对数函数换底公式高考试题—锥体与球体的表面积或体积

2016年03月13日沐玖的高中数学组卷


一．选择题（共30小题）
1．（2015?徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3 、4、5，且它的八个顶点都在一
个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π

2．（2014?广西模拟）将边长为a的正方 形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱
锥D﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．

3．（2014春?滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的8个顶点
都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．25π B．50π C．125π D．都不对

4．（2000?天津）一个圆柱的侧面展开图 是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
（ ）
A． B． C． D．

5．（2015?武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的 体积为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16

6．（2015 ?沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几
何体的内切球的体积为 （ ）
A．π B．π C． D．π

7．（2016?宝鸡一模）已知三 角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，
PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若 点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于
（ ）
A．4π B．π C．12π D．20π

8．（2016?宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A．208π B．128π C．64π D．32π

9．（20 15?新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，
若三棱 锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π

10．（2015?哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其 底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一
个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面 积是（ ）
A． B． C． D．

11．（2015?衡水四模）如图是 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积
为8的矩形，则该几何体的表面积是（ ）
A．20+8 C．8 D．16

12．（2015?沈阳校级模拟）如图 ，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个
四棱锥的侧面积为（ ）

B．24+8
A．2 B．6 C．2（） D．2（+）+2

13 ．（2015?邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，
SA =2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（ ）
A．64π B．16π C．12π D．4π


+
14．（2015?厦门模拟）如图1，已 知正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的 棱长为a，动点M，N，Q
分别在线段AD
1
，B
1
C，C
1
D
1
上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN
正视 图的面积等于（ ）

A． B．a
2
C． D．a
2


15．（2015?河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一 部分后所剩几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．

16．（2015秋?深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A< br>1
B
1
C
1
的体积为V，P、Q分别是侧棱AA
1< br>、
CC
1
上的点，且PA=QC
1
，则四棱锥B﹣APQC的 体积为（ ）
A． B． C． D．

17．（2015?沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可
得这个几何体的体积是（ ）

A． B． C．2cm
3
D．4cm
3


18．（2015?武 昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以
圆柱的上底面为底面，下底面 圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球
放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平 面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环
面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S
圆和S
圆环
，那么（ ）

A．S
圆
＞S
圆环
B．S
圆
=S
圆环
C．S
圆
＜S
圆环
D．不确定

19．（2015?重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在A B上，且PO⊥平面ABC，
2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（ ）
A． B．2π C． D．

20．（2015?河池一模）将一张边长为6c m的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的
等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底 的正四棱锥（底面是正方形，顶点在
底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视 图是正三角形（如图3），
则正四棱锥的体积是（ ）

A．cm
3
B．cm
3
C．cm
3
D．cm
3


21．（2015?天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B． C． D．2

22．（2015?石家庄一模）在棱长为3的正方 体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，P在 线段BD
1
上，且
，M为线段B
1
C
1
上的动点， 则三棱锥M﹣PBC的体积为（ ）
A．1
C．
B．
D．与M点的位置有关

23．（2015?昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．

24．（2015?大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC ，
2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．8π B．6π C．4π D．2π

25．（2015?银川校级三模） 以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是
（ ）

A．2cm
3
B．3cm
3
C．4cm
3
D．5cm
3


26．（2015?嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD 中，B
1
，D
1
分别为侧棱VB、VD的中点，则
四面体AB
1
CD
1
的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3

27．（2015?赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣ A
1
B
1
C
1
中，A
1
C
1=2，AA
1
=，D为BC的中点，
则三棱锥A﹣B
1
DC1
的体积为（ ）
A． B．2 C．1 D．3

28．（2 015?宁城县一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，
侧（左）视图 是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（ ）

A． B． C． D．

29．（2015?黄山二模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体ABCD的顶点坐 标分别是（1，
0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面 积不可能为（ ）
A．

30．（2015?兰州模拟）已知长方体ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的各个顶点都在表面 积为16π的球面
上，且AB=AD，AA
1
=2AD，则四棱锥D
1
﹣ABCD的体积为（ ）
A．


