新东方高中数学教师-高中数学如何提升教学反思能力
新课标教学资料(高中数学常用公式大全)
新课标:高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C<
br>U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(A?B
)?C
U
A?C
U
B;C
U
(A?B)?C
UA?C
U
B
.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
?A?C
U
B??
?C
U
A?B?R
.
4.集合
{a
1
,a
2
,?,a
n
}
的子
集个数共有
2
个;真子集有
2?1
个;非空子集有
2?1
个;
非空的真子集有
2?2
个.
5.二次函数的解析式的三种形式(其中
a?0
)
(1)一般式:
f(x)?ax
2
?bx?c
;
(2)顶
点式
f(x)?a(x?h)
2
?k
;(其中
M(h,k)
是图像的顶点)
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(其中
x
1
、
x
2
是函数的两个零点
).
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x??
的两端点处取得,具体如下:
(1) 当a>0时,若
x??
则
[f(x)]
min
?f(?
若
x??
n
n<
br>nn
b
处及区间
2a
b
?
?
p,q
?
,
2a
b
)
,
[f(x)]
max
?
max{f(p),f(q)}
;
2a
b
?
?
p,q?
,
[f(x)]
max
?max{f(p),f(q)}
,<
br>[f(x)]
min
?min{f(p),f(q)}
.
2a
bb
?
?
p,q
?
,
?
?
p,q
?
,(2)当a<0时,若
x??
则
f(x)
min
?m
in
?
f(p),f(q)
?
,若
x??
2a2a
则
f(x)
max
?max
?
f(p),f(q)
?
,
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?.
7.真值表
p q 非p p或q p且q
真 真 假
真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
8.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于
不小于 至多有
n
个
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有(
n?1
)个
至少有(
n?1
)个
1
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原结论
对所有
x
,
成立
反设词
存在某
x
,
不成立
原结论
p
或
q
反设词
?p
且
?q
对任何
x
,
存在某
x
,
p
且
q
不成立 成立
9.四种命题的相互关系
原命题
若p则q
互
否
否命题
若非p则非q
互
否
互逆
为
逆
互逆
互
为
逆
否
?p
或
?q
逆命题
若q则p
互
否
逆否命题
若非q则非p
10.含有一个量词的命题的否定
⑴ 全称命题p:
?x?M,p(x)
;
全称命题p的否定
?
p:
?x?M,?p(x)
。
⑵存在性命题p
:
?x?M,p(x)
;存在性命题p的否定
?
p:
?x?M,?p
(x)
;
11.充要条件
(1)充分条件:若
p?q
,则
p
是
q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p
是
q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是<
br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
12.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(
x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b<
br>?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x)?f(
x)?0?
?
12
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)<
br>为减函数.
(3)如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数
,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函
数; 如果函数
y
?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?
f[g(x)]
是增函数.
(x
1
?x
2
)
?<
br>f(x?f(x0
?
)?
?
1
)
2
13.奇
偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图
2
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象关于原点对称,那
么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这
个函数是偶函数.
14.若
函数
y?f(x)
是偶函数,则
f(x?a)?f(?x?a)
;若函数y?f(x?a)
是偶函
数,则
f(x?a)?f(?x?a)
.
15.对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(
x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
直线
x
?
a?b
.
2
16.若
f(x)??f(x?a)
或f(x)?
的周期函数.
1
,则函数都可以得到
y?f(x)
为周期为
2a
f(x?a)
17.多项式函数
P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
???a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项的系数全为零.
多
项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项的系数全为零.
18.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关
于点
M(a,b)
对称
?f(a?x)?f(a?x)?2b
19.两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?
f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2
)函数
y?f(x)
与函数
y??f(x)
的图象关于直线
y?0<
br>(即
x
轴)对称.
(3)函数
y?f(x)
与函数
y??f(?x)
的图象关于点
(0,0)
(即原点)对称.
(4)函数
y?f(x)
与直线
x?a
对称图象对应函数:
g(x)?f(2a
?x)
.
(5)函数
y?f(x)
图象关于点
M(a,b)
对称的图象对应函数:
g(x)?2b?f(2a?x)
20.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数
y?
f(x?a)?b
的图象;
将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a<
br>、上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
21.分数指数幂
(1)
a
m
n
?a
(
a?0,m,n?N
,且
n?1
).(2)
a
n
m
?
?
m
n
?
1
a
m
n
(
a?0,m,n?N
,且
n?1
).
?
22.根式的性质
(1)
(
n
a)
n
?a
.
