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立方体公式1、等差数列(一)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 21:40
tags:等差数列公式

对角线公式-required



1、等差数列(一)
学习目标:
1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式。
2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。
3、通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗
透由特殊到一般的思想。
教学重点:
等差数列的概念及其通项公式。
教学难点:
1. 等差数列通项公式的灵活应用及“等差”的理解。
2. 等差数列通项公式的推导过程。
教学过程:
一、情景体验
师:同学们你们听过数学家高斯小时候的故事吗?(学生:知道!)
师:学习中你们经常会碰到类似的数学问题吗?
老师引导:今天我们就来研究他小时候遇到的数学问题“等差数
列”
(板书课题)

二思维探索(建立知识模型)
同学们,你们知道什么叫公差吗?首先观察下面的数列你发现了
什么?
48、46、44、42、40、38、36、34、32、30
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、

1

师: 同学们真不错!这两组数列有什么规律?
学生a:我发现了每两个数之间的差都是一样的。
学生b:我发现第一组数列的前一个数都比 后一个数大2,第二组
数列的前一个数比后一个数小3。
师:你们同意他们的观点吗? 小结:若干个数排成一列,像这样一串数称为数列,数列中每一
个数都称为一项,如果一个数列,从 第二项开始,每一项与前一
项之差都等于一个固定的数,我们就叫做等差数列.这个固定的数
就 叫做“公差”.
师:还有谁有其他的发现?可以同桌讨论。
学生c:我发现都是从第二项开始的。第一组是从大到小,第二组
是从小到大.
师: 非常棒!数列的第一项我们称为“首项”,那最后一项该叫
什么呢?有多少个数我们又该叫什么呢?
学生d:最后一项叫末项,有多少个数叫项数.
师:大家同不同意d同学的说法?(同意)如何判断一组数列是
否为等差数列呢?
小 结:无论数列大小的顺序如何,只要是从第二项开始每一项与
前一项之差都等于同一个固定数,它就是等 差数列.而且每部分都
有自己的名称.

展示例1
例1:观察以下数列:(1)2,4,6,8,…18;
(2)1,4,7,10,…28。
判断:他们是等差数列吗?公差是多少?

2


师:在学习例1之前请同学们先观察下面一组数列
3、3、3、3、3、3、3、3、3
师:它是不是等差数列?为什么?
生:是等差数列,因为它的公差是一个固定的数“0”
师:请你们再观察例1的第一组你发现了什么?
学生观察后回答
第(1)问现在抢答开始!
第(2)问谁能回答?
(由学生剖析,老师点拨)
师:你们为什么那么快就能找到公差是多少?
(尽量多让学生说一说)
师:再看一组它是不是等差数列?为什么?
2、2、3、4、5、6、7、8
小结:这个公差(固定的数)可以是任何一个数(包括0),但
一定要是从第二项开始。

三、思维拓展(知识模型的运用)
展示例2
例2:已知等差数列1,8,15,…78。共有12项,和是多少?
师:这串数列是等差数列吗?为什么?
(学生回答)
师:你知道哪些信息呢?省略号表示什么?
生:知道首项,末项,还有项数、公差。
师:那该如何求和呢?我们要把所有的数写出来后逐个加起来

3

吗?
(学生思考回答)
师:知道了公差你能写出78前面的一个数吗?(71)
师引导:首项1和末项78是一对,接着8和71是一对……依次
类推每对的和都相等,那么一 共有6对,这样你能很快的算出和
是多少了吗?
学生尝试解答
师:6对是怎么来的?(12个数,每2个数一对,所以12÷2=6
对)
(1+78)×12÷2=474
小结:由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
总结:在利用等差数列求和公式时,有时项数或者末项并 不是一
目了然的,这时就需要先求出项数或末项。根据首项、末项、公
差的关系,可以得到:( 借助线段图理解公式的推导)
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。

展示例3
例3:有一堆圆木堆成一 堆,从上到下,上面一层有10根,每向
下一层增加1根,共堆了10层。这堆圆木共有多少根?
师:根据题意,你知道哪些信息?例2与例3有什么区别?(学
生回答)
师追问:根据我们刚才学的求和的公式,你能直接求出和吗?为
什么?

4

师引导:10层有9个间隔,每间隔是1,所以末项为(10 -1)×
1+10=19根(借助画图,进一步理解公式的来历)
师:下面你会求出这堆圆木的根数了吗?
(学生尝试解答)
(10+19)×10÷2=145根
小结:类似这样不能直接求和的题,分两步完成,先求出末项再
求出和。

展示例4
例4:在12与60之间插入3个数,使这5个数成等差数列。
师:根据题意,你知道哪些信息?
生:知道了首项和末项、项数。
师:要想成为等差数列必须知道公差是多少,如何知道公差呢?
师引导:12与60相差多少?(48)中间有几个间隔,(4)每间
隔多少?(12)
师:现在你会插入3个数进去了吗?
(学生尝试解答)
12、(24、36、48)、60
小结:每间隔的数就是公差,所以:公差=(末项- 首项)÷(项数
-1)

四、融会贯通(知识模型的拓展)
展示例5
例5:求下面数列的公差是多少?数列的项数是多少?和是多少?
(1)10、20、30、40、50、…、200

5

(2)2、4、6、8、10、12、14、…50
(3)3、5、7、9、...、203
(4)1、4、7、10、…、61。
师:能找到它们的公差吗?
师追问:这四个数列有什么相同点,区别在哪里?
学生a:(1)的公差是10,(2)(3)的公差是2,(4)的公
差是3。
学生b:都是知道首项和末项、公差,要求项数的,但不同的是
它们的公差。
师:首项与末项相差多少?每间隔相差多少?
(学生思考回答)
师引导:根据前面我们用线段图分析后得到的公式,项数怎么求?
生:(1)(200-10)÷10+1=20(项)
(2)(50-2)÷2+1=25(项)
(3)(203-3)÷2+1=101(项)
(4)(61-1)÷3+1=21(项)
小结:项数=(末项- 首项)÷公差+1

展示例6
例6:下面的算式是按规律排列的:1+1,2+3 ,3+5,4+7,......,
第100个算式的得数是多少?
师:认真观察这些算式中的第一个加数,你有什么发现?
生:1、2、3、4、...,成等差数列,公差为1。
师:认真观察这些算式中的第二个加数,你有什么发现?
生:1、3、5、7...,也成等差数列,公差为2。

6

师:由此可见,第100个算式中的两个加数应该分别是多少呢?
生:100和1+2×(100-1)=199。
师:第100个算式的得数是多少?
生:100+199=299,第100个算式的得数是299。

小结:
1. 通过这节课学习,你有哪些收获?
2. 利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加
数是否构成等差数列。
3. 利用等差数列求和公式及求项数、末项的公式,可以解决
各种与等差数列求和有关的问题。




7

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