高中数学难度一下加大了-高中数学奥赛辅导教程
立身以立学为先,立学以读书为本
1-1 集合及其运算
一、知识点总结:
1.元素与集合的关系:用 或 表示;
2.集合中元素具有
、 、
3.集合的分类:
①按元素个数可分:
限集、 限集 ;②按元素特征分:数集,点集等
4.集合的表示法:
①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N={0,1,2,3,…};
②描述法
③字母表示法:常用数集的符号:自然数集N;正整数集
N
*或N
?
;整数集Z;有理数集Q、
实数集R;
5.集合与集合的关系:
6.熟记:①任何一个集合是它本身的子集;
②空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集;
那么A?C
③如果
A?B
,同时
B?A
,那么A = B;如果
A?B,
B?C,
.④n个元素的子集有2
n
个;n个元素的真子集有2
n
-1个;n个元素的非空真子
集有2
n
-2个.
7.集合的运算(用数学符号表示)
交集A∩B=
并集A∪B= ;
补集C
U
A=
,集合U表示全集.
8.集合运算中常用结论:
A?B?AB?A;
A?B?AB?B
§1-2
函数的概念及定义域
一、基础知识:
1.定义:设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中的
一
个数x,在集合B中
确定的数f(x)和它对应,那么就称
f:A?B
为集合A
到集合的一个
,记作:
2.函数的三要素 、 、
3.函数的表示法:解析法(函数的主要表示法),列表法,图象法;
4. 同一函数:
相同,值域 ,对应法则 .
5.定义域:自变量的取值范围
立身以立学为先,立学以读书为本
求法:(1)给定了函数解析式:使式子中各部分均有意义的x 的集合;
(2)
活生实际中,对自变量的特殊规定.
6.常见表达式有意义的规定:
①
分式分母有意义,即分母不能为0;
②
偶式分根的被开方数非负,
x
有意义集合是
{x|x?0}
③
0
无意义
④ 指数式、对数式的底a满足:
{a|a?0,a?1}
,对数的真数N满足:
{N|N?0}
0
§1-3 函数的表示与值域
一、基础知识:
1.函数的表示法: ,
,
2.函数的值域:{f(x)|x∈A}为值域。
3.求值域的常用的方法:
①配方法(二次或四次);②判别式法;③反解法;④换元法(代数换元法);⑤不等式法;⑥单调函数法.
4. 常用函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
①
函数
y?kx?b(k?0,x?R)
的值域为R;
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0,x?R)
当
a?0
时值域是
[
4ac?b
,??)
, 4a
2
当
a?0
时值域是
(
??,
4ac?b
];
2
4a
② 反比例函数
y?
k
(k?0,x
?0)
的值域为
{y|y?0}
;
x
③ 指数函数
y?
a
x
(a?0,且a?1,x?R)
的值域为
R
?
;
④ 对数函数
y?log
a
x
(a?0,且a?1,x?0)
的值域为R;
⑤
函数
y?sinx,y?cosx(x?R)
的值域为[-1,1];
?
⑥
函数
y?tanx,x?k
?
?
,
y?cot x
(x?k
?
,k?Z)
的值域为R;
2
§1-4 函数的单调性
一、知识点:
1.设函数
y?f(x)
的定义域为
A
,区间
I?A
如果对于区间
I内的任意两个值
x
1
,
x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就
立身以立学为先,立学以读书为本
说
y?f(x)
在区间
I
上是
,
I
称为
y?f(x)
的
如
果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
,
x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f
(x
2
)
,那么就
说
y?f(x)
在区间
I
上是 ,
I
称为
y?f(x)
的
2.对函数单调性的理解
(1)
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数
的定义域;
(2) 函数单调性定义中的
x
1
,
x
2
有三个
特征:一是任意性;二是大小,即
x
1
?x
2
;三
是同
属于一个单调区间,三者缺一不可;
(3)关于函数的单调性的证明,如果用定义证明
y?f
(x)
在某区间
I
上的单调性,那么就
要用严格的四个步骤,即①取值;②作
差;③判号;④下结论。但是要注意,不能用区
间
I
上的两个特殊值来代替。而要证明
y?f(x)
在某区间
I
上不是单调递增的,只要
举出反例就可以了
,即只要找到区间
I
上两个特殊的
x
1
,
x
2,若
x
1
?x
2
,有
f(x
1
)?f
(x
2
)
即可。
(4)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的
限制,如函数
y?
1
分别在
(??,0)
x
和
(0
,??)
内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即
(??,0)?(0,??)
内是单
调递减的,只能说函数
y?
1
的单调递减区间为
(??,0
)
和
(0,??)
x
(5)一些单调性的判断规则:①若
f(x)
与
g(x)
在定义域内都是增函数(减函数),那么
。②复合函数的
单调性规则是“异
f(x)?g(x)
在其公共定义域内是增函数(减函数)
减同增”
§1-5 函数的奇偶性
一、知识点:
1.