B． C．2 D．4
B． C． D．

2016年03月13日沐玖的高中数学组卷

参考答案与试题解析


一．选择题（共30小题）
1．（20 15?徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一
个球面上，这个 球的表面积是（ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】设出球的半径，由于直径 即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求
出球的表面积．
【解答】解：设球的 半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）
2222
=3+4+5=50 ，
∴R=．
∴S
球
=4π×R
2
=50π．
故选C
【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．

2．（2014?广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱< br>锥D﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题．
【分析】取AC的中点O， 连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可
求三棱锥D﹣ABC的体积．
【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，
△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，
DO=B0==，BD=a，
△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，
DO就是三棱锥D﹣ABC的高，
S
△ABC
=a
2
三棱锥D﹣ABC的体积：
故选D．
，

【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题．

3．（20 14春?滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点
都在同一球面上 ，则这个球的表面积是（ ）
A．25π B．50π C．125π D．都不对
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题．
【分析】由题意长 方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求
出球的直径，然后求出球的表面 积．
【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：
所以球的半径为：，
，
所以这个球的表面积是：=50π．
故选B．
【点评】本题是基础题，考查球的内 接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直
径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键， 考查计算能力，空间想象能力．

4．（2000?天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正 方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题．
【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．
【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，
全面积：侧面积=[（2πr）
2
+2πr
2
]：（2πr）
2

=．
故选A．
【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．

5．（2015?武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征 ，然后，建立关系式：
，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而
求解其体积．
【解答】解：由三视图，得
该几何体为三棱锥，
有
∴x
2
+y
2
=128，
∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，
，
此时，V=××2×6×8=16，
故选：D．
【点评】本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识，属于中档题．

6． （2015?沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几
何体的内切 球的体积为（ ）
A．π B．π C． D．π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图是边长为1的正方形， 得几何体是棱长为1的正方体，即可求
出这个空间几何体的内切球的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图是边长为1的正方形，得几何体是棱长为1的正方体，
∴几何体的内切球的体积为V=π×（）
3
=．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图求这个空间几何体的内切球的体积，判断几何体的形状是关键．

7．（2016?宝鸡一模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，
P A=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于
（ ）
A．4π B．π C．12π D．20π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】设球心为O，由点P、A、B、C、D都在 同一球面上，可得球的直径就是矩形对角
线的长，求得球的半径，从而得出表面积．
【解答】解：设球心为O，如图．
由PA=PD=AB=2，∠APD=90°，可求得AD=2，
在矩形ABCD中，可求得对角线BD=
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴球的半径R=BD=
=2，
则此球的表面积等于=4πR
2
=12π．
故选：C．

【点评】本题是中档题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同
一球面上 ，考查计算能力，空间想象能力．

8．（2016?宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A．208π B．128π C．64π D．32π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题；数形结合；综合法；立体几何．
【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条 侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球半径，
代入求得表面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为4，
底面为等腰三角形，底边长为6，高为3．
∴△ABC为等边三角形，外接圆的半径r=2，
∴几何体的外接球的半径R==4，
∴外接球的表面积S=4π×16=64π．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体 的结构特
征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．

9．（2015?新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，< br>若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时， 三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱
锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的 表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积
最大，设球O的半径为R，此时V
O
﹣
ABC
=V
C
﹣
AOB
=
球O的表面积为4πR
2
=144π，
故选C．
==36，故R=6，则

【点评】本题考查球的半径与表面积， 考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直
径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．

10．（2015?哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面 垂直，一
个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高 ；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得
球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△ 的面积；得出棱柱的表面
积．
【解答】解：由球的体积公式，得πR
3
=
∴R=1．
∴正三棱柱的高h=2R=2．
设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：?
∴a=2．
=18．
a=1，
，
∴该正三棱柱的表面积为：3a?2R+2×
故选C． 【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是
通过正△ 的内切圆与边长的关系得出的．

11．（2015?衡水四模）如图是一个几何体的正（ 主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积
为8的矩形，则该几何体的表面积是（ ）

