高中数学88个常用公式及结论总结

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:
x?A ?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
? ?A?A??

2 集合
{a
1
,a
2
,L,a< br>n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2?1
个；非 空子集有
2?1
个；非空的真子集
有
2?2
个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
2
(2) 顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;（当已知抛物线 的顶点坐标
(h,k)
时，设为此式）
n
nn
n
(3) 零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标为
(x
1
,0),(x
2
,0)
时，
设为此式）
（4）切线式：
f(x)?a(x?x< br>0
)
2
?(kx?d),(a?0)
。（当已知抛物线与直线
y?kx?d
相切且切点
的横坐标为
x
0
时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假
5 常见结论的否定形式;
原结论 反设词
是 不是
都是 不都是
大于 不大于
小于 不小于
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
?p
且
?q

p
且
q

?p
或
?q

6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、
p?q
，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、
p?q
，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p ≠> p ，且
q?p
，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x） 在x
?
D上有定义，若对任意的
x
1
,x
2
?D, 且x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)

成立，则就叫f（x）在x
?
D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。
1

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、 数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
x
1
, x
2
?D,且x
1
?x
2
，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是减函 数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数 单调
内层函数
外层函数
复合函数
等价关系：
单调性
↓
↓
↑
↑
↑
↑
↑
↓
↓
↓
↑
↓
(1)设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x< br>1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是 减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1< br>)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
) ?f(x
2
)
?
?0
?
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数 .
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0
，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有
相同
的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有
f(?x)?f(x)
，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有
相反
的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反 过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函数是偶函数．
9函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T
?< br>0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）
2

的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2
m?n
；
(3)、
f(x?m)??
10常见函数的图像：
y
y
y
y
1
，此时周期为2m 。
f(x)< br>k<0
o
k>0
x
o
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0 a>1
y=kx+b
a>0
2

y=ax+bx+c

o
1
a>1
x

11 对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)? f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
12 分数指数幂与根式的性质：
(1)
a
m
n
a?b
;两2
b?a
对称.
2
?
n
a
m
（< br>a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
m
n
（2）
a
?
?
1
m
n
?
1
n< br>a
n
（3）
(
n
a)?a
.
a
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）. ?
（4）当
n
为奇数时，
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
a?|a|?
?
n
n
n
?
a,a?0
.
?a,a?0
?
13 指数式与对数式的互化式:

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)< br>.
指数性质：
(1)1、
a
?p
?rs
1
0
mnmn
a?(a)

a?1
； （2）、（） ； (3)、
a?0
p
a
r?s
(4)、
a?a?a
指数函数：
(a?0,r,s?Q)
； (5)、
a?
n
a
m
；
m
n
x
(1)、
y?a(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
x
（2）、
y?a(0?a?1)
在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、
log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)
；（2）、
log
a
M?log
a
N?log
a
M
；
N
3

(3)、
log
a
b
m
?m?log
a
b
；(4)、
log
a
m
b
n
?
(6)、
log
a
a?1
； (7)、
a
对数函数：
log
a
b
n
?log
a
b
； (5)、
log
a
1?0

m
?b

(1)、
y?log
a
x(a?1)
在定义域内是单调递增函数；
（2）、
y?log
a
x(0?a?1)在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
log
a
x?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(4)、
log
a
x?0?a?(0,1)则x?(1,??)
或
a?(1,??)则x?(0,1)

14 对数的换底公式 :
log
a
N?
对数恒等式：
a
log
a
N
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
?N
(a?0
,且
a?1
,

N?0
).
推论 < br>log
a
m
b
n
?
n
log
ab
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
m
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
N
n
?log
a
N(n,m?R)
。
m
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
(3)
log
a
M
n
? nlog
a
M(n?R)
; (4)
log
a
m
16 平均增长率的问题（负增长时
p?0
）：
x
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x的总产值
y
，有
y?N(1?p)
.
17 等差数列：
通项公式： （1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
，其中
a
1
为首项，d为公差，n为项数，
a
n
为末项。
（2）推广：
a
n
?a
k
?(n?k)d
（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2) （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1）
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
；其中
a
1
为首项，n为项数，
a
n
为末项。
2
n(n?1)
（2）
S
n
?na
1
?d

2
（3）
S
n
?S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
（4）
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等差中项，则 有2
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成等 差。
4

（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
为等差数列。
（3）、
?
a
n
?
为等差数列，
S
n
为其前n项和，则
S
m,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
也 成等差数列。
（4）、
a
p
?q,a
q
?p,则a
p?q
?0
；
（5） 1+2+3+…+n=
等比数列：
通项公式：（1）
a
n
?a
1
q
n?1
n(n?1)

