happy的形容词-双引号的意思
§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理
一、广勾股定理
勾股定理反映了直角 三角形三边之间的度量
关系,即“斜边的平方等于两直角边的平方之
和”.如果不是直角三角形 ,而是锐角或钝角三
角形,那么它们的三边之间存在怎样的度量关系
呢?这就涉及到广勾股定理 了.
广勾股定理:在任一三角形中,
(1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方
和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射
影乘积的两倍.
(2)钝角对边 的平方等于其他两边的平方和,
加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘
积的两倍.
证明
(1)设△ABC中,AC是锐角B的对边(图2-
4).作BH⊥AC于H,因为
AB
2
=BH
2
+AH
2
,
BC
2
=BH
2
+CH
2
,
所以,
BC-AB=CH-AH.
∴BC
2
=AB
2
+CH2
-AH
2
. (1)
但是CH=(AC-AH)
=AC-2AC·AH+AH. (2)
将(2)代入(1)就得到
BC=AB+AC-2AC·AH.
(当H在AC边的延长线上时,结论是一样的.)
B
222
22
22
2222
C
H
图2-4
A
(2)设在△ABC中,BC是钝角A的对边(图2
-5).
作BH⊥CA于H,
则 BC
2
=CH
2
+BH
2
.
AB=AH+BH.
∴BC=AB+CH-AH. (1)
但是
CH=(AC+AH)=AC+2AC·AH+AH.(2)
将(2)代入(1)就得到
BC=AB+AC+2AC·AH.
由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结
论:
三角形的一角是锐角、直角或钝角时,它的
对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较
大,并且其逆命题也成立.
二、斯特瓦尔特(stewart)定理
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点
D,则有
AB·DC+AC·BD- AD·BC=BC·DC·BD.
222
222
2222
2222
222
证明 在图2- 6中,作AH⊥BC于H.为了明
确起见,设H和C在点D的同侧,那么由广勾股
定理有
AC
2
=AD
2
+DC
2
-2DC·DH,(1)
AB
2
=AD
2
+BD
2
+2BD·DH. (2)
用BD乘(1)式两边得
AC
2
·BD=AD
2·BD+DC
2
·BD-2DC·DH·BD,(1)′
用DC乘(2)式两边得
AD
2
·DC=AD
2
·DC+BD2
·DC+2BD·DH·DC.(2)′
由(1)′+(2)′得到
AC
2
·BD+AB
2
·DC=AD
2
(BD+DC)+D C
2
·BD+BD
2
·DC
而AD
2
(BD+D C)+DC
2
·BD+BD
2
·DC
=AD·BC+BD·DC·BC.
∴AB·DC+AC·BD- AD·BC=BC·DC·BD.
222
2
三、三角形中几条重要线段的计算
(一)已知△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,ma,mb,mc分别表示BC、AC、AB边上的中线,
求m
a
,m
b
,m
c
.
解在图2-7中,设D是BC边的中点,AD=
ma,
代入斯特瓦尔特定理之关系式则有
(二)设AD= ta为△ABC中角A的平分线(图2
-8).AB=c,AC=b,BC=a,求ta.
解
∵AD是∠A的平分线,
将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系
式,则有
(t
b
、t
c
分别是△ABC中∠B、∠C的角平分线
之长.)
(三)设△ABC中,h
a
是BC边上的高线,求h
a
和△ABC的面积.
解:设图2-9中,AD⊥BC于D,AD=ha.由
广勾股定理得
b
2
=c
2
+a
2
-2a·BD.
消去BD,得
同理:
(h
b
、h
c
分别为AC、AB边上的高.)
∴三角形ABC的面积:
这个三角形的面积公式在我国叫三斜求积公
式,国外叫做海伦公式.
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