存货周转天数计算公式地理教学材料-地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法

地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法
解析：在讲《世界地理》下册的“世界的交通 和联系”一节时，课文中有这
样一段：“越过北冰洋的航空线是联系亚、欧和北美三大洲的捷径。从东京 到伦
敦，沿北极圈飞行，比经过莫斯科能缩短1100公里。现在从东京到西欧和美国
已开辟有 穿过北极上空的航线”。当讲到此时，学生们便常问：为什么沿纬线飞
行反而要远些？第八章“南极洲” 讲到交通位置的重要性时，也常提到同样的问
题。对这个问题我们知道，地球上的两点的最近距离应是这 两点的大圆弧，而除
赤道以外的其它任何同在一条纬线上的两点，它们的纬线并不是经过这两点的大圆弧，所以要远些。那么地球上任意两点间的最短距离（大圆弧）又怎样计算呢？
对上面这一问题，可通过用几何和三角作一个简单的推导，如下：


分别 相交于A′和B′。分别用直线连接这四点成四条弦，这四条弦构成了
一个等腰梯形AB′BA′，即两 腰AA′=BB′。
然后以这梯形的两腰分别作底边，以地心O点作顶点，又可做出两个等腰三
角形，△BOB′和△AOA′。而这两个三角形的顶角：∠BOB′=∠AOAc

可用平面三角法，求出梯形的两腰：

又设图中r
1
和r
2
分别为B和A的自转半径

而△AO
2
B′和△A′O
1
B又是以δ
2
-δ
1
为顶角的等腰三角形，通过平面三角法
又可求得梯形的上下两底长：

将②③或分别代入上两式即得：


在求出等腰梯形四边的长度后，再计算其对角线AB（弦）的长度。
通过图中所引的辅助线后，可算出：

在直角三角形ACA′中：
AC
2
=AA′
2
-A′C
2


在直角三角形ACB中：
AB
2
=AC
2
+BC
2

将⑥、⑧式代入上式：

即：AB
2
=AA′
2
+AB′·A′B……………………………………⑨
若再设AB弦对应地心○点的圆心角为θ，则△AOB又是以地球半径R为两
腰的等腰三角形：

将此式和前面的①④⑤代入⑨式：


由上面公式即可求得地球 上任意两点分别与地心连线的夹角θ，只要求出
θ，就可求出过这两点间最大圆弧长，也就是这两点最近 距离S。

最后必须指出：该公式是考虑地球是正圆球时推导的。另外，在运用公

经为正，西经为负。