A．20+8 B．24+8 C．8 D．16
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离． < br>【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高
为，故 先求出底面积，求解其表面积即可．
=4， 【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为
由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，
又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，
表面积为：2×2+16+8=20+8．
故选A．
【点评】本题考点是由三视图 求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考
查三视图与实物图之间的关系，用三视图中 的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式
求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽
相等”．

12．（2015?沈阳 校级模拟）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个
四棱锥的侧面积为（ ）

A．2 B．6 C．2（+） D．2（+）+2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图得出空间几何体的直观图，运用几何体的性质求解侧面积．
【解答】解：
根据三视图画出直观图，


得出：PA=2，AC=2，AB=，PB=，
PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，
∴这个四棱锥的侧面积为2××+2×××=2（），
故选：C
【点评】本题考查 了空间几何体的三视图，空间几何体的性质，关键是确定直观图，恢复得
出直线平面的位置关系，属于中 档题．

13．（2015?邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上 ，SA⊥平面ABC，
SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（ ）
A．64π B．16π C．12π D．4π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的 球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所 得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2
此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．
【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC=，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，
∵SA⊥平面ABC，SA=2
∴球O的半径R=4，
∴球O的表面积S=4πR
2
=64π．
故选：A．
，

【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关
键．

14．（2015?厦门模拟）如图1，已知正方体ABCD﹣A
1
B< br>1
C
1
D
1
的棱长为a，动点M，N，Q
分别在线段 AD
1
，B
1
C，C
1
D
1
上，当三棱锥 Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN
正视图的面积等于（ ）

A． B．a
2
C． D．a
2

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离． < br>【分析】由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D
1
，N在C，所以三棱锥Q﹣BMN正 视图
为△D
1
EC（E为D
1
D的中点），即可求出三棱锥Q﹣BM N正视图的面积．
【解答】解：由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D
1
，N在C，
所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D
1
EC（E为D
1
D的中点），
其面积为=．
故选：B．
【点评】本题考查三棱锥Q﹣BMN正视图的面积，考查 学生的计算能力，确定三棱锥Q﹣
BMN正视图为△D
1
EC是关键．

15．（2015?河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案． 【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的
基础上，
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V
三棱锥
==1，
所以V=4×3﹣1=11．
故选：C
【点评】本题考查了空间几何体的性质，求 解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，
运用体积公式．

16．（201 5秋?深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的体 积为V，P、Q分别是侧棱AA
1
、
CC
1
上的点，且PA=QC< br>1
，则四棱锥B﹣APQC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题．
【分析】由已知中三棱柱A BC﹣A
1
B
1
C
1
的体积为V，P、Q分别是侧棱AA< br>1
、CC
1
上的点，
且PA=QC
1
，我们可得S< br>APQC
=，即V
B
﹣
APQC
=，再结合同底等高的
棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即可求出答案．
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的体积为V，
又∵P、Q分别是侧棱AA
1< br>、CC
1
上的点，且PA=QC
1
，
∴四棱锥B﹣APQC 的底面积S
APQC
=
又V
B
﹣
ACC1A1
=< br>∴V
B
﹣
APQC
===


故选C．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积、棱锥的体积，其中分析出棱锥与原棱柱之间底面
积、 高之间的比例关系是解答本题的关键．

17．（2015?沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可
得这个几何体的体积是（ ）

A． B． C．2cm
3
D．4cm
3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体， 然后直接利用三棱锥的体积公
式求解．
【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形 ，且边长为2cm，高为2cm的四棱
锥，
如图，

故
故选B．
，
【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几
何体是解答该题的关键，是基础题．

18．（2015?武昌区模拟）如图，取 一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以
圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥， 把所得的几何体与一个半径为R的半球
放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体 ，截面分别为圆面和圆环
面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S
圆
和S
圆 环
，那么（ ）