2
?
a
1
n
?q(n?N
*
)
，其中
a
1
为首项，n为项数，q为公比。
q
（2）推广：
a
n
?a
k
?q
n?k

（3）
an
?S
n
?S
n?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
前n项和：（1）
S
n
?S
n? 1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）
（2）
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）
?
na
1
?
（3）
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
(q?1)
(q?1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
注：若
a
m
是a
n
,a
p
的等比中项，则 有
a
m
?a
n
?a
p
?
n、m、p成等比。
（2）、若
?
a
n
?
、
?
b
n< br>?
为等比数列，则
?
a
n
?b
n
?
为等比数列。
2
ab(1?b)
n
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款
x?
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b).
(1?b)
n
?1
19三角不等式：
（1）若
x?(0,
(2) 若
x?
(0,
?
2< br>)
，则
sinx?x?tanx
.
)
，则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
20 同角三角函数的基本关系式 ：
sin
2
?
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
，
cos
?
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22 和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
5

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan
?
tan
?
b
).
a
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
23 二倍角公式及降幂公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
?
2
2tan
?
.
2
1?tan?
222
1?tan
2
?
cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?
.
1?tan
2
?
2tan
?
sin 2
?
1?cos2
?
.
tan2
?
?tan
?
??
2
1?tan
?
1?cos2
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
sin
2
?
?,cos
2
?
?
22
24 三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
2
???
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
.
|
?
||
?
|
2
三角函数的图像：
y< br>y=sinx
-π
1
y=cosx
π2
π
3π22π
y
1
-π2
-2π
-3π2
o
-1
x
-2π
-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π
3π2
2π
x
25 正弦定理 ：
abc
???2R
（R为
?ABC
外接圆的半径）.
s inAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b :c?sinA:sinB:sinC


26余弦定理：
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
27面积定理： < br>111
ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）. 222
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222
uuuruuur
2
uuuruuur
2
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|?|OB|)?(OA?OB)
.
2
a?b－c
斜边
2S
?

r
?内切圆< br>?,r
直角?内切圆
?
a?b?c2
（1）
S?
28 三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.
??
222
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
rr
(1) 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;
rrr
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;
6

r
r
r
r
(3)第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a
+λ
b
.
r
r
r
r
r
r
30
a
与
b
的数量积(或内积)：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
?< br>。
31平面向量的坐标运算：
r
rr
r
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=(x
2
,y
2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
r
rr
r
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y< br>2
)
，则
a
-
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
A B?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
.
rr
(4)设
a
=
(x,y),
??R
，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.
r
rr
r
(5)设
a
=
(x1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
, y
2
)
，则
a
·
b
=
(x
1x
2
?y
1
y
2
)
.
32 两向量的夹角公式：
r
r
a?b
cos
?
?
r< br>r
?
|a|?|b|
x
1
x
2
?y
1
y
2
22
x
1
2
?y
1
2?x
2
?y
2
r
r
(
a
=
( x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2,y
2
)
).
33 平面两点间的距离公式：
uuuruuuruuur

d
A,B
=
|AB|?AB? AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
rr
r
r
34 向量的平行与垂直 ：设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则：
r
r
r
r
a
||
b
?
b
=λ
a< br>
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.（交叉相乘差为零）
r
r
r
rr
r
a
?
b
(
a
?
0
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设
P
1
P2
的分点,
?
是实数，且
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)< br>，
P(x,y)
是线段
P
?
x
1
?
?
x
2
uuuruuur
x?
?
uuur
uuur uuur
OP
?
1?
?
1
?
?
OP
2
OP?
，则
PP?
?
PP
?
?
12
y?
?
y
1?
?
2
?
y?
1?
1?
?
?
uuuruuuruuur
1
（）. t?
?(1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
的重心的坐标是
G(
1
,)
.
33
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设
O
为
? ABC
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
， 则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
（1）O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuur uuuruuurr
（2）
O
为
?ABC
的重心
?OA?O B?OC?0
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuuruuuruuurr
（4）
O
为
?ABC
的内心< br>?aOA?bOB?cOC?0
.
uuuruuuruuur
（ 5）
O
为
?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB ?cOC
.
22
38常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
333
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）
a, b?R
?
?
（4）
a?b?a?b?a?b
.
7

