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理财利息计算公式七年级数学下册 第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式讲解与例题 (新版)沪科版(1)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 13:16
tags:平方和公式

刘也行-大学生演讲稿


8.3 完全平方公式与平方差公式


1.了解乘法公式的几何背景,掌握公式的结构特征,并能熟练运用公式进行简单的计
算. < br>2.感受生活中两个乘法公式存在的意义,养成“观察—归纳—概括”的数学能力,体
会数形结合 的思想方法,提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力,进一步增强符号
感和推理能力.

1.完全平方公式
(1)完全平方公式:
222
(
a

b
)=
a
+2
ab

b
, < br>222
(
a

b
)=
a
-2
ab< br>+
b
.
上式用语言叙述为:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方 和加(或减)这两
个数乘积的2倍.
(2)完全平方公式的证明:
2
(< br>a
±
b
)=(
a
±
b
)(
a
±
b
)
22

a
±
ab
±
a b

b
(多项式乘多项式)
22

a
±2
ab

b
(合并同类项).
(3)完全平方公式的特点:
①左边是一个二项式的完全平方,右边是一个二次三项式,其中 有两项是公式左边二项
式中每一项的平方,另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可简单概括为“首平 方,尾平
方,积的2倍夹中央”.
②公式中的
a

b
可以是单项式,也可以是多项式.
③对于符合两数和(或差)的平方的乘法,均可用上述公式计算.
【例1-1】用完全平方公式计算
22
(1)(
x
+2
y
);(2)(2
a
-5);
22
(3)(-2
s

t
);(4)(-3
x
-4
y
);
2
(5)(2
x

y
-3
z
).
2
分析:第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算;第(3)题可先把它变成(
t
-2
s
),
然后再计算,也可以把-2
s
看成一项,用和平 方公式计算;第(4)题可看成-3
x
与4
y
差的
平方,也可以看成 -3
x
与-4
y
和的平方;(5)可把2
x

y< br>看成一项,用差平方公式计算,然
后再用和平方公式计算,也可以把它看成2
x

y
-3
z
的和平方,再用差平方公式计算.
2
解:(1)(
x
+2
y
)
2222

x
+2·
x
·2
y
+(2
y
)=
x
+4
xy
+4
y

222
(2)(2
a
-5)=(2
a
)-2·2
a
·5+5
2
=4
a
-20
a
+25;

1 (3)(-2
s

t
)=(
t
-2
s
)
2222

t
-2·
t
·2
s
+(2
s
)=
t
-4
ts
+4
s

2
(4)(-3
x
-4
y
)
22
=(- 3
x
)-2·(-3
x
)·4
y
+(4
y
)
22
=9
x
+24
xy
+16
y

22
(5)(2
x

y
-3
z
)=[2< br>x
+(
y
-3
z
)]
22
=(2
x
)+2·2
x
·(
y
-3
z
)+(
y< br>-3
z
)
222
=4
x
+4
xy
-12
xz

y
-2·
y
·3
z
+(3< br>z
)
222
=4
x

y
+9
z< br>+4
xy
-12
xz
-6
yz
.
(1)千 万不要与公式(
ab
)=
ab
混淆,发生类似(
a
±
b
)=
a
±
b
的错误;(2)
切勿把“乘积项”2
ab
中的2漏掉;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的
条件,如符合,则 可以直接套用公式进行计算;如不符合,应先变形,使其具备公式的结构
特点,再利用公式进行计算,如 变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计
22
算.此外,在运用公式时要灵活 ,如第(4)题,由于(-3
x
-4
y
)与(3
x
+4y
)是相等关系,
22
故可以把(-3
x
-4
y
)转化为(3
x
+4
y
),再进行计算,再如(5)题,也有许多不同的方 法.
(4)完全平方公式的几何解释.
2222
如图是对(
a

b
)=
a
+2
ab

b
几何意义的阐释. 大正方形的面积可以表示为(
a

b
),
22
也可以表示为
S

S


S


S


S

,又
S


S


S


S

分别等于
a

ab

ab

b
,所以
S

a
2
ab

ab

b
2

a
2
+2
ab

b
2
.从而验证了完全平方公式(
a< br>+
b
)
2

a
2
+2
ab

b
2
.
222222
22

2
如图是 对(
a

b
)=
a
-2
ab

b
几何意义的阐释.正方形Ⅰ的面积可以表示为(
a

b
),
22
也可以表示为
S


S


S


S


S

,又
S

S


S


S

分别等 于
a

ab

b

ab
,所以
S
2222222


a

ab

ab
b

a
-2
ab

b
.从而验证了 完全平方公式(
a

b
)=
a
-2
ab

b
.
222

【例1-2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形 ,请利用图中的空白部分面积的不
同表示方法,写出一个关于
a

b
的恒等式:__________________.

