pages 公式二次函数顶点坐标公式

函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容
有很多方面 ，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面为大家整理
了二次函数顶点坐标的相关公式，希望 能帮到大家。
一、基本简介
一般地，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a ，b，c是常数，a0)的函数叫
做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 x为自变
量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。
主要特点
变量不同于 未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项
式函数。未知数只是一个数(具体值未知， 但是只取一个值)，变量可在一定范围
内任意取值。在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中 是未知函数，
但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况)，
但 是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出
二者的差别.如同函数不等于 函数关系。
二次函数图像与X轴交点的情况
当△=b²-4ac;0时，函数图像与x轴有两个交点。
当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。
当△=b²-4ac0时，函数图像与x轴没有交点。
二、二次函数图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函
数的图像是一条 永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图
像将是由一般式平移得到的。
轴对称
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b2a
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对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。
a,b同号，对称轴在y轴左侧.
a,b异号，对称轴在y轴右侧.
顶点
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b2a, (4ac-b²4 a).当
h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-
h )²+k。
h=-b2a，k=(4ac-b²)4a。
开口方向和大小
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a;0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素折叠
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a;0,与b同号时(即ab;0) ，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小
于0，也就是- b2a0,所以b2a要大于0，所以a、b要同号
当a;0,与b异号时(即ab0)，对称轴在y 轴右。因为对称轴在右边则对称轴
要大于0，也就是- b2a;0,所以b2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即 ab;0)，对称轴在y轴左;当a
与b异号时(即ab0 )，对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：
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二次函数图像 与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函
数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导 得到。
决定与y轴交点的因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于(0,C)
注意：
顶点坐标为(h,k)，与y轴交于(0,C)。
与x轴交点个数
a0;k;0或 a;0;k0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图
像与x轴只有1个交点。
a0;k0或a;0,k;0时，二次函数图像与X轴无交点。
当a;0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x
当a0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
三、二次函数公式汇总：
交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：
y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-
b 2a，(4ac-b^2)4a)
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
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(3)交点式(与x轴)：
y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的 横坐标，即一元二次
方程ax2+bx+c=0的两个根，a
0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶
点坐标是( h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线
a(x-h)2的顶 点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+b x+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实
数根x1和x2存在时，根据二次三 项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次
函数y=ax2+bx+c可转 化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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