平方的公式是什么简单几何体的表面积与体积教案 北师大版(新教案)

第课时简单几何体的表面积与体积



.
通过对柱、锥、 台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌握
柱、锥、台、球的表面积与 体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题
.

.
让学生经历几 何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,
掌握三者之间的表面积与体 积的转化
.

.
感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力 和空间想象能力,增强探索
问题和解决问题的能力
.





年月号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球状的形式
.
其 原理
就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压
缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状
是球状 的原因
.


问题: 直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?
直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积
.


()从侧面展开图可知:直棱柱侧面积
侧
,底面周长为,侧棱为
.

()棱锥侧面积
侧
,底面周长为,斜高为
'.

()棱台侧面积
侧
,上、下底面的周长分别为
'
、,斜高为
'.

问题:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?
< br>圆柱:侧面展开图是,长是圆柱底面圆的,宽是圆柱的高(母线)
圆柱侧
π
底面 半径为母线长
.

圆锥:侧面展开图为一个,扇形的半径是圆锥的,弧长等于圆锥底 面周长,侧面展开图的扇形
圆心角为θ
×
°
圆锥侧
π
圆锥表
π
圆柱表
π(),其中为圆柱
(),其中为圆锥底面半径为母线长
.


圆台:侧面展开图是,内弧长等于圆台,外弧长等于圆台,侧面展开图的扇环圆心 角为
θ
×
°
圆台侧
π(
'
)
圆台表
π(
''
)
.


问题:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式
.

()
柱
,其中和分别是柱体的底面积和高
.

特别地
圆柱
,其中和分别是圆柱的底面半径和高
.

()
锥
,其中和分别是锥体的底面积和高
.

特别地
圆锥
,其中和分别是圆锥的底面半径和高
.

()
台
(
'
),其中、
'
和分别是台体的上底面面积、下底面面 积和高
.

特别地
圆台
π(
''
),其中、
'
和分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高
.

()
球
π
.

问题:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?
从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为;当台体上底放大为与下底相
同 时,台成为
.
因此只要分别令和便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式
.从而锥、柱
的公式可以统一为台体的体积公式
.

柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系
.


(
'
、分别为上、下底面面积为柱、锥、台的高)

.
圆锥的底面半径为,高为,则圆锥的表面积为()
.

.
ππππ
.
长方体的高为,底面积为,垂直于底的对角面的面积是,则长 方体的侧面积等于()
.

.4
.
半径为的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为
.

.
一个底面直径为厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高厘米,求此球
的表面积
.





棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积
已知棱长为,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积
.











球的表面积与体积
已知过球面上三点、、的截面到球心的距离等于球半径的一半且,求球的表 面积与球的体
积
.











简单组合体的表面积和体积
如图,在四边形中,∠°,∠°
积
.

.
求四边形绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体





如图所示,在长方体
''''
中,用截面截下一个三棱锥
''
,求三棱锥
''
的体积与剩余部分的体
积之比
.





已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上,且






牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组 合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭
建这样的一个蒙古包至少需要多少的篷布,这个蒙古包占多大的 体积?(精确到 )
,求棱锥的体积
.





.
一个球的大圆面积为π,则球的表面积和体积分别为()
.

ππππππππ
.
若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表 面积是()
.

ππππ
.
长方体的三个面的面积分别为、和,则长方体的体积为
.

.
如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积
.




(年·江苏卷)如图,在三棱柱
1
C
中分别 是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱
1
C
的体积为,
则
∶.


考题变式(我来改编):






第课时简单几何体的表面积与体积


知识体系梳理
问题:()()
'
()(
'
)
'

问题:矩形周长扇形母线扇环上底周长
下底周长
问题:()π
()π
问题:锥柱
' '

基础学习交流
∵
,π()π()π
.

设长方体的长、宽、高分别为、、,则,·,
∴
,故
侧
()
.

设圆锥的底面半径为,则有ππ ,所以,所以圆锥高为,所以
圆锥
π()·
.

.
解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为,圆柱底面半径为
.

则ππ
.

所以球的表面积ππ
×
π(平方厘米)
.

重点难点探究
探究一:

【解析】如图,四棱锥的各棱长均为,各侧面都是全等的正三角形
.

设为的中点,则⊥
.

,
∴
侧
△
×××××
∴
表侧底
.

,
易知四棱锥的高
.

.

∴
底
××
【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的几
何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直
角梯形, 将立体问题转化为平面问题解决
.

探究二:

【解析】设球心为,球半径为,作⊥平面于,如图
.

由于,则是△的外心,设是的中点,由于,则∈,连接
.

设,易知⊥,
则
又,
∴
.

,
解得,则
.

在△中,∠°,
由勾股定理得()(),
解得
.

ππ
.
故
球
ππ
球
【小结】球的截面问题主要考 查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角
三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之 间的转化
.

探究三:

【解析】过点作⊥交于点,将四边形绕所 在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形旋转
出的圆台与△旋转出的圆锥拼接而成的组合体
.

由图计算可得,
∴
表
π·π()·π··π
∴
π(·)π·π
.

π;
【小结】首先根据旋转的图像,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求 表
面积和体积
.

思维拓展应用
应用一:已知长方体可以看成直四 棱柱
''''
,设它的底面
''
的面积为,高为,则它的体积为
.< br>
而三棱锥
''
的底面面积为,高是,
因此,三棱锥
''< br>的体积
''
×
剩余部分的体积是
.

.

所以三棱锥
''
的体积与剩余部分的体积之比为
∶∶.

应用二:

如图,连接交于点,则为矩形所在小圆的圆心,连接,则⊥面,
易求得,又,
∴
,
∴
棱锥体积
×××.

应用三:上部分圆锥体的母线长为
其侧面积为π
××
,
,
下部分圆柱体的侧面积为π
××.

π
××
π
××
≈().
所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约的篷布
.

π
×
()
××
π
×
()
×
≈().
这个蒙古包占的体积约为().
基础智能检测
由球的大圆面积为π,得到球的半径,
∴
表
ππππ
.
< br>设底面圆半径为,则(),
∴
,母线,
∴
底
ππ
侧< br>ππ,
∴
表
π
.
故选
.

设长方体的三边长为,则则
.

.
解:设圆台的上底半径为,下底半径为
.

由图知母线,
π
×
π
×
,
所以,
侧
π
××
π,
所以
表
π
×
π
×
ππ,
,
所以(π
全新视角拓展
π)
×
π
.

由 题意知,三棱锥与三棱柱
1
C
的高之比为,底面积之比为,故
∶
思维 导图构建
圆柱侧
π
圆锥侧
π
圆台侧
π
.

(
'
)
圆柱
π
圆锥
π
圆台
π(< br>''
)
球
π



虽然在学习的过程中会 遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多 了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快
乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容 易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表 现得更好。青春的执迷和坚持会撑起
你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风 顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千 虑，必有一得,
学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵 魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情，
就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。