(2)当n
为奇数时,
a
n
?a
;当
n
为偶数时,a?|a|?
?
n
n
n
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
23.有理指数幂的运算性质
(a?0,r,s?Q)
.(2)
(a
r
)
s
?
a
rs
(a?0,r,s?Q)
.
rrr
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
(1)
a?a?a
注: 若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.
上述有理指数幂的运算性质,
对于无理数指数幂都适用.
24.指数式与对数式的互化式:
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
3
p
rsr?s
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25. 对数的运算法则 (其中
a?0
,且
a?1
,
M?0
,且
N?0
)
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;(2)
loga
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M(n?R)
.
(4)换底公式:
log
a
N?
n
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
log
m
N
(
a?0
,且
a?1,
m?0
,且
m?1
,
N?0
).
log
m
a
n
log
a
b
(
a?0,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,
N?0
). 推论:
log
a
m
b?
m
26.指数函数与对数函数的图像与性质
y=a
x
a>1 0图象
定义域(-∞,+∞);
值域(0,+∞)
性
质
过定点(0,1)
在(-∞,+∞)上是
增函数 在(-∞,+∞)上是 减函数
0
y=log
a
x
a>1
图
象
定义域(0,+∞); 值域(-∞,+∞)
性
质
过定点(1,0)
在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 增函数
4
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27.
平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则对于时间
x
的总产值
y
,有
y?N(1?p)
x
.
28.数列的通项公式与前n项的和的关系
n?1
?
S
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
a
n
?
?
?S
n
?S
n?1
,n?2
29.等差数列的通项公式
?a
1
?a
2
???a
n
).
a
n
?a
1
?(n?1)d
;推广:
a
n
?am
?(n?m)d
; (
m
为正整数)
其前n项和公式为 <
br>s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?
1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n<
br>.
2222
提示:等差数列通项是关于
n
的一次函数,前
n
项和是关于
n
的不含常数项的二次函数.
30.等比数列的通项公式 a
n
?a
1
q
n?1
;推广
a
n?a
m
q
n?m
; (
m
为正整数)
其前n项的和公式为
(q?1)
?
na
1
?
S<
br>n
?
?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
(常见一般形式:
S
n
?Aq
n
?A(q?0或1)
)
?(q?1)
?
1?q1?q
?
31.常见三角不等式
(1)
|sinx|?|cosx|?1
; (2) 若
x?(0,
(3)若
x?(0,
?
2
)
,则
1?sinx?cosx?
2
;
?
2
)
,则
sinx?x?tanx
32.正弦、余弦的诱导公式
正弦 余弦 正切
2k
?
?
?
sin
?
sin
?
?sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
tan
?
?
?
?
tan
?
tan
?
tan
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3
?
?
?
2
?
cos
?
?cos
?
5
?sin
?
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33.
同角三角函数的基本关系式
平方关系:
sin
?
?cos
??1
;商数关系:
tan
?
=
22
sin
?<
br>.
cos
?
提示:奇变偶不变,符号看象限.(结合“一全、二正、三切、四
余”加以记忆)
34.和角与差角公式
sin(
?
?<
br>?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?<
br>cos
?
?sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
.
1
?
tan
?
tan
?
b
). <
br>a
辅助角公式:
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan<
br>?
?
35.二倍角公式
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1
?2sin
2
?
.
2tan
?
sin2
?
?sin
?
cos
?
;
tan2
?
?
.
1?tan
2
?
36.三角函数的周期公式(A,ω,
?
为
常数,且A≠0,ω>0)
⑴函数
y?sin(
?
x?
?
)
(x∈R)及函数
y?cos(
?
x?
?
)
(
x∈R)的周期
T?
⑵函数
y?tan(
?
x?
?
)
,
x?k
?
?
37.正弦定理:
38.余弦定理
2
?
?
;
?
2
,k?Z
的周期
T?
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
b
2
?c
2
?a
2
或
cosA?
等等
2bc
39.三角形面积公式
111
ah
a
?bh
b
?ch
c
(
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高).
222
111
(2)
S?ab
sinC?bcsinA?casinB
.
222
1
(3)
S?(
a?b?c)r
,其中
r
是三角形内切圆的半径.
2
(1)
S?
40.三角形内角和定理
在△ABC中,有A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
a?b?c
2
41.直角三角形的外接圆半径与内切圆半径
(
c
是斜边)
(1)外接圆直径:
2R?c
;(2)内切圆半径:
r?
6
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42.两个向量平行:
b?
?
a
(其中
a
为非零向量)
(1)若
?
