高一数学必修一人教版知识点：第一章

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高一数学必修一人教版知识点：第一章
一、集合(jihe)有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每
一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个
对象或者是或者不是这个 给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的
对 象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合 是否
一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋
记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

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描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集
合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是{xR|x-3>2}
或{x|x-3>2}
4、集合的分类：
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含 任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集注意：有两种可 能(1)A是B的一部分，;(2)A
与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含 集合
A,记作AB或BA2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设
A={x |x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个 元素都是集合B
的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说
集合A等于 集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如 果AB,且AB那就说集合A是集合B的
真子集，记作AB(或BA )
③如果AB,BC,那么AC

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④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,
叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定义： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所
组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作 ”A并B”)，即
A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集：设S是一个集合，A 是S的一个子集(即)，由S中所有不属
于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)
记作：CSA即CSA={xxS且xA} (2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这
个集合就可以看作一个全集。 通常用U来表示。
(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

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二、函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的 数集，如果按照某个确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f( x)
和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：
y=f(x)，x ∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义
域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函 数值的集合{f(x)|x∈A}叫
做函数的值域.
注意：○2如果只给出解析式y=f(x )，而没有指明它的定义域，则函
数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;○3函数的定< br>义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合 称为函数的定义域，求函数的定义
域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶 次方
根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数
式的底必须大 于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四
则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各 部分都有意义的x的值
组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定
义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：(1)构成函数三个要素是定义域 、对应关系和值域.由于值域

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是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应
关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相< br>等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函
数值的字母无关。相同函数的 判断方法：①表达式相同;②定义域一
致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么
方法求函数的值域都应先 考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、
二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求 解复杂函数
值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中 ，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐
标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫 做函数y=f(x),(x∈A)
的图象.
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y= f(x)，反过来，以满足
y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记
为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线),也可能是由与任意平
行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法

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A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y的一些对应值并列
表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的
曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间 、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)
区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一 般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，
使对于集合A中的任意一个元素x ，在集合B中都有确定的元素y与
之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作
“f：AB”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，< br>那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

精心整理 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B
及对应法则f是确定的;②对 应法则有“方向性”，即强调从集合A
到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于 映
射f：A→B来说，则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B
中都有象，并且象是 的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应
的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元 素在集合A中都
有原象。
6.常用的函数表示法及各自的优点：
○1函数图象既可 以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点
等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;○2 解析法：必须注
明函数的定义域;○3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;
化简函 数的解析式;观察函数的特征;○4列表法：选取的自变量要有
代表性，应能反映定义域的特征.
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象
法：便于量出函数值
补充一：分段函数(参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函 数。在不同的范围里
求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能
写成几 个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大
括号括起来，并分别注明各部分的自变量的 取值情况.(1)分段函数是
一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段< /p>

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定义域的并集，值域是各段值域的并集.
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x ∈A)称
为f、g的复合函数。
例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义 域I内的某个区间D内的
任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自 变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么
就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f (x)的单调减区间.
注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数
的局部性质;
○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)
在这一区间上具有(严格 的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左
到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法

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(A)定义法：
○1任取x1，x2∈D，且x1
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x )]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性
密切相关，其规律如下：
函数单调性
u=g(x)增增减减
y=f(u)增减增减
y=f[g(x)]增减减增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单 调性相
同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行
的导数法判定单调 性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的 任意一个x，都有f(-x)=f(x)，
那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数

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一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x )=—f(x)，
那么f(x)就叫做奇函数.
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数 的奇偶性，函数的奇偶
性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是
偶函 数。
○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，
对于定义域内的任意 一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即
定义域关于原点对称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的 格式步骤：○1首先确定函数的定
义域，并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f( x)的关
系;○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是 偶
函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.
注 意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首
先看函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则函数是非奇非偶函
数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f( x)比较困难，
可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定;(3 )利
用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式

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(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的 函数
关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的 解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，
如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 ;已知复合函数
f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知
表 达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解
方程组消参的方法求出f(x)
10.函数(小)值(定义见课本p36页)
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的( 小)值○2利用图象求函
数的(小)值○3利用函数单调性的判断函数的(小)值：如果函数y=f(x )
在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)
在x=b处 有值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区
间[b，c]上单调递增则函 数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);