函数的奇偶性的定义:
① 对于函数
f(x)
的定义域内任
意一个
x
,都有
f(?x)??f(x)
〔或
f(?x)?f(x)
?0
〕,则称
f(x)
为 . 奇函数的图象关于 对称。
② 对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
,都有
f(
?x)?f(x)
〔或
f(?x)?f(x)?0
〕,则称
f(x)
为 . 偶函数的图象关于 对称。
立身以立学为先,立学以读书为本
③
通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域原点关于对
称(也就是说,函数
为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)
2..函数的奇偶性的判断:
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
断函数的奇偶性.
注意:
f(?x)
??1(f(x)?0)
,也可以利用函数图象的对称性去判
f(
x)
①若
f(x)?0
,则
f(x)
既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0)
,则
f(x)
是偶函数;
②若
f(x
)
是奇函数且在
x?0
处有定义,则
f(0)?0
③若在
函数
f(x)
的定义域内有
f(?m)?f(m)
,则可以断定
f(
x)
不是偶函数,同样,若
在函数
f(x)
的定义域内有
f(?m)
??f(m)
,则可以断定
f(x)
不是奇函数。
3.奇偶函数图象的对称性
(1) 若
y?f(a?x)
是偶函数,则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?
f(x)
的图象关于直线x?a
对称;
(2) 若
y?f(b?x)
是偶函数,则
f(
b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?
f(x)
的图象关于点
(b,0)
中心对称;
§1-6
指数式及运算性质
一、知识点:
1.⑴一般地,如果
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
.
⑵ 叫做根式,这里
n
叫做 ,
a
叫做
。
2. 当
n
为奇数时,
n
a
n
?
;当
n
为偶数时,
n
a
n
?
.
3. 我们规定:⑴
a
⑵
a
n
m
?
;其中( )
?
;其中(
)
?n
⑶0的正分数指数幂 ,0的负分数指数幂 .
4.
运算性质:⑴
aa?
( );
⑵
a
r
rs
??
s
?
(
);
⑶
?
ab
?
?
(
)。
r
二、基础篇:
立身以立学为先,立学以读书为本
§1-7 对数式及运算性质
一、知识点:
1.
a?N?
;
2.
a
x
log
a
N
?
;
3.
log
a
1?
,
log
a
a?
.
4.当
a?0,a?1,M?0,N?0
时:
⑴
log
a
?
MN
?
?
; ⑵
log
a
?
⑶
log
a
M
n
?
.
5.换底公式:
log
a
b?
.
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6.
log
a
b?
?
M
?
N
?
?
?
;
?
1
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
§1-8 指数函数及性质与简单幂函数
一、知识点:
1.函数 叫做指数函数。
2.指数函数的图象和性质
y?a
x
图
象
定
义
域
值
性
域
质
定
点
单
调
性
0 <
a
< 1
a
> 1
立身以立学为先,立学以读书为本
对
称
性
y?a
x
和
y?a
?x
关于
对称
3.几种幂函数的图象:
§1-9 对数函数及性质
一、知识点:
1.一般地,函数 叫做对数函数;
2.对数函数的图象和性质
y?log
a
x
图
象
定义
域
值域
0 <
a
< 1
a
> 1
过定点
在
R
上是 函数
同正异负:
当 或 时,log
a
x
>
0
当 或
时,log
a
x
< 0。
在
R
上是 函数
性
质
§1-10 函数的应用---根与零点及二分法
一、知识点:
立身以立学为先,立学以读书为本
1.方程
f
?
x
?
?0
有实根
?
?
2.零点定理:如果函数
y?f
?
x
?
在区间
上的图象是 的一条曲线,并且
有
,那么,函数
y?f
?
x
?
在区间
内有零点,即存在
c?
?
a,b
?
,使
得
,这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
3.二分法求函数
y?f
?
x
?
零点近似值的步骤:
⑴确定区间 ,验证 ,给定 。
⑵求
;
⑶计算 ;
①若 ,则
;
②若 ,则令 ;
③若 ,则令
。
⑷判断
高中数学 相关性-高中数学必修二易错题带答案
高中数学定义怎么讲-高中数学必修1和必修2是什么意思
高中数学必修3内容-高中数学迅雷
高中数学选修2-2解题技巧-王后雄高中数学必修一网盘
高中数学必修选修四杠四-2011年浙江省高中数学竞赛
高中数学必修三教案-高中数学密码
百题大过关高中数学基础题-高中数学必修二古典概型答题方法
高中数学教师资格证考试需要-高中数学对数题海
-
上一篇:高三辅导数学
下一篇:高三数学一对一辅导方案