?0
,则
b<
br>为零向量;(2)若
?
?0
,则
b
与
a
同向
;
(3)若
?
?0
,则
b
与
a
反向.
43.向量
a
、
b
的数量积(或内积)
a
·b
=|
a
||
b
|cos
?
,其中
?
为向量
a
、
b
的夹角,
?
?[0,
?]
44. 向量的数量积的运算律
(1)
a
·
b
=
b
·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·
b
=
?
(
a
·
b
)=
?
a
·
b
=
a
·(
?
b
);
(3)(
a
+
b
)·
c
=
a
·
a
+
b
·
c
. (分配律)
45.
a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上
的投影|
b
|cosθ的乘积.
46.平面向量的坐标运算
(1)设a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
a
+
b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
????????????
(3)设A
(x
1,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?
y
1
)
.
(4)设
a
=
(x,y),
?
?R
,则
?
a
=
(
?
x,
?y)
.
(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y<
br>1
y
2
47.两向量的夹角公式
(2)设
a=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(
x
2
,y
2
)
,则
a
-
b
=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
其中
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x2
,y
2
)
.
48.平面两点间的距离公式:已知点A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则
????????????
22
d
A,B
=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)
?(y
2
?y
1
)
.
49.向量的平行与垂直的坐标表示
设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,且
a
为
非零向量,则
a
∥
b
?
b
=λ
a?x
1
y
2
?x
2
y
1
;
a
?
b
?
a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
50.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1<
br>,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)、
C(x
3
,y
3
)
,则
△ABC的重心的坐标是
G(
51.常用不等式
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
22
x1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
. (中点坐标公式的推广)
33
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
(3)
a?b?a?b?a?b
.
(2)
a,b?R
?
?
7
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52.最值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
; <
br>(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
(a?0,??b?4ac)
53.一元二次不等式
2
ax<
br>2
?bx?c?0?a(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?
{x|x?x
1
或x?x
2
}
;
ax
2
?bx?c?0?a(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?{x|x
1
?x?x
2
}
;
简言之:“大于零型”的解集在两根之外;“小于零型”的解集在两根之间.
54.含有绝对值的不等式:当
a?0
时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
;
x?a?x
2
?a
2
?x?a或
x??a
.
2
55.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
56.直线斜率公式
(1)
k?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
y
2
?y
1
(
P
、
P
);
1
(x
1
,y
1
)
2
(x
2
,y
2
)
x
2
?x
1
(2)
k?tan
?
(
?
为直线的倾斜角,
?
?[0,
?
)
)
57.直线方程的五种形式
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过
点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
((
P
?
1<
br>(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
且
y
1
?y
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
(3)两点式
58.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2
?
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x
?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2、B
1
、B
2
都不为零,
①
l
1
|
|l
2
?
A
1
B
1
C
1
;
②
l
1
?l
2
?A
;
??
1
A
2
?B
1
B
2
?0
A
2
B
2
C
2
59.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经
过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程
为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x0
),其中
k
是待定的系数.(或经过定点
P
0
(x<
br>0
,y
0
)
的直线系方程为
8
新课标教学资料(高中数学常用公式大全)
)
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数.<
br>(2)共点直线系方程:经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的直线系方程为
(A
其中λ是待定的系数.
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),
(3)平行直线系方程:直线
y?kx?b
当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系
方程.与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?C
?0
(
C?C
),
λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量.
60.点到直线的距离
点
P(x
0
,y
0
)<
br>到直线
l
:
Ax?By?C?0
的距离为:
d?
61
.平行直线的距离
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
<
br>A?B
62.不等式
y?kx?b
所表示在直线
l:y?kx?b上方的平面区域;不等式
y?kx?b
所
表示在直线
l:y?kx?b<
br>下方的平面区域.(若不等式含等号,则所给区域包含边界)
63.圆方程的几种形式
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
22
(2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
>0).
22
直线
l
1
:
Ax?By?C
1
?0
与直线
l
2
:
A
x?By?C
2
?0
的距离等于
d?
|c
1
?c<
br>2
|
22
(3)圆的直径式方程
(x?x
1)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
64. 圆系方程
(1)
过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C<
br>:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方
程是
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?B
y?C)?0
,λ是待定的系数.
22
(2) 过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y
?F
与圆:
C
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点
?0
2
1
22
的圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F?<
br>?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
(不包括
1
圆
C
2
),λ是待定的系数.
65.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0
)<
br>与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?
