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密度公式换算等差数列知识点总结含习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 21:39
tags:等差数列公式

中南民族大学怎么样-dances


AP等差数列1:(概念通项公式)
定义等差中项等差数列的通项公式.
等差数列的通项公式:




等差数列通项公式的推导:
1
归纳法(由特殊到一般的思想) ○




























2
逐差法 ○

3
累加法 ○

4
迭代法 ○

等差数列通项公式的变形:
对任意正整数













等差数列的性质(重点):





是公差为 的等差数列 那么
(1)在等差数列

中,若














1












注:○
2





是有穷等差数列,则与首尾两项等距离的两项之和都相等,且等于













.
首位两项之和,即








(2)数列





为非零常数 是公差为 的等差数列.
(3)若数列




也是等差数列 则数列
















是等差数列.
(4)等差数列的单调性:(三种情况)



1.等差数列的判定:
方法:(1)定义法;(2)等差中项法;(3)通项公式法.(不再举例)


还是举一个例子吧:
例15:已知各项均为正数的两个数列






满足:






求证 数列

是等差数列.

























2.灵活设项求解等差数列问题:
方法:(1)若所给等差数列为




项 则这个数列可设为




,此数列公差为
(2)若所给等差数列的项数为




项 则这个等差数列可设
为:







此数列的公差
为 .

例:成等差数列的四个书之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个
数.
分析:总共四个数,即

个,用对称设法:
解:设这四个数为

















由题意可知

,即














解的





故这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.(今后也许会





遇到这种设法了解一下即可)



变式: 一直四个数依次成等差数列,且这四个数的平方和为94,首尾两数之积比
中间两素数之积少18,求这 四个数.



(等差数列的性质应用)例:在数列

中,

且对任意大于1的正整数 ,点









在直线

上 则

.




例16:若




是等差数列



是方程

的两根,则








.




例17:若数列




为等差数列 且









.





例18:在 中, 分别为 的对边 如果 成等差数列
的面积为1.5,那么b= .





例19:已知 的一个内角为 并且三边长构成公差为 的等差数列,
则 的面积为 .(需要使用余弦定理)




例20:若




是等差数列 且


















.





例21:若等差数列










那么





.





例22:在数列




中 若













.







例23:在数列




中 若















.







例24:已知等差数列




的公差为











,


则 为 .








例25:若




为等差数列 且











的值为 .




例26:已知在等差数列





















.





例27:已知数列















(1)求证:数列






是等差数列
(2)求




的通项公式




等差数列2:(等差数列的前 项和)




的关系 若数列的前 项和为

则通项公式


已知




















,不能直接用





,必须有
因为

是没有意义的.

应单独解出,在验证是否符合





.
若符合,写成统一的式子;若不符合,则用分段函数的形式给出.





等差数列前 项和公式:















.





(知道)等差数列前 项和的公式的推导(仅有一个倒叙相加法):




1.等差数列前n项和的性质:(重点)


是等差数列




的前 项和 是




的公差 那么:
(1)














构成公差为

的等差数列
(2)设等差数列




的项数为




则有

1








2


















分别为数列


的所有奇

数项的和,偶数项和.)

3
设等差数列




的项数为















是数的列中间项














.

(3)数列






是等差数列 首项为

公差为

.
(4)在等差数




中 若



存在最大值 若



存在最小值.
(注:若等差数




中 若







为最大值 若












均为最大值 若等差数列







情况与此相似 )
(5)在等差数列




中,

1












2












3




( ),则

.








2.等差数列前n项和比值的问题:(难点重点):
(1)设等差数列




的首项为

公差为

等差数列




的公差为

公差为

它们的前 项和分别为



则它们
有下列性质:
1

等差数列




的前 项和

与等差数列




的前 项和

的比


是关于 的一次函数 即








2
若等差数列









的前 项和分别为




,则













.









(证明
:












(分子分母同乘2)
(化为



的模式)














(分子分母同乘)



















(这步,分子分母同乘

只不过此时的 为 )

特别地 当 时






) (详细的不能再详细了(*^_^*))


(上面的公式需要记忆,证明过程看懂就行)

(2) 设等差数列




的前 项和为









有如下性质:
1














○2









.
3.等差数列的前n项和公式与函数的关系:
等差数列前n项和公式:







可以写成









.

若令





则上式可以写成





是关于 的函数

则有以下总结:
(1)一个数列




是等差数列的前提条件是其前n项和的公式

是关
于 的二次函数或一次函数或常函数,且其常数项为0,即



(A,B为常
数).
(2)若一个数列的前n的项和的表达式为



为常数 ,
则当 时,函数




不是等差数列 但从第 项起是等差数列


例28:已知数列




的前n项和为





的值为 .




例29:已知数列




的前n项和为

,且



,则
.




例30:等差数列









的前 项和分别为



,且








,则是得


为正


整数 的和数是 .





例31:已知

表示数列




的前n项和,且




,那么


.






例32:等差数列









的前 项和之比为



有关数列的基本量计算题目不举例了.
例33:(1)等差数列













(2)已知等差数列




的前 项和为 ,项数 为奇数,且前 项和中
奇数项和与偶数项和之比为 求中间项


,求的值.




例34:已知等差数列









的前 项和分别为



















例35:若数列




的通项公式为



,求其前n项和.






1.裂项(拆项)相消法求和:
方法:把数列的通项拆成两项之差,数 列的每一项按如此拆法拆成两项之差,在
求和时一些项正负抵消,于是前n项和变成首尾如若干项之和. 此法对通项公式如

的数列尤为适用.




例36:若数列




的通项公式为



,求其前n项和







例37:已知数列




的前n项和为

,且满足









.
(1)求证:

是等差数列;




(2)求

的表达式;
(3)若

































2.等差数列前n项和最值的求法:
方法:(1)设等差数列




的首项为

公差为 .

1





只有前面有限的几项为非负数 从某项开始其余所有项均为负数,


所以由




可得

的最大值为





2







只有前面有限的几项为负数 从某项开始其余所有项均为非负数,


所以由






可得

的最小值为





(2)二次函数法(具体不再详细说了,没什么内容,看例题)




例38:设等差数列




的前 项和为

,若






则当

取最小值时 等于 .





例39:在等差数列




中,





,求其前 项和

的最大值




例40:设等差数列




的前 项和为

,若






则 .


例41:等差数列




的前 项和为











的值为 .

例42:已知等差数列




的前 项和为

,若






,则

的值为 .




例43: 已知等差数列




满足:










的前 项和为


(1)求






;
(2)令







,求数列

的前 项和

.







例44:已知数列









满足











,设数列


的前 项和为

,令





.
(1)求数列

的通项公式;
(2)求证:















例45:已知等差数列




的前 项和为

满足



.
(1)求

的通项公式;
(2)求数列




例 已知等差数列




的前 项和为




















的前 项和.
.
例 已知数列




的前 项和为




则数列




的通项公式为 .




例48:求下面各数列的前 项和

:
(1)







…;
(2)




例49:一个等差数列共10项,其中奇数项的和为

,偶数项的和为15,则公差是
.




例50: 已知等差数列




,首项









,则使前
项和

成立的最大自然数 是 .















….
例 在等差数列




中 其前 项和为 其后的 项和为 则紧随其后的 项和为
.



例52: 已知等差数列




的公差 ,若







,则该数列的前
n项和

的最大值为 .


例53:设数列




满足



且对一切 ,有






.
(1)求数列




的通项公式;
(2)设









,求

的取值范围.





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