A．S
圆
＞S
圆环
B．S
圆
=S
圆环
C．S
圆
＜S
圆环
D．不确定
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据图形得出，S
截面圆
=π（R
2
﹣d
2
），r =d，S
圆环
=π（R
2
﹣d
2
），即可判断．
【解答】解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S
截面圆
=π（R
2
﹣d
2
），
②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为 底面，下底
面圆心为顶点的圆锥，
∴r=d，S
圆环
=π（R
2
﹣d
2
），
根据①②得出：S
截面圆
=S
圆环
，
故选：B
【点评】本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．
< br>19．（2015?重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（ ）
A． B．2π C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离． < br>【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB
是球的直径 ，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．
【解答】解：设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=AB=，
∴AC=R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC
2
=AB
2
﹣ AC
2
=R
2
，
所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，
∴V
P
﹣
ABC
=
即R
3
=9，R
3
=3，
=4π．
=，
所以：球的体积V
球
=×πR
3
=×π×3
故选D． 【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理
地化空间 问题为平面问题．

20．（2015?河池一模）将一张边长为6cm的纸片按如图1所 示的阴影部分截去四个全等的
等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是 正方形，顶点在
底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图 3），
则正四棱锥的体积是（ ）

A．cm
3
B．cm
3
C．cm
3
D．cm
3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据 图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为
棱锥的斜高为a，运用图1得出；【解答】解：
×6=，a=2
a，正四
，计算计算出a，代入公式即可．

∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为
∴正四棱锥的斜高为a，
a，
∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三
角形
∴×6=，a=2，
a
2
×a=， ∴正四棱锥的体积是
故选：A
【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维
能力 ，属于中档题．

21．（2015?天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V =Sh得出h，再根据表面积公式得
S=3ah+2?=+，最后利用导函数即得底面边长．
【解答】解：设底边边长为a，高为h，
则V=Sh=a
2
×h，
， ∴h=
则表面积为S=3ah+2?=+，
则令S′=a﹣=0，
解得a=即为所求边长．
故选：B．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不
等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于 基础题．

22．（2015?石家庄一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，P在线段BD
1
上，且
，M为线段B
1
C
1
上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积 为（ ）
A．1
C．
B．
D．与M点的位置有关
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】如图 所示，连接BC
1
，取=，可得PN∥D
1
C
1
，=1，由 于D
1
C
1
⊥
平面BCC
1
B
1
，可得PN⊥平面BCC
1
B
1
，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V
三棱锥
P
﹣
BCM
=即可得出．
=，
【解答】解：如图 所示，连接BC
1
，取
则PN∥D
1
C
1
，，PN =1，
∵D
1
C
1
⊥平面BCC
1
B
1
，
∴PN⊥平面BCC
1
B
1
，
即PN是三棱锥P﹣BCM的高．
∴V
三棱锥
M
﹣
PBC
=V
三棱锥
P
﹣
BCM
=
故选：B．
==．

【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中 平行线分线段成
比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

23．（2015?昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：
（1）有一个面是边长为1的等边三角形；
（2）有两个面是等腰直角三角形．
那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】综合题；空间位置关系与距离．
【分 析】由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD
是等 边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体
积即可 ．
【解答】解：由题意，分类讨论可得
（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A﹣BCD的体积为
=；
（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A﹣BCD的体积为
=；
（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=
以四面体A﹣BCD的体积为=．
，所
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥体积的 计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的
能力，属于中档题．

24．（2015?大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．8π B．6π C．4π D．2π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】如图所示，由于三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O 在AB上，且PO⊥平面ABC，
可得PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，A C⊥BC．而2AC=AB，可得BC=x，
AC=x．利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的 体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
∴PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵2AC=AB，
∴∠ABC=60°，
∴BC=x，AC=
∴V
P
﹣
ABC
=
解得x=．
=．
x．
==，
∴该三棱锥的外接球的体积V=
故选：C．

【点评】本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了< br>推理能力与计算能力，属于中档题．

25．（2015?银川校级三模）以下是某 个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是
（ ）

A．2cm
3
B．3cm
3
C．4cm
3
D．5cm
3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图得到原几何体，然后直接由棱柱的体积公式求得答案．
【解答】解：由三视图作出几何体原图形如图，