解析:根据图中的面积写一个恒等式 ,需要用两种方法表示空白正方形的面积.首先观
察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成,所以 空白正方形的面积等于大正方形的面
2
积减去四个矩形的面积,即(
a
b
)-4
ab
,空白正方形的面积也等于它的边长的平方,即(
a
222

b
),根据面积相等有(
a

b
)-4
ab
=(
a

b
).
22
答案:(a

b
)-4
ab
=(
a

b
)

2
2.平方差公式
(1)平方差公式:
22
(
a

b
)(
a

b
)=
a
b
.
上式用语言叙述为:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(2)平方差公式的证明:
(
a

b
)(
a

b
)
22

a

ab

ab

b
( 多项式乘多项式)
22

a

b
(合并同类项).
(3)平方差公式的特点:
①左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数;
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方);
③公式中的
a

b
可以是具体的数,也可以是单项式或多项式. < br>利用此公式进行乘法计算时,应仔细辨认题目是否符合公式特点,不符合平方差公式形
式的两个二 项式相乘,不能用平方差公式.如(
a

b
)(
a
-2b
)不能用平方差公式计算.
【例2-1】计算:(1)(3
x
+2< br>y
)(3
x
-2
y
);
(2)(-
m
n
)(-
m

n
);
(3)(-2
x
-3)(2
x
-3).
分析:(1)本题 符合平方差公式的结构特征,其中3
x
对应“
a
”,2
y
对 应“
b
”;(2)题
中相同项为-
m
,互为相反数的项为
n
与-
n
,故本题也符合平方差公式的结构特征;(3)利
用加法交换律将 < br>原式变形为(-3+2
x
)(-3-2
x
),然后运用平方差公式计算 .
2222
解:(1)(3
x
+2
y
)(3
x< br>-2
y
)=(3
x
)-(2
y
)=9
x-4
y
.
22
(2)(-
m

n
) (-
m

n
)=(-
m
)-
n
.
222
(3)(-2
x
-3)(2
x
-3)=(-3+2
x
)(-3-2
x
)=(-3)-(2
x
)=9-4
x.
利用公式计算,关键是分清哪一项相当于公式中的
a
,哪一项相当于公式中的
b
,通常情况下,为防止出错,利用公式前把相同项放在前面,互为相反数的项放在后面,然后套用公式.
(4)平方差公式的几何解释
22
如图,阴影部分的面积可以 看成是大正方形的面积减去小正方形的面积,即
a

b
;若
把小长方 形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置,则此时的阴影部分的面积又可以看成
S


S


S

22

S

=(
a

b
)(
a

b
).从而验证了平方差公式(
a

b
)(
a

b
)=
a

b
.

【例2-2】下图由边长为
a

b< br>的两个正方形组成,通过用不同的方法,计算图中阴
影部分的面积,可以验证的一个乘法公式是_ ___________________.

3

分析:要表示阴影部 分的面积,可以从两个方面出发:一是观察阴影部分是由边长为
a
22
的正方形除去边 长为
b
的正方形得到的,所以它的面积等于
a

b
;二是阴 影部分是由两个
1
直角梯形构成的,所以它的面积又等于两个梯形的面积之和.这两个梯形的面 积都等于(
b
2

a
)(
a

b
),所以梯形的面积和是(
a

b
)(
a

b),根据阴影部分的面积不变,得(
a

b
)(
a
22 22

b
)=
a

b
.因此验证的一个乘法公式是 (
a

b
)(
a

b
)=
a
b
.
22
答案:(
a

b
)(
a

b
)=
a

b

3.运用乘法公式简便计算
平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础,而且在许 多的数字运算中也
有广泛地运用.不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关,但若根据数字 的结
构特点,灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式,常可以使运算变繁为简,化难为易.
解答此类题,关键是分析数的特点,看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式,
若改写成两数和 的形式乘以两数差的形式,则用平方差公式;若改写成两数和的平方形式或
两数差的平方形式,则用完全 平方公式.

