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张拉伸长量计算公式等比数列的通项公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 07:19
tags:等比数列公式

学什麽技术挣钱-普通话考试文章


等比数列的通项公式

例1
已知{a
n
}为等比数列,
求证:当m+n=p+
l

a
m
·a
n
=a
p
·a
l

证明:
设等比数列的首项a
1
,公比为q,

∵m+n=p+
l

∴a
m
·a
n
=a
p
·a
l
得证.
评注:

本题证明过程并不难,但结论:等比数列中,下标之和相等则对应 项之积相等,这
在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷.

例2
在等比数列{a
n
}中
(1)已知:a
1
+a
2
+a
3
=6,a
2
+a
3
+a< br>4
=-3,求a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
+a
8
的值;
(2)已知a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
=3 1,a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+a
6
=62,求通项a
n

分析:利用等比数列的定义和性质整体观察.

(1)不难看出a
1< br>+a
2
+a
3
,a
2
+a
3
+a< br>4
,a
3
+a
4
+a
5
,a
4+a
5
+a
6
,a
5
+a
6
+a7
,a
6
+a
7
+a
8
成等比数列,且公比为 q(即数列{a
n
}的公比).
设为{A
n
},即A
1
=6,A
2
=-3,

(2)由已知可以看到


∴a
1
(1+2+4+8+16)=31,a
1
=1
∴a
n
=2
n-1

评注:
以上二题均可用列方程和方程组解决,但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使
运算更简捷.

例3
在各项均为正数的等比数列{a
n
}中,若a
5
a
6
=9,则log
3
a
1
+log< br>3
a
2
+…+log
3
a
10
=
[ ]
A.12
B.10
C.8
D.2+log
3
5
解:
根据等比中项的性质,
a
5
a
6
=a
1
a
10
=a
2< br>a
9
=a
3
a
8
=a
4
a
7
=9.
∴a
5
1
a
2
…a
9a
10
=(a
5
a
6
)=9
5

∴log
3
a
1
+log
3
a
2+…+log
3
a
10

=log
3
(a
1
a
2
…a
10
)
=log
5
3
9
=5log
3
9
=10.
故正确答案为(B).
评注:
(1)应用等比中项求解某些等比数列问题,简便快捷.
(2)对等比数列{a
n
},有以下结论:



例4
若{a
n
}为等比数列,且a
n
>0,已知 a
5
a
6
=128
则log
2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
10< br>的值为
A.5
B.28
C.35
D.40

[ ]
分析:
利用等比数列项间相等的性质不难求得
解:
原式=log
2
(a
1
a
2
a
3
…a
10
)
由等比数列数列性质
a
1
·a
10
=a
2
·a
9
=a
3
·a
8
=…=a
5
·a6

∴原式=log
2
(a
5
·a
6
)
5

=5log
2
128
=5×7
=35.所以选(C)

例5
在3和9之间插入两个正数,使前三数成等比数列,后三数成等差数列,
求这两个数之和.
分析:
欲求这两数之和,只须求得此二数,可依条件列方程、方程组解决.
解:
设插入的两个数分别为x、y



评注:

(1)此题亦可改设为:3,3q,3q
2
, 9或3,9-2d,9-d,9.这样利用等差或等比
的条件设,方程少,计算简单.

三数成等差 知和a 可设为:x-d,x,x+d


四数成等差 知和a 可设为:x-3d,x-d,x+d,x+3d,此时公差为2d

例6


分析:
等比数列中,a
n,a
2n
,a
3n
,a
4n
仍成等比数列,利用该性质 不难解出
解:


∴{a
n
}成等比数列.

由等比数列的性质a
n
,a
2n
,a
3n< br>,a
4n
仍成等比
设公比为G

∴a
4n
=a
n
·G
3
=8×8
3
=4096
评注:

{a
n
}成等比数列,则a
k
,a
2k
,a
3k
,a
4k
仍成等比,且它们的公比是原 公比q的k次
方.

例7
{a
n
}为等 比数列,且a
n
>0,a
2
·a
4
+a
4
·a
6
+2a
3
a
5
=25
求a
3
+a
5

分析:
注意到下标特点,等比中项及等比数列有关性质不难得到结论
解:

∴由原式有:(a
3
+a
5
)
2
=25
又a
n
>0
∴a
3
+a
5
=5.

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