新高中数学竞赛培训教案

预备↓↓
初中知识衔接
平面几何基础 函数基础 整式分式整理基础 暴力计算能力 观察能力
类比归纳能力 举一反三能力 数形结合能力
图形的直观认识 一笔画水平 数列猜想分析能力
数学游戏（博弈之绝对胜利、数独、24点、幻方、分形几何、多米诺拼接）

高等数学（极限、函数、微积分、级数*（Abel定理）、向量、复数、XX中值定理）
数学分析（内容同于高数高于高数，再来一遍）
线性代数（行列式△、矩阵）（次要）
空间解析几何（向量（三个积）、向量的分解 空间方程概述）
初等数论（整除、同余、系 、几个定理、阶乘、方程（韦达定理）（费马大定理的推导普及、
不定方程）） 连分数 几个数论函数 勾股 pell 无穷递降法 拆分数
组合数学(第三版)
离散数学-屈婉玲（拓扑学（莫比乌斯））
图论
科学的历程（或费马大定理）数学史选讲
阿波罗尼斯著作

正式↓↓

不等式
木桶 糖水 均值 （幂平均、加权、加权幂平均、权方和） 排列 柯西 （霍尔德 切
比雪夫 兰顿 钟开莱）
Jensen schur schur分拆 嵌入 三角（内切圆） 对勾函数 Abel代换 局部 调
整 导数 二项式 配以偶式 几何法 无字证明 构造 SOS pqr 拉格朗
日配方法
作差 放缩 切线 轮换（对称） 比较 积分 数形结合 归纳



数列
基础 不动点 特征根 （斐波那契数列及其性质）
递推 归纳（大跨度） 递归 杂化



解析几何
直线---圆---多边形-----圆锥曲线 公式（长度、比例） 线性规划
线系（切线法线方程）△
坐标系（笛卡尔系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系、无限系）dandelin

立体几何
三视图 各种体（公式） 欧拉定理 归纳 缺角理论 正四面体性质 球面几何
向量法


平面几何
基础知识 圆幂定理 三角形五心 对称 放射 旋转 位似 面积法 几何变换
蝴蝶 张角 清宫 鸡爪、鸭爪 梅涅劳斯、塞瓦 托勒密定理 帕斯卡 笛沙格 牛顿定理
帕普斯定理 氵尺山定理
婆罗摩笈多定理 费尔巴哈定理 不怜香定理 德萨格定理 托式定理 拿破仑定理
Simon线 欧拉线 斯台沃特定理 费马点 布洛卡角 角平分线定理 陪位中线
等角线 共轭点 圆系（genzhou、yuanmi） 共线共面共点 调和点列（调和四边形）
反演、仿射 向量法（复数法、解析法）


集合论
集 系（CRK） 域 环 （伽罗瓦理论概论） 容斥原理 鸽巢定理 佛光定理 归纳法（第一、
第二、第三）
奇偶分析 反证 逻辑学（逻辑语言、二进制、K进制） 最小数原理 极端原理 排
序原理 加强命题
存在性问题



函数
二次函数 定义域值域 周期 对称变换



三角
诱导公式 （特殊值） 六边形 （二、三）和差 倍角（半、二、三、N） 积化和差和差
化积 辅助角 万能公式 倍半角规律
正弦定理 第一第二余弦定理 正切定理 切变换 Ravi变换
三角恒等式☆ 三角不等式☆ 复数三角式



向量、复数（数系）：
棣莫弗定理 数系的拓展 群论的普及



排列组合：
排列组合高考难题 母函数 组合恒等式 形式幂级数 贝叶斯公式

伯努利错件问题



多项式（差分）：
复杂的因式分解（因式余式定理） 韦达定理 爱森斯坦定理 朗格朗日插值公式
近似计算 拉格朗日恒等式卡当公式 差分二次



组合：
网络问题 皮克定理 ramsey数 有向图 着色 覆盖问题 树与圈
七桥问题（图论） 厄尔米特恒等式 高斯定理 圆盘 幻方问题 魔方问题
棋类问题 交通问题

几个科学家的理论专题
欧几里得 阿基米德 阿波罗尼斯 泰勒斯 海伦 达芬奇 托勒密
牛顿 莱布尼兹 笛卡尔 黑格尔 高斯 康托尔
费马 朗格朗日 欧拉 （拿破仑） 勒让德 单德林 韦达
埃米尔特 卡当 雅克比 庞加莱
刘徽 秦九韶 祖冲之 张衡 丘成桐
莫比乌斯