周线均线公式高中数学 空间两点间的距离公式

4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式

【选题明细表】
知识点、方法
空间点的坐标
空间两点间的距离
对称及应用问题
基础巩固
1.(2018·陕西西安 莲湖区期末)在空间直角坐标系中,若P(3,-2,1),
则P点关于坐标平面xOz的对称点坐标为 ( B )
(A)(-3,-2,-1) (B)(3,2,1)
(C)(-3,2,-1) (D)(3,-2,-1)
解析:设所求的点为Q(x,y,z ),因为点Q(x,y,z)与点P(3,-2,1)关于
平面xOz对称,所以P,Q两点的横坐标和 竖坐标相等,而纵坐标互为相
反数,即x=3,y=2,z=1,得Q点坐标为(3,2,1)故选B.
2.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位
置关系是( B )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于z轴对称 (D)关于原点对称
题号
4,8,11,12
1,3,5,7,9,13
2,6,10
解析:A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称,故选B.
3.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,0,0),B(1,1,1 ),C(0,1,1),则
三角形ABC是( A )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形
解析:由题|AB|=< br>|AC|=
|BC|=
所以AC
2
=AB
2
+BC< br>2
,
所以三角形ABC是直角三角形.
4.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是( C )
(A)(4,2,2) (B)(2,-1,2)
(C)(2,1,1) (D)(4,-1,2)
解析:设点P与点Q的中点坐标为(x,y,z),则
x==2,y==1,z==1.选C.
,则a的值为
=,
=1,
=,
5.已知空间中两点A(1,2,3),B(4,2,a),且|AB|=
( D )
(A)2 (B)4
(C)0 (D)2或4
解析:由空间两点间的距离公式得
|AB|==,
即9+a
2
-6a+9=10,所以a
2
-6a+8=0,
所以a=2或a=4.选D.
6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平 面上的射影为M′点,
则M′点关于原点的对称点的坐标是 .
解析:点M(-2, 4,-3)在平面xOz上的射影M′(-2,0,-3),M′关于原点
的对称点的坐标是(2,0, 3).
答案:(2,0,3)
7.在△ABC中,若A(-1,2,3),B(2,-2, 3),C(,,3),则AB边的中点D
到点C的距离为 .
解析:由题意得D(,0,3),
所以|DC|=
答案:
8.如图所示,已知正四面体ABCD的棱长为1,点E,F分别为棱AB,CD
的中点.
=.

(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;
(2)证明:△BEF为直角三角形.
(1)解:如图,设底面等边三角形BCD的中心为点 O,连接AO,DO,延长DO
交BC于点M,则AO⊥平面BCD,点M是BC的中点,且DM⊥BC ,过点O作
ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM,故以O为坐标原点,OM,ON,OA所在的< br>直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

因为正四面体ABCD的棱长为1,点O为底面△BCD的中心,
所以|OD|=|DM|=
|OM|=|DM|=.
|OA|=
|BM|=|CM|=,
所以A(0,0,),B(,-,0),C(,,0),D(-,0,0).
(2)证明:由(1)及中点坐标公式,得
E(,-,),F(-,,0),
所以|EF|=
|BE|=
|BF|=
=,
=.
=,
==,
=,
所以|BE|
2
+|EF|
2
=| BF|
2
,故△BEF为直角三角形.
能力提升
9.已知点A(1,2, 2),B(1,-3,1),点C在yOz平面上,且点C到点A,B
的距离相等,则点C的坐标可以为 ( C )
(A)(0,1,-1) (B)(0,-1,6)
(C)(0,1,-6) (D)(0,1,6)
解析:由题意设点C的坐标为(0,y,z),
所以=,
即(y-2)
2
+(z-2)
2
=(y+3)
2
+(z-1 )
2
.
经检验知,只有选项C满足.
10.在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分
别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2, 2,2).给出编号为①②③④的四
个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )


(A)①和② (B)③和①
(C)④和③ (D)④和②
解析: 在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方
体中作出四面体,如图所示,由图可知, 该四面体的正视图为④,俯视
图为②.故选D.

11.已知平行四边形ABCD, 且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点
D的坐标为 . < br>解析:由平行四边形对角线互相平分知,AC的中点即为BD的中点,AC
的中点M(,4,-1 ),
设D(x,y,z),则=,4=,-1=,
所以x=5,y=13,z=-3,
所以D(5,13,-3).
答案:(5,13,-3)
12.画一个正方体AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
,以A为坐标原点 ,以棱AB,AD,AA
1
所在
的直线为坐标轴,取正方体的棱长为单位长度,建立空 间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)求棱C
1
C中点的坐标;
(3)求平面AA
1
B
1
B对角线交点的坐标.
解:空间直角坐标系如图所示.

(1)各顶点的坐标分别是A(0,0,0),B (1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A
1
(0,0,1),B
1
(1,0,1),C
1
(1,1,1),D
1
(0,1, 1).
(2)棱C
1
C的中点M的坐标为(1,1,).
(3)平面AA
1
B
1
B对角线交点的坐标为AB
1
的中点.即N(,0, ).
探究创新
13.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M
的坐标.
解:(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|,
设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,
显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说,y轴上所有点都满足
|MA|=|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M(0,y,0),使△MAB为等边三角形.
由(1)可知,对y轴上任一点都有|MA|=|MB|,
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|=
|AB|=
于是=,解得y=±
=
,
,0)
=
,
,
故在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,
或(0,-,0).