2aba?ba
2
?b
2
（5）(当且仅 当a＝b时取“=”号)。
?ab??
a?b22
39极值定理:已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
（3）已知
a ,b,x,y?R
?
，若
ax?by?1
则有
1
2
s
.
4
1111byax
??(ax?by )(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2
。
xyxyxy
a b
?
（4）已知
a,b,x,y?R
，若
??1
则有 xy
abaybx
x?y?(x?y)(?)?a?b???a?b?2ab?(a?b)
2

xyxy
2
22
40 一元二次不等式
ax? bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
ax? bx?c
同号，则
其解集在两根之外；如果
a
与
ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异
号两根之间.即：
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
2
x?x
1
,或 x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
42 斜率公式 ：
k?
y
2
?y
1
（
P
1< br>(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
43 直线的五种方程：
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
两点式 的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵 截距，
a?0、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
r
r
直线
Ax?By?C?0
的法向量：
l
?
?(A,B)
，方向向量：< br>l?(B,?A)

（3）两点式
44 夹角公式：
k
2
?k
1
|
. (
l
1
:y? k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
AB?A
2
B
1
|
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
(2)
tan
?
?|
12< br>A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?|
直线
l
1
?l
2
时，直线 l
1
与l
2
的夹角是

?
.
2
8

45
l
1
到
l
2
的角公式：
k
2
? k
1
.(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
1?k
2
k
1
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y ?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1< br>B
2
?0
).
A
1
A
2
?B1
B
2
(1)
tan
?
?
直线
l1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
46 点到直线的距离 ：
d?
47 圆的四种方程：
222
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
?
.
2
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直 线
l
：
Ax?By?C?0
).
22
?
x?a?rcos
?
（3）圆的参数方程
?
.
y?b?rsin
?
?
（4）圆的直径式方程 (x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y< br>2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
222< br>48点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆< br>(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种：
若
d?(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
，则
d?r?点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
222
49直线与圆的位置关系： 直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
Aa?Bb?C
(
d?
):
22
A?B
d?r? 相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半 径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
，则：
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
内含内 切
r
2
-r
1
相交
外切
相离
r
1
+r
2
o
d
d
d
d
?
x?aco s
?
x
2
y
2
cb
2
51 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
. 离心率
e??1?
2
，
ab
y?bsin
?
aa
?
b
2
a
2
准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离( 焦准距)
p?
。
c
c
b
2
过焦点且垂直于长轴的 弦叫通经，其长度为：
2
g
.
a
x
2
y
2
52 椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
ab
a
2
a
2
?FPF
PF
1
?e(x?)?a?ex< br>，
PF
2
?e(?x)?a?ex
；
S
?F
1
PF
2
?c|y
P
|?b
2
tan
1< br>。
cc
2
53椭圆的的内外部:
9

< br>x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)< br>的外部
?
ab
54 椭圆的切线方程:
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
xxyy(1) 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
xxyy
（2） 过椭圆
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
（3 ）椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C? 0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
x
2
y< br>2
a
2
cb
2
55 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率
e??1?
2
，准线到中心的距离 为，焦点到对应
ab
c
aa
b
2
b
2
准线 的距离(焦准距)
p?
。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：
2
g< br>.
ca
a
2
a
2
焦半径公式
PF
1
?|e(x?)|?|a?ex|
，
PF
2
?|e(?x)|?| a?ex|
，
cc
?F
1
PF
两焦半径与焦距构成三角形 的面积
S
?F
1
PF
2
?b
2
cot。
2


56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
x2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方 程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2< br>y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐 近线，可设为
2
?
2
??

abab
（
? ?0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是
b
。
57双曲线的切线方程:
x
2
y
2
xxyy
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
xxyy
(2)过双曲线
2
?
2
?1
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
（ 3）双曲线
2
?
2
?1
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
2
58抛物线
y?2px
的焦半径公式:
p
2
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2??x
1
?x
2
?p
.
22
10

b
2
4ac?b
2
)?
(a?0)
的图象是抛物线： 59二次函数
y?ax?bx?c?a(x?
2a4a
b4ac? b
2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
； （1）顶点坐标为
(?
（2）焦点的坐标为
(?
2a4a2a4a
4 ac?b
2
?1
（3）准线方程是
y?
.
4a
2
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

或
AB?(1?k
2
)[(x
2
?x
1
)
2
?4x
2
?x
1
]?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?

