净现金公式完全平方公式的推导及简单应用

完全平方公式
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
课题
第1课时 完
全平方公式
的推导及
简单应用

知识技能
教
学
目
标

数学思考

问题解决
情感态度
教学
重点
教学
难点
授课
类型
教具
教学
步骤
授课人 周凯
1、经历探究完全平方公式的过程，并归纳总结完全平方公式；
2、能运用完全平方公式进行简单的计算。
经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程 中，培养学
生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，培养学生
的数形结合意识.
了解(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
的几 何背景，发展几何观.
在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学生学习数学
的信心，感受数学的内在美.
理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.
经历探索完全平方公式的过程，并从推导 过程中，培养学生观察、发现、
归纳、概括、猜想等探究创新能力.
新授课 课时
多媒体
教学活动
师生活动
【课堂引入】
更大的生日蛋糕
大家都知道老师有两个孩子，有一天他们找我。
请两个同学来表演一下：
设计意图
1
活动
一：
创设
情境
导入
新课
儿子：去年我和妹妹的生日蛋糕都是面积只有
太小了。
的正方形，
通过实际情境让
学生产生兴趣，调
动学生学习积极
性。
女儿：是啊！我长大一岁了，生日蛋糕要再多出一个
儿子：我也长大一岁了，要求把蛋糕边长增加b，变为
（+b）
女儿：那不是一样大吗？
儿子：不对，我的蛋糕会更大。
同学们认为哥哥说的对吗？为什么？
活动

通过特例的探
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 (a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2

问题1：如图，你能用代数式表示哥哥想要蛋糕的面积
吗？








由图可以看出哥哥比妹妹的蛋糕多了两块。
因此(a＋b)
2
≠a
2
＋b
2

问题2：那么(a＋b)
2
等于什么呢？
请同学们小组交流，得出结果。
学生展示，得出公式
(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
由于两个代数式都表示同一图形的面积，因此相等。
问题3：你能用多项式乘多项式来验证两个代数式相
等吗？
学生交流展示

【探究2】 (a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2

问题1：老师还有一个公式没有完成，同学们能帮老师
完成吗？(a－b)
2
＝？
学生思考，交流展示。
问题2：你能自己设计一个图形解释这一公式吗？









问题3：分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描
述完全平方公式．
(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
；
(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2
.
结构特点：左边是二项式(两数和或差)的平方；右边是
两数的平方和加上(减去)这两数乘积的2倍．
语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加
上(或减去)这两数积的2倍． < br>索，引入完全平方
公式，再让学生自
己举例加深对公式
的体会．而在计算
图形的面积时，通
过对比这些表示方
式可以使学生对于
公式有一个直观的
认 识．同时在古代
人们也是通过类似
的图形认识了这个
公式．通过自主探
究和交 流学到了新
的知识，学生的学
习积极性和主动性
得到大大的激发．
问题1是让学
生从代数运算的角
度，推导出两数差
的完全平方公式，
培养学生 有条理的
思考和语言表达能
力．
问题2使学生
再次从几何的角度
来 验证两数差的完
全平方公式．从而
学生经历了几何解
释到代数运算，再
到几何 解释的过
程，学生的数形结
合意识得以培养，
并且从不同的角度
推导出了公式 ，并
且加以巩固．










处理方式：此环节的设计符合学生的认知水平和认知过
程，问题1教学中学生采用了不同的方法：①运用多项式

的乘法法则；②把两数差看作两数和 ，再运用两数和的公
问题3在前面的基
式．教师应重视学生对于算理的理解，让学生尝试说出每 础上，加以总结，
一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言
使得学生从形式上< br>表达能力． 初步地认识了完全
(多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会)
平方公式.
(a－b)
2
＝(a－b)(a－b)
＝a
2
－ab－ab＋b
2