222
【例3】计算:(1)2 013-2 014×2 012;(2)103;(3)198.
分析:(1)2 014=2 013+1,2 012=2 013-1,正好符合平方差公式,可利用平方差公
22
式进行简便运算;(2)可将103改 写为(100+3),利用两数和的平方公式进行简便运算;(3)
22
可将198改写为(2 00-2),利用两数差的平方公式进行简便运算.
2
解:(1)2 013-2 014×2 012
2
=2 013-(2 013+1)×(2 013-1)
222
=2 013-(2 013-1)
22
=2 013-2 013+1=1.
2222
(2)103=(100+3)=100+2×100×3+3
=10 000+600+9=10 613.
2222
(3)198=(200-2)=200-2×200×2+2
=40 000-800+4=39 204.

4.利用乘法公式化简求值
求代数式的值时 ,一般情况是先化简,再把字母的值代入化简后的式子中求值.在化简
的过程中,合理地利用乘法公式能 使整式的运算过程变得简单.
在代数式化简过程中,用到平方差公式及完全平方公式时,要特别注意应用
公式的准确性. < br>1
22
【例4】先化简,再求值:5(
m

n
)(< br>m

n
)-2(
m

n
)-3(
m

n
),其中
m
=-2,
n
=.
522222222
解:5(
m

n
)(
m
-< br>n
)-2(
m

n
)-3(
m

n
)=5(
m

n
)-2(
m
+2
mn
n
)-3(
m
-2
mn

n
)1
22222222
=5
m
-5
n
-2
m-4
mn
-2
n
-3
m
+6
mn
-3
n
=-10
n
+2
mn
.当
m
=-2,< br>n
=时,原式=-10
n
5
16
?
1
?2
+2
mn
=-10×
??
+2×(-2)×=-.

55
?
5
?
5.乘法公式的运用技巧

4 一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时,表面上看起来不能利用乘法公式,实际上
经过简单的变 形后,就能直接运用乘法公式进行计算了.有些题目往往可用不同的公式来解,
此时要选择最恰当的公式 以使计算更简便.
在运用平方差公式时,注意以下几种常见的变化形式:
①位置变化: < br>22
(
b

a
)(-
b

a
)=
a

b
.
②符号变化:
(-
a

b
)(-
a

b
) < br>2222
=(-
a
)-
b

a

b
.
③系数变化:
(0.5
a
+3
b
)(0.5
a
-3
b
)
22
=(0.5
a
)-(3
b
).
④指数变化:
2222
(
a

b
)(
a

b< br>)
222244
=(
a
)-(
b
)=
a< br>-
b
.
⑤增项变化:
22
(
a

b

c
)(
a

b

c
)=(
a

b
)-
c

22
(
a
b

c
)(
a

b

c< br>)=
a
-(
b

c
).
⑥增因式变化:
(
a

b
)(
a

b
)(-a

b
)(-
a

b
)
22222 22
=(
a

b
)(
a

b
)= (
a

b
).
⑦连用公式变化:
2244
(< br>a

b
)(
a

b
)(
a

b
)(
a

b
)
88

a

b
.

【例5-1】计算:( 1)(
a

b
+1)(
a

b
-1);
2
(2)(
m
-2
n

p
);
22
(3)(2
x
-3
y
)(2
x
+3
y
).
解:(1)(
a

b
+1)(
a

b
-1)
=[(
a

b
)+1][(
a

b
)-1]
222
=(
a

b
)-1=
a
+2
ab

b
-1.
2
(2)(
m
-2
n

p
)
2
=[(
m
-2
n
)+
p
]
2 2
=(
m
-2
n
)+2·(
m
-2
n
p

p

222

m
-4
mn
+4
n
+2
mp
-4
np

p.
22
(3)(2
x
-3
y
)(2
x
+3
y
)
2
=[(2
x
-3
y
)(2
x
+3
y
)]
222
=(4
x
-9
y
)
222222
=(4
x
)-2×4
x
×9
y
+(9
y
)
4224
=16
x
-72
xy
+81
y
.
在运用平方差公式时,应分清两个因式是否是两项之和与差的形式,符合形
式才可以用平方差公 式,否则不能用;完全平方公式就是求一个二项式的平方,其结果是一
222222
个三项式, 在计算时不要发生:(
a

