高中数学三角平面向量-高中数学复合函数例题与答案
第1课时 排列与排列数公式
A级 基础巩固
一、选择题 <
br>1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可
x
2
y
2
得多少个不同的商？③作为椭圆
2
＋
2＝1中的
a
，
b
，可以得到多少个焦点在
x
轴上的椭圆
方
ab
x
2
y
2
程？④作为双曲线
2
－<
br>2
＝1中的
a
，
b
，可以得到多少个焦点在
x
轴上的双曲线方程？
ab
上面四个问题属于排列问题的是( )
A．①②③④
B．②④ C．②③ D．①④
53
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问
题；除法不满足交换律，如≠，所以
35
②是排列问题．
x
2
y<
br>2
x
2
若方程
2
＋
2
＝1表示焦点在
x
轴上的椭圆，则必有
a
>
b
，
a
，
b
的大小一定；在双曲线
2
aba
y
2
－
2
＝1中不管
a
>
b
还是
a
<
b
，方程均表
示焦点在
x
轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③
b
不是排列问题，④是排
列问题．
答案：B
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为(
)
A．6 B．4 C．8
2
D．10
解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A
2
种方法，
所以由分步乘法原理，不同的排列为2A
2
＝4(种)．
答案：B
3．已知A
n
＋1
－A
n
＝10，则
n
的值为(
)
A．4
22
22
2
B．5 C．6 D．7 <
br>解析：因为A
n
＋1
－A
n
＝10，则(
n
＋1)
n
－
n
(
n
－1)＝10，
整理得2
n
＝10，所以
n
＝5.
答案：B
4
．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则
选派方案有( )
A．180种 B．360种
C．15种
4
D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A
6
＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解析：将符合
条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A
4
个，另一类是4作个位
数，也有A
4
个．因此符合条件的偶数共有A
4
＋A
4
＝24(个)．
答案：A
二、填空题
A
7
－A
6
6．计算
4
＝________． <
br>A
5
解析：A
7
＝7×6A
5
，A
6
＝6A
5
，
A
7
－A
6
36A
5所以
4
＝
4
＝36.
A
5
A
5
答案：36
7．现有8种不同的菜种，任选4种
种在不同土质的4块地上，有________种不同的种
法(用数字作答)．
解析：将4块
不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4
块不同土质的地上，则本题即为
从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种
法共有A
8
＝8×7×6×
5＝1 680(种)．
答案：1 680
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺
年卡，并且要送给该寝室的其中一位同
学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种
．
解析：将4张贺卡分别记为
A
，
B
，
C
，D
，且按题意进行排列，用树形图表示为：
4
654
6454
65
222
2
由此可知共有9种送法．
答案：9
三、解答题
A
x
－
A
x
9．解关于
x
的方程：
5
＝89.
A
x
解：法一
因为A
x
＝(
x
－5)(
x
－6)A
x
，
（
x
－5）（
x
－6）A
x
－A
x
所以＝89.
5
A
x
因为A
x
>0，所以(
x
－5)(
x
－6)＝90.
5
55
75
75
故
x
＝－4(舍去)，或
x
＝15.
A
x
－A
x
75
法二
由
5
＝89，得A
x
＝90·A
x
，
A
x
即
75
x
！
＝90·.
（
x
－7）！（
x
－5）！
x
！
190
因为
x
！≠0，所以＝，
（
x
－7）！（
x
－5）（
x
－6）·（
x
－7）！
所以(
x
－5)(
x－6)＝90.解得
x
＝－4(舍去)，或
x
＝15.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(
1)能被5整除的数个位必须是5，故有A
6
＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，
4，6，有A
3
种排法，其他位上有A
6
种排法，由乘法原理知，四
位数中偶数共有A
3
·A
6
＝360(个)．
B级 能力提升 <
br>1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为
a
，
b
，共可得到lg
1313
3
a
－lg
b
的不同值的个数是________．
解析：lg
a
－lg
b
＝lg，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为
a
，
b，共有A
5
＝20
1339
种，其中lg＝lg，lg＝lg，故其可得
到18种结果．
3913
答案：18
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11
}中任取3个元素分别作为直线方程
Ax
＋
By
＋
C
＝0中
的系数
A
，
B
，
C
，所得直线经过坐标原点的有_
_______条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则
C
＝0，再从集
合中任取两个非零元素作
为系数
A
，
B
，有A
6
种
．
所以符合条件的直线有A
6
＝30(条)．
答案：30
3．
编号为1，2，3，4的四位同学，参加4×100米的接力赛，有多少种不同的安排方
法？列出所有排
列．
解：安排4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步安排跑第一棒的运动员，有4
种方法；第二步安排跑第二棒的运动员，有3种方法；第三步安排跑第三棒的运动员，有2
种方法；第
四步安排跑第四棒的运动员，有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2
×1＝24种不同的
安排方法．如图所示，我们可以用树形图写出所有的安排方法．
2
2
a
b
2
上述每一个安排可以
看作是从4个不同的元素中取出4个元素排成一列，其排法共有24
个，它们是
1234，1243，1324，1342，1423，1432
2134，2143，2314，2341，2413，2431
3124，3142，3214，3241，3412，3421
4123，4132，4213，4231，4312，4321.