＝a
2
－2ab＋b
2
. (a－b)
2
＝[a＋(－b)]
2

＝a
2
＋2a(－b)＋(－b)
2

＝a
2
－2ab＋b
2
.
问题2用几何解释验证两数和的 完全平方公式的巩固，同
时也是对于学生数形结合意识的一种培养，绝大多数学生
能够通过交流 合作得以掌握．通过几个活动学生能够初步
地掌握了完全平方公式，并在推导过程中培养了数学的基本能力．

(a－b)
2
＝a
2
－ab－b(a－b)，
即(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2
.
【应用举例】
例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)
2
； (2)(4x＋5y)
2
； (3)(mn－a)
2
.
处理方式：教师引导学生利用公式特点写出解答过程．规
范解答过程．
【变式训练】
11
计算：(1)(x－2y)
2
； (2)(2xy＋x)
2
；
25
(3)(n＋1)
2
－n
2
.
处理方式：三个学生到黑板板书，其他同学计算．

活动
三：
开放
训练
体现
应用
让学生进一步
巩固公式，熟练应
用公式．


进一步熟
悉公式．并通过小
组交流，自我检验，
巩固反馈.
【拓展提升】
例2 阅读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式(a±b)
2< br>＝a
2
±2ab＋b
2
，通过配方可对a
2
＋b2
进行适当的变形，如a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2－2ab或a
2
＋b
2
＝(a－b)
2
＋2ab，从而 使某些问题得到解决．
例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a
2
＋b
2
的值．
解 ：a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝5
2－2×3＝19.
问题解决：
11
(1)已知a＋＝6，则a
2＋
2
＝________；
aa
(2)已知a－b＝2，ab＝3，分 别求a
2
＋b
2
，a
4
＋b
4
的值．
观察公式特点：
(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
→a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab； < br>(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2
→a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab；
(a＋b)
2
－(a－b)
2
＝4ab.
【当堂训练】

进一步提高学生
灵活运用所学知
识，解决实际问题
的能力.
通过测试，全面
1．指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a－1)
2
＝2a
2
－2a＋1；
(2)(2a＋1)
2
＝4a
2
＋1.
2．运用完全平方公式进行计算：
(1)(－3＋2x)
2
； (2)(－4x－5y)
2
.
3．若a＋b＝5，求a
2
＋2ab＋b
2
的值．
处理方式：教师出示检测题，监督学生独立完成，学生
做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学 生答题
情况．学生根据答案进行纠错．

了解学生对本节课
掌握情况，以便 能
及时地进行查缺补
漏．使每个学生都
能在原来的基础上
获得较大的发展.
【课堂总结】
鼓励学生通过本
通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？先节课的学习，谈谈
想一想，再分享给大家．
自己的收获与感
受，加深对“温故
总结内容：
1．注意完全平方公式和平方差公式的不同：
而知新”的体
结果不同：
完 全平方公式的结果是三项．即(a±b)
2
＝a
2
±2ab＋b
2< br>.
平方差公式的结果是两项．即(a＋b)(a－b)＝a
2
－b
2
.
2．在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两
边，做到不丢项、不弄错符号、2 ab时不少乘2.
处理方式：学生争先恐后，积极回答，教师适当补充．
会．学生能 够在课
堂上畅所欲言，并
通过自己的归纳总
结，进一步巩固了
活动
四：
课堂
总结
反思

所学知识.


布置作业：
1．教材习题：课本P26习题1.11中T1，T2，T3，T4.

2．拓展练习：(a＋b)
2
与(a－b)
2
有怎样的联系？能否用

一个等式来表示两者之间的关系？并尝试用图形来验证你


的结论．






















【板书设计】

提纲挈领，重点突
出.

【教学反思】
①[授课流程反思]
通过几何图形面积的求法，复习平方差公式的同时，为
后面的对比学习完全平方公式做好准备.
②[讲授效果反思]
对计算结果结构特征的分析时教师板书其特征，让学生
更 容易看到其运算的过程，再结合几何图形的面积从直观反思，更进一步提
上进行巩固，让学生对完全平方 公式有较好的理解和认识.
升.
③[师生互动反思]
_____________________________________________
④[习题反思
好题题号_____________________________________
错题题号_____________________________________