?
y?kx?b
2
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
消去y得到
ax?bx?c?0
?
F(x,y)?0
??0
,
?
为直线
AB
的 倾斜角，
k
为直线的斜率，
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2.
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
64 向量的直角坐标运算：
r
r
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)则：
r
r
(1)
a
＋
b
＝
(a< br>1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3?b
3
)
；
r
r
(2)
a
－b
＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；
r
(3)λa
＝
(
?
a
1
,
?
a
2,
?
a
3
)
(λ∈R)；
r
r
(4)
a
·
b
＝
a
1b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
；
65 夹角公式：
r
r
r
r
设
a< br>＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，
b
＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
， 则
cos?a,b??
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2
1
2
2
2< br>3
.
66 异面直线间的距离 ：
uuuruur
r
|C D?n|
r
(
l
1
,l
2
是两异面直线，其公垂向 量为
n
，
C、D
是
l
1
,l
2
上 任一点，
d
为
l
1
,l
2
间的距离).
d?
|n|
67点
B
到平面
?
的距离：
uuuruur
|AB?n|
r
r
（
n
为平面
?< br>的法向量，
A?
?
，
AB
是
?
的一条斜线段 ）.
d?
|n|
4
2
68球的半径是R，则其体积
V?< br>?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
．
3
11

69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方
体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
6
a

12
666
13
a
的),外接球的 半径为
a
(正四面体高
a
的). (正四面体高
343
44
70 分类计数原理（加法原理）：
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
分步计数原理 （乘法原理）：
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
m
71排列数公式 ：
A
n
=
n(n?1)?(n?m?1 )
=
n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
m?n
)．规定
0!?1
.
(n?m)！
A
n
m
n(n?1)?(n?m?1)
n！
*
72 组合数公式：
C
=
m
==(
n
∈N，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m)！
1?2???m
A
m
m
n
组合数的两个性质:(1)
C
n
=
C
n
m
n?m
(2)
C
n
+
C
n
m
m?1m0< br>=
C
n?1
.规定
C
n
?1
.
n0n1n?12n?22rn?rrnn
73 二项式定理
(a?b)?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab?? ?C
n
b

rn?rr
1，2?，n)
. 二项展开式 的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，
f(x )?(ax?b)
n
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
的展开式的系数关系：
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
n
?f(1)< br>；
a
0
?a
1
?a
2
?L?(?1)n
a
n
?f(?1)
；
a
0
?f(0)
。
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分别发生的概率的和：P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A
n
) ．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．
kkn?k
76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的 概率：
P
n
(k)?C
n
P(1?P).

77 数学期望：
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L

数学期望的性质
（1）
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. （ 2）若
?
～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
k?1
(3)

若
?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?qp
，则
E
?
?
1.

p
78方差：
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2< br>?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n?E
?
?
?p
n
?L

标准差：
??
=
D
?
.
方差的性质：
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?
；
2
222
(2）若
?
～
B(n,p)
，则D
?
?np(1?p)
.
(3)
若
?
服从 几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
， 则
D
?
?
2
2
q
.

2
p
方差与期望的关系：
D
?
?E
?
?
?
E
?
?
.
79正态分布密度函数：
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?
x?
?
?
2
26
2
,x?
?
??,??
?< br>，
式中的实数μ，
?
（
?
>0）是参数，分别表示个体的平 均数与标准差.
12

2
对于
N(
?< br>,
?
)
，取值小于x的概率：
F
?
x
???
?
P
?
x
1
?x
0
?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P
?
x ?x
1
?

80
f(x)
在
x
0
处的导数（或变化率）：
?
x?
?
?
?
.
?
??
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
x?x
0
?x?0
?x
?x?0
?x
?ss(t??t) ?s(t)
瞬时速度：
?
?s
?
(t)?lim
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
?vv(t??t)?v(t )
瞬时加速度：
a?v
?
(t)?lim
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
81 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：
函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
，相应的
切线方程是
y?y
0?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
f
?
(x
0
)?y
?
?lim
82 几种常见函数的导数：
n?1
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)
?
?nx(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
. (5)
(lnx)
?
?
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
83 导数的运算法则：
1
1
；
(log
a
x)
?
?log
a
e
.
x
x
u
'< br>u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)? u?v
.（2）
(uv)?uv?uv
.（3）
()?
2
v v
84 判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法：
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
85 复数的相等：
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a ,b,c,d?R
）
''''''
86 复数
z?a?bi
的模（ 或绝对值）
|z|
=
|a?bi|
=
a?b
.
87 复平面上的两点间的距离公式：
22
d?|z
1
?z2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2< br>i
）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内 有且仅有两个共轭复数根
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
x?(b?4ac?0)
.
2a



13