222
(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
,则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
66.直线与圆的位置关系
222
直线
Ax?By?C?0
与圆<
br>(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
(其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
).
d?r?相交???0
. 提示:切线垂直于过切点的半径!
9
新课标教学资料(高中数学常用公式大全)
67.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2,半径分别为r
1
,r
2
,
O
1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r<
br>1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公
切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;<
br>0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
68.圆的切线方程
(1)已知圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
①斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相切条件求k,这时必有
两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
2<
br>(2)已知圆
x?y?r
,则过圆上的
P
0
(x
0<
br>,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0y?r
;
222
69. 三种圆锥曲线的第一定义
(1)椭圆:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
(
a为常数),
2a?F
1
F
2
)
1
?PF
2
?2a(
则P点的轨迹是椭圆.
(2)双曲线:若F
1
,F<
br>2
是两定点,
|PF
(
a
为常数),则动点
2a?F
1
F
2
)
1
?PF
2
|?2a(
P的轨迹是双曲线.
(3)定义:到定点F与定直线
l
的距离相等的点的轨迹是抛物线.
即:到定点F的距离与到定直线
l
的距离之比是常数e(e=1).
70.
三种圆锥曲线的统一定义:到定点
F
的距离与到定直线
l
的距离之比为常数<
br>e
的
点的轨迹
(1)
e?1
时轨迹为抛物线,
e?
1
时轨迹为双曲线,
e?1
时轨迹为椭圆;
(2)定直线
l
是曲线的准线,这个距离之比解释了离心率的几何意义
注意:统一定义也称为圆锥曲线的第二定义,常常结合第一定义与统一定义来解题
71.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x2
y
2
b
(1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
?0?
y??x.
a
ab
ab
xy
x
2
y
2
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双
曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
a
ab<
br>x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线
与
2
?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?
2
??
abab
(
??0
,焦点在x轴上,
??
0
,焦点在y轴上).
10
新课标教学资料(高中数学常用公式大全)
72.等可能性事件的概率:
P(A)?
m
.
n
n
是所有基本事件的总数,
m
是符合题意的基本事件的个数. <
br>73.对立事件:若事件
A
与
B
不能同时发生,并且必定有一个要发生
,则称
A
与
B
是
对立事件.
P(A)?1?P(B),公式:如果事件
A
情况比较复杂,则可以用对立事件
B
来求
P
(A)
.
74.函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 <
br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?<
br>(x
0
)
是曲线
y?f(x)
在
P(x
0<
br>,f(x
0
))
处的切线的斜
率,相应的切线方程是
y?f(
x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
).
75.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数); (2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
;
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5) (lnx)
?
?
1
1
;
(log
a
x
)
?
?
.
x
xlna
(6)
(e
x
)
?
?e
x
;
(a
x
)
?
?a
x
lna
.
''''''
76.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. (1
)
(u?v)?u?v
;(2)
(uv)?uv?uv
;(3)
()
?
vv
2
77.判别
f(x
0
)
是极大(小)值的
方法
(1)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?
0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值;
(2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?<
br>(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极小值.
78.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R
)
特别地,若
a?bi?0
,则
a?b?0
.
79.复数<
br>z?a?bi
的模(或绝对值):
|z|
=
|a?bi|
=<
br>a
2
?b
2
.
80.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)<
br>.
c
2
?d
2
c
2
?d
2
81.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(
x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(
z
1
?x
1
?y
1
i
,
z
2
?x
2
?y
2
i
).
??????????
非零复数
z
1
?a?bi
,
z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1
,
OZ<
br>2
,则
??????????
z
222
OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部
为零
?
2
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|
z
1
82.复平面上向量的垂直
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2<
br>|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1<
br>?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2
(λ为非零实数).
11
新课标教学资料(高中数学常用公式大全)
83.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
,
2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0
,它在实数集
R
内没有实数根;在复数集
C
内
有且仅有两个共轭
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a
84.空间的平行:线线平行
?<
br>线面平行
?
面面平行,常常用线面平行作为纽带来证其
它的平行
85
.空间的垂直:线线垂直
?
线面垂直
?
面面垂直,常常用线面垂直作为纽带来
证其
它的垂直
86.长方体的长、宽、高分别是
a
、
b
、
c
,则它的对角线长为:
l?a
2
?b
2
?c2
87.求点到平面的距离:三棱锥的任何一个面都能作为底,因此可以用三棱锥的体积
公
式,进行等体积转换来求点到平面的距离。
88.从个
n
元素中取2个元
素,总共有种
n(n?1)
不同的取法。
2
12
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