人身损害赔偿计算公式自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导

法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：
由 1 + 2 + … + n-1 + n
n + n-1 + … + 2 + 1
（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）
可知
上面这种加法叫“倒序相加法”
※等差数列求和公式的推导
一般地，称

1、

思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：
为数列的前n项的和，用表示，即
①
②
由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等
差数列前n项和了。
2、

除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

=
=
=
=
这两个公式是可以相互转化的。把代入中，
就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得 到：第一个公式反映了等差数列的任
意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第 二个公式反
映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次
函数 ”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道
点是第一个公式还需知道
条件决定 选用哪个公式。
和n，不同
，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知

自然数平方和公式的推导与证明（一）
1
2
+2
2
+3< br>2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1)6，在高中数学中是用数学归纳法证 明的一个命题，
没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超
出初中数学内容。
一、 设：S=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2

另设：S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)< br>2
+…+(n+n)
2
，此步设题是解题
的关键，一般人不会这么去设 想。有了此步设题，
第一：S
1
=1
2
+2
2
+ 3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2< br>+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
中的1
2
+2< br>2
+3
2
+…+n
2
=S，
(n+1)
2< br>+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可以展开为(n
2
+2n+1
2
)+( n
2
+2×2n+2
2
)
+( n
2
+2×3n+3
2
)+…+( n
2
+2×nn+n< br>2
)=n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
，即 S
1
=2S+n
3
+2n(1+2+3+…+n)………………………… ……………………..(1)
第二：S
1
=1
2
+2
2< br>+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可以写为：
S
1
=1
2
+3
2
+5
2
…+ (2n-1)
2
+2
2
+4
2
+6
2
…+ (2n)
2
，其中：
2
2
+4
2
+6
2
…+(2n)
2
=2
2
(1
2
+2
2+3
2
+…+n
2
)=4S……………………………………..(2)
1
2
+3
2
+5
2
…+(2n-1)
2< br>=(2×1-1)
2
+(2×2-1)
2
+(2×3-1)
2
+…+ (2n-1)
2

= (2
2
×1
2
-2×2×1+1) +(2
2
×2
2
-2×2×2+1)
2
+(2
2
×3
2
-2×2 ×3+1)
2
+…+
(2
2
×n
2
-2×2×n+1)
2

= 2
2
×1
2
+2
2
×2
2
+2
2
×3
2
+…+2
2
×n
2
-2×2×1-2×2× 2-2×2×3-…-2×2×n+n
=2
2
×(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3< br>)
由(2)+ (3)得：
S
1
=8S-4(1+2+3+…+n) +n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2S+ n
3
+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即：6S= n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n
2
+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n
2
+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1) 6
亦即：S=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
= n(n+1)(2n+1)6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)6，其中n为最后一位自然数。
由 (5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)3，其中2n为最后一
位自然 数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)3，其中2n-1为 最后
一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
……………………… ……………………………….(1)
有S=n
3
+(n-1)
3
+ (n-2)
3
+…+1
3
……………………………………………...(2)
由(1)+ (2)得：2S=n
3
+1
3
+(n-1)
3
+2
3
+(n-2)
3
+3
3
+…+n
3
+1
3

=(n+1)(n
2
-n+1)
+
(n+1)[(n-1)
2
-2(n-1)+2
2
)
+
(n+1)[(n-2)
2
-3(n-2)+3
2
)
+
.
.
.
+
(n+1)(1
2
-n(n-n+1)(n-n+1+ n
2
)
即2S=( n+1)[2(1
2
+2
2
+3
2
+ …+n
2
)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n
(n-n+1)] ………………...(3)
由1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1) 6代入(2)得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+ 1)[2n(n+1)(2n+1)6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n -1+1)(n
-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)6-n
2
(1+n)2+1
2
+1+2
2
+2+…+(n-1)
2
+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)6-n
2
(1+n) 2+1
2
+2
2
+…+(n-1)
2
+1 +2+…+
(n-1)] ……...(4)
由1
2
+2
2
+…+(n-1)
2
= n(n+1)(2n+1)6-n
2
，1+2+…+(n-1)=n(n-1)2代入(4)得：
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)6-n
2
+n(n-1)2
=n
2
(n+1)
2
2
即S=1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
= n
2
(n+1)
2
4
结论：自然数的立方和公式为n
2< br>(n+1)
2
4，其中n为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导
设S=2
3
+4
3
+6
3
+…+(2n)
3
有S=2
3
(1
3
+2
3
+3
3< br>+…+n
3
)=8n
2
(n+1)
2
4=2n
2
(n+1)
2

结论：自然数偶数的立方和公式为2n
2(n+1)
2
，其中2n为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导
设S=1
3
+2
3
+3
3
+…+(2n)
3

由自然数的立方和公式为n
2
(n+1)
2
4 ，其中n为自然数代入左边
有n
2
(2n+1)
2
=2
3
+4
3
+6
3
+…+(2n)
3
+1
3
+3
3
+5
3
…+(2n-1)
3


=2n
2
(n+1)
2
+1
3
+3
3< br>+5
3
…+(2n-1)
3

移项得：1
3
+3
3
+5
3
…+(2n-1)
3
=n
2
(2n+1)
2
-2n
2
(n+1)
2


=n
2
(2n
2
-1)
结论：自然数奇数的立方和公式 为n
2
(2n
2
-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，
即n的 取值。
自然数平方和公式的推导与证明（二）
这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n
2
为了好打字）
一、推导
1、直接推导：
1+2+3+4+……+n=(1+n)*n2
+ +
2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)2
+ +
3+4+……+n=(3+n)*(n-2)2
+ +
. .
. .
(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)2 (i=0,……,n-1)
|| ||
S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导：
容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=13xn(n+1)(n+2)(数学归纳
法易证，而左式可写成
1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n)
于是
1x1 + 2x2 + ... + nxn=13xn(n+1)(n+2)-12xn(n+1)=16xn(n+1)(2n+1)
3、二项式推导：
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1

sum up both sides substract common terms:
(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n2+n+1==> solve for b
b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功，属奥妙之作
4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）

5、用现成恒等式推导

二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]6
=(k+1)(k+2)(2k+3)6
而等式的右边等于:(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)6
=(k+1)(k+2)(2k+3)6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学 老师的话来说，小
学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的
奥数方法呢
2、图形法
计算1
2
＋2
2
＋3
2
＋4
2
。
根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：1
2
=1×1=1、22
=2×2=2
＋2、3
2
=3×3=3＋3＋3、4
2
=4×4=4＋4＋4＋4，则1
2
＋2
2
＋3
2
＋4< br>2
=1＋2＋2＋3＋3
＋3＋4＋4＋4＋4。把这10个加数排写在一个三角形内（ 图1），计算这个算式
的和，就是计算这个三角形内所有数的和。（其实学生如果会算自然数n项和，< br>下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）

我们对图1 进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个
逆时针旋转60°得到图2，另一个 顺时针旋转60°得到图3。


先把图2和图3重合，得到图4。图4中，重合的 两个图形相对应位置的两个数
相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和 是8，
第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。
再把图 4和图1重合，得到图5。


从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个 数的和都是9，9=2×4＋1。
而10=1＋2＋3＋4=(1＋4)×4÷2。图5中所有数的和应 是图1中所 有数的和的
3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×(1＋4)× 4÷2÷3=4× (1
＋4)×（2×4＋1）×16。即12＋22＋32＋42=4× (1＋4)×（2×4＋1）×16。
观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：
1
2
＋2
2
＋3
2
＋4
2
＋…… ＋n
2
=n× (1＋n)×（2×n＋1）×16
这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。