则原几何体为底面三角形是等腰三角形，高为3的直三棱柱，
且底面三角形ABC的面积为S=．
∴该几何体的体积V=S
△ABC
?EF=1×3=3（cm
3
）．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的三视图，关键是能由三视图得到原几何体，是中档题．

26．（2015?嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD中，B
1
，D< br>1
分别为侧棱VB、VD的中点，则
四面体AB
1
CD
1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】棱锥A﹣B
1
CD
1
的体积可以看成四棱锥P﹣ABCD的体积减去 角上的四个小棱锥的
体积得到，由B
1
，D
1
分别为侧棱VB、VD 的中点，得到棱锥B
1
﹣ABC的体积与棱锥D
1
﹣ACD的体积和为四棱锥 V﹣ABCD的体积的；棱锥B
1
﹣VAD
1
的体积与棱锥B
1﹣VCD
1
的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．由此可得答案．
【解答】解：如图，

棱锥A﹣B
1
CD
1
的体 积可以看成是四棱锥V﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得
到，
∵B
1
为PB的中点，D
1
为PD的中点，
∴棱锥B1
﹣ABC的体积是棱锥V﹣ABC体积的，棱锥D
1
﹣ACD的体积是棱锥V﹣ ACD
的体积的，
∴棱锥B
1
﹣ABC的体积与棱锥D
1
﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；
棱锥B
1
﹣VAD
1< br>的体积是棱锥B﹣VAD体积的，棱锥B
1
﹣VCD
1
的体积是棱锥B ﹣VCD体
积的，
∴棱锥B
1
﹣VAD
1
的体积与棱锥B
1
﹣VCD
1
的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．
则中间剩 下的棱锥A﹣B
1
CD
1
的体积V=四棱锥P﹣ABCD的体积﹣个四棱锥P ﹣ABCD的
体积
=个四棱锥P﹣ABCD的体积，
则两个棱锥A﹣B
1
CD
1
，P﹣ABCD的体积之比是1：4．
故选：C．
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档
题．

27．（2015?赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣A
1
B
1C
1
中，A
1
C
1
=2，AA
1
=， D为BC的中点，
则三棱锥A﹣B
1
DC
1
的体积为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由题意求出底面B
1
DC
1
的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
【解答】解：∵正三棱柱 ABC﹣A
1
B
1
C
1
的底面边长为2，侧棱长为，D为B C中点，
∴底面B
1
DC
1
的面积：=，
． A到底面 的距离就是底面正三角形的高：
三棱锥A﹣B
1
DC
1
的体积为：= 1．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．
28．（2015?宁城县一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，
侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（ ）

A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图还原原直观图，可得三棱锥的底面是正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=2，
求出 底面积后直接代入棱锥的体积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，
底面ABCD的对角线线长为2，
则正方形ABCD的边长为，
∴
∴
故选：B．
，
=．

【点评】本题考查了三视图，考查了棱锥的体积，关键是由三视图还原原直观图，是中档题．

29．（2015?黄山二模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1 ，
0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长 是1的正方体的四个顶点组成
的正四面体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面 积不会超过1，
则答案可求．
【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：
（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），
几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，

其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，
投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，
∴不可能为，
故选：D．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想
方法 ，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

30．（2015?兰 州模拟）已知长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的各个顶点都在表面积为16π的球面
上，且AB=AD，AA
1
=2AD， 则四棱锥D
1
﹣ABCD的体积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】设A D=x，长方体的外接球的半为R，利用
解出x，R，再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】解：设AD=x，长方体的外接球的半为R，
则
∴
化为8x
2
=16，
解得x=，
=（2R
2
），4πR
2
=16π，
+（2x）
2
=4R
2
，R
2
=4．
= （2R
2
），4πR
2
=16π，
∴四棱锥D
1
﹣ ABCD的体积V=
故选：B．
==．

【点评】本题考查了线面垂直的 判定与性质定理、长方体的对角线与外接球的直径直径的关
系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．