b
)=
a

b
或(
a

b
)=
a

b
这样的错误;当因 式中含
有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,从而应用平方差公式或完全平方公式. 2482
n
【例5-2】计算:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1) 的值.
分析:为了能便于运用平方差公式,观察到待求式中都是和的形式,没有差的形式,可
设法构造出差的因数,于是可乘以(2-1),这样就可巧妙地运用平方差公式了.
2482
n
解:(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)
2482
n
=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)
22482
n
=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)…(2+1)
4482
n
=(2-1)(2+1)(2+1)…(2+1)
2
n
2
n
4
n
=…=(2-1)(2+1)=2-1.

5
6.乘法公式的实际应用
在解决生活中的实际问题时,经常把其中的一个量或几 个量先用字母表示,然后列出相
关式子,进而化简,这往往涉及到整式的运算.解题时,灵活运用乘法公 式,往往能事半功
倍,使问题得到快速解答.

2
【例6】一个正方形的边长增加3 cm,它的面积就增加39 cm,这个正方形的边长是多
少?
分析:如果设原正方形的边长为
x
cm ,根据题意和正方形的面积公式可列出方程(
x

22
3)=
x+39,求解即可.
22
解:设原正方形的边长为
x
cm,则(
x
+3)=
x
+39,
22

x+6
x
+9=
x
+39,解得
x
=5(cm).
故这个正方形的边长是5 cm.

7.完全平方公式的综合运用
学习乘法公式应注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”,注意为使用公式创造条
件.
(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式:
222

a

b
=(
a

b
)-2
ab

2 22

a

b
=(
a

b
)+2
ab

22
③(
a

b
)=(
a

b
)+4
ab

22
④(
a

b
)=(
a

b
)-4
ab
2222
⑤(
a

b
)+(
a

b< br>)=2(
a

b
);
22
⑥(
a

b
)-(
a

b
)=4
ab
等. 22222
在公式(
a
±
b
)=
a
±2
ab

b
中,如果把
a

b

ab
a

b
分别看做一个整体,则知道
了其中两个就可以求第三个 .
(2)注意公式的逆用
不仅会熟练地正用公式,而且也要求会逆用公式,乘法公式均可逆 用,特别是完全平
222222
方公式的逆用——
a
+2
ab

b
=(
a

b
),
a
-2
a b

b
=(
a

b
).

a
b
22
【例7-1】已知
a

b
+4
a
-2
b
+5=0,则的值是__________.
a
b
2222
解析:原等式可化为(
a
+4
a
+4)+(
b
-2
b
+1)=0,即(
a
+2)+(
b
-1)=0,根据非
a

b
负数的特点知
a
+2=0且< br>b
-1=0,从而可知
a
=-2且
b
=1.然后将其代入求的 值即可.
a

b
1
答案:
3
22
【例 7-2】已知
a

b
=2,
ab
=1,求
a

b
的值.
222
分析:利用完全平方公式有(
a
+< br>b
)=
a
+2
ab

b
,把2
ab
移到等式的左边,可得(
a

b
)
2
-2
ab

a
2

b
2
,然后代入求值即可.
22222222
解:∵(
a

b
)=
a
+2< br>ab

b
,∴
a

b
=(
a

b
)-2
aB.

a

b
=2,ab
=1,∴
a

b
2
=2-2×1=2.
涉及两数和或两数差及其乘积的问题,就要联想到完全平方公式.本题也可
2222
从条件出发 解答,如因为
a

b
=2,所以(
a

b
)=2,即
a
+2
ab

b
=4.把
ab
=1代入,得
a
2
+2×1+
b
2
=4,于是可得
a
2

b
2
=4-2=2.



6

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