高中数学导数公式二次函数顶点坐标问题

二次函数顶点坐标问题
例4. 已知抛物线的解析式是。求：
（1）该抛物线绕x轴翻转180°所得图象的函数解析式。
（2）该抛物线绕顶点旋转180°所得图象的函数解析式。
（3）该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数解析式。
解析：（1 ）绕x轴翻转180°后的抛物线和原抛物线的形状相同，开口方向相
反，顶点关于x轴对称。
原抛物线可变形为，顶点（1，5）关于x轴的对称点是（1，）
所以新抛物线的解析式为，即
（2）绕顶点旋转180°后的函数图象，开口方向与原抛物线相反，顶点不变。
参照（1）得新抛物线解析式为，即
（3）抛物线的平移用一般式来解比较麻烦，而用顶点式则简单多了。依题意得
，即
五、求抛物线与x轴的两交点和顶点所围成三角形的面积
例5. 已知抛物线的解析式为
顶点为C。
（1）求△ABC的面积。
（2）抛物线上是否 存在点P，使得△ABP的面积为1？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由。
解析：（1）易知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）
所以AB＝2
，其图象与x轴的两交点为A，B，
由，得，可知
故
（2）由（1）知点C为满足条件的一个点P，在x轴的上方肯定还有另外两个点
满足要求。
因△ABP面积为1，所以，即
当时，，解得
所以点P的坐标为
六、求函数最大值，设计出最佳方案
或（2，）
例6. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与接受概念所用时间x（单位：
min）之间满足。y值越大， 表示接受能力越强。
（1）x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生的
接受能力逐渐降低？
（2）第10 min时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？
解析：抛物线是轴对称图形，找出抛物线的对称轴，就很容易确定其增减性。
由条件知
时，学生的接受（1）当时，学生的接受能力逐渐增强；当
能力逐渐降低。
（2）当
（3）当
时，
时，y取得最大值为59.9。
，即学生的接受能力为59。
所以，在第13 min时，学生的接受能力最强。