?)=cotα cot( ?)=tanα
2 2
3
公式八:
?与 α 的三角函数值之间的关系:
2
33
sin( ?)=-cosα cos( ?)=sinα
2 2
33
tan( ?)=-cotα cot( ?)=-tanα
2 2
公式九:利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α
的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
⑴? 2k
(k ? Z ) 、?、?、?、2?的三角函数值,等于的同名
函数值,前面加上一个把看
成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变, 符号
看象限)
33
⑵?、?、
?、 ?
2 2 2 2
五、和角公式和差角公式
sin(? ) ?
sin? cos? cos? sin
cos(? ) ? cos? cos?
sin? sin
sin(? ) ? sin? cos? cos? sin
cos(? ) ? cos? cos? sin? sin
的三角函数值,等于的异名函数值,前
面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限)
tan? tan
tan(? ) ??
1 ? tan? tan
tan(? ) ??
tan? tan
1 ?
tan? tan
六、二倍角公式
sin 2?
2sincos
cos 2? cos
2
? sin
2
?
2cos
2
? 1 ? 1 ? 2sin
2
… (?)
tan 2??
2 tan
1 ? tan
2
七、辅助角公式
a sin x ? b cos x ?
a
2
? b
2
sin(x ?)
其中:角的终边所在的象限与点(a,b) 所在的象限相同,
sin? ,
cos
2 2
a ? b
b
??
a
a
2
? b
2
, tan
b
?
。
a
八、正弦定理
b c
a
? ?
? 2R (
R 为?ABC 外接圆半径)
sin A
sin B sin C
九、余弦定理
a
2
? b
2
? c
2
? 2bc ? cos A b
2
? a
2
? c
2
? 2ac ? cos B c
2
? a
2
? b
2
? 2ab ? cosC
十、三角形的面积公式
S
1
? ? 底?高
?ABC
2
S
1
1 1
? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角)
?ABC
2 2 2
十一、扇形弧长和面积公式
十二、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
y ? sin x
性
质
y ? cos x
y ? tan x
图
象
定
义
域
值
域
R
R
?
??
?
x x ? k? , k ? ?
?
2
? ??
R
?
?1,1
?
当
?
?1,1
?
当
x ? 2k
时,
x ? 2k?
最
值
max
y
2
y
max
?
1
;当
x ? 2k
? 1
;当
x ? 2k?
2
时,
y? ?1
.
min
时 ,
?
既无最大值也无最小值
时,
y
min
? ?1
.
周
期
性
奇
偶
性
单
调
性
2
2
奇函数 偶函数
奇函数
?
?
??
?
在
?
2k? , 2k?
?
2 2
上是增函数;
在
?
2k
数;
?, 2k
?
上是增函
??
在
?
k? , k?
?
2 2
???
?
上是增函数.
3
???
在
?
2k? , 2k?
?
2 2
?
?
上是减函数.
对
对称中心
?
k, 0
?
称
对称轴
x ? k?
性
在
?
2k
数.
,
2k?
?
上是减函
2
???
对称中心
?
k? , 0
?
2
???
对称轴
x ? k
?
k
??
对称中心
?
, 0
?
?
2
??
无对称轴
十三、三角函数的图象变换
函数
y ? ?sin
?
x ?
??
? ? 0,? 0
?
的图象:
(1)函数
y ? ?sin
?
x ??
0
?
的有关概念:
2
1
①振幅:
?
; ②周期:
? ?
; ③频率:
f ? ?
; ④相位:
x ?
; ⑤ 初
?
2
相:
??
? ? 0,
.
(2)
振幅变换
①y=Asinx,x R(A>0 且A
1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)
或缩短(0
②它的值域[-A, A]
最大值是 A, 最小值是-A
③若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象
,再以 x 轴为对称轴翻折
A
称为振幅,这一变换称为振幅变换
(3)
周期变换
①函数 y=sinωx, x R (ω>0 且ω
1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短
(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
倍(纵坐标不变)
②若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图
1
ω
决定了函数的周期,这一变换称为周期变换
(4)
相位变换
一般地,函数
y
=sin(
x
+
),
x
∈R(其中≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向
|个单位长度而得到 (用平移法注意讲清 左(当>0 时)或向右(当<0
时=平行移动|
方向:“加左”“减右”)
y
=sin(
x
+
)与
y
=sin
x
的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换
称为相位变换