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废气排放量计算公式海伦—秦九昭公式的推导和应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 11:26
tags:海伦公式

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海伦—秦九昭公式的推导与应用


海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传
说是古代的叙拉古国王 希伦
(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取
三角形面 积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式
其实是阿基米德所发现, 以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的
数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下
公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长:
p=(a+b+c)2
—————————————————————————————
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注1:《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以
的,但多用p作为半周长。
—————————————————————————————
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可
以用作求多边形面积 的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角
形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答 案。
证明(1):
与海伦在他的著作《度量论》)中的原始证明不同,在此我
们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为
A、B、C,则余弦 定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)2ab
S=12*ab*sinC
=12*ab*√(1-cos^2 C)
=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]
=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)2
则p=(a+b+c)2, p-a=(-a+b+c)2, p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-c)
2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明(2):
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基
本一样,其实在《九章 算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,
在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三 角形,要找出它来并
非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也
就 方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我
国著名的数学家九韶提出了“三斜 求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方
法。三 斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余
数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘 以大斜平方,送到上面得到的那个。
相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方 后即
得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,q为“实”。
以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=14[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 22) 2]
当P=1时,△ 2=q,
S△=√{14[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22) 2]}
因式分解得
116[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]
=116(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=18S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=12(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。
S=c2*根号下a^-{(a^-b^+c^)2c}^ .其中c>b>a.
根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:
已知四边形ABCD为圆的 内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,
求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,
a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√ 3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:
设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,
R、r分别为△ABC外接 圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则
S△ABC
=12 aha
=12 ab×sinC
=12 r p
= 2R2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数
学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的证明
证一 勾股定理
如右图

勾股定理证明海伦公式

证二:斯氏定理
如右图。


斯氏定理证明海伦公式

证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abc
osC 对其进行证明。
证明:要证明S =
则要证S =
=
= ab×sinC
此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。
证四:恒等式


恒等式证明(1)



恒等式证明(2)
证五:半角定理
∵由证一,x = = -c = p-c
y = = -a = p-a
z = = -b = p-b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得证。
二、 海伦公式的推广
由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式
进行推广。由于三角形内接于圆,所 以猜想海伦公式的推广为:在任意内
接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明:如图,延长DA,CB交于点E。
设EA = e EB = f
∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○
∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD
∴ = = =
解得: e = ① f = ②
由于S四边形ABCD = S△EAB
将①,②跟b = 代入公式变形④,得:
∴S四边形ABCD =
所以,海伦公式的推广得证。
三、 海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别 是在有关圆内接
四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。
例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB
= 1, CD = 2.
求:四边形可能为等腰梯形。
解:设BC = x
由海伦公式的推广,得:
(4-x)(2+x)2 =27
x4-12x2-16x+27 = 0
x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0
(x-1)(x3+x2-11x-27) = 0
x = 1或x3+x2-11x-27 = 0
当x = 1时,AD = BC = 1
∴ 四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
dima,b,c,p,q,s
a=inputbox(请输入三角形第一边的长度
b=inputbox(请输入三角形第二边的长度
c=inputbox(请输入三角形第三边的长度
a=1*a
b=1*b
c=1*c
p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
q=sqr(p)
s=(14)*q
msgbox(三角形面积为,三角形面积
在VC中实现
#include
#include
main()
{
inta,b,c,s;
printf(输入第一边n
scanf(
printf(输入第二边n
scanf(
printf(输入第三边n
scanf(
s=(a+b+c)2;
printf(面积为:%fn
}


海伦公式

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