升的换算公式鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数
-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚
数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、
兔各是多少只”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的
总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的
脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每
只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总
脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每
只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷
（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，
可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷
（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合< br>格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×
总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分 数+每
只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多 少
给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不
合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工 人生产了
1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不
合格”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好
无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还
需要赔成本××元……。它的解 法显然可套用上述公
式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换
后总脚 数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公
式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数 和）+
（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=
鸡数；
〔（两次总 脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）
-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=
兔 数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数
与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷
2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）


鸡兔同笼

目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方
程 二元一次方程
4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法
基本问题 特殊算法 习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五
头，下有九十四足，问雉兔各几何”这四句话的意
思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面 数，
有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只
鸡和兔
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数- 鸡的
脚数）=兔的只数
（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔
子数（12）=鸡数（23）
解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样 笼子里的
脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以
笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以 2就是兔子数。
虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡：2×35=70（只）
鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）
兔：24÷(4-2)=12 （只）
鸡：35－12=23（只）
假设法（通俗）
假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔
倒了， 只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：
59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只） 鸡：
35-12=23（只）
3方程法
一元一次方程
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷2
x=12
35-12=23(只）
或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时， 选择腿的只数多的动物，会在
套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程
解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35
2x+4y=94
（x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入（x+y=35)
x+12=35
x=35-12（只）
x=23（只）。
答：兔子有12只，鸡有23只
4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94
除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1 ，这
时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24
只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的
脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷
2=12只兔子，就有35－ 12=23只鸡
5列表法
腿数
鸡（只数）
兔（只数）
6详解
中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5
世纪。这本书浅显易懂，有 许多有趣的算术题，比
如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问
雉兔各几何
题目中给出雉兔共有 35只，如果把兔子的两只前
脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳
子捆起来，看作 是一只脚，那么，兔子就成了2只
脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚
数是35× 2=70（只），比题中所说的94只要少
94-70=24（只）。
现在，我们松开一只 兔子脚上的绳子，总的脚数就
会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚
上的绳 子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直
继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12
（只），从而鸡有35-12=23（只）。
我们来总结一下这道题的解题思路：如 果先假
设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在
假设下共有几只脚，把这样得到的脚数 与题中给出
的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有
1只兔，将所差的脚数除以2，就 可以算出共有多
少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：
兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每
只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全
是兔子。
我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，
鸡的数量为y
那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得
出：兔子有12只，鸡有23只。
7详细解法
基本问题
鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出
现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题 都可以转
化成这类问题，或者用解它的典型解法-- 假设法
来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，
244只脚，鸡和兔各有多少只

解：我 们设想，每只鸡都是金鸡独立一只脚站着；
而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站
着。 现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是
244÷2=122（只）.
在122这个 数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数
相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下
的 就是兔子头数
122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数- 兔子数=鸡数
特殊算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法
和一次减 法，马上能求出兔子数，多简单！能够这
样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又
是 2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，
脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不
通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，
比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.
说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。
而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚
数）.
当然，我们也可以设想88只都是鸡那么共有脚
2×88=176（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的鸡有34只是兔子，也可以列出公
式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚
数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡
数，再用总头数去减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，
有人称为假设法
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2 红铅笔每支元，蓝铅笔每支元，两种铅笔共买
了16支，花了元。问红，蓝铅笔各买几支
解 ：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11
只脚，一种兔子有19只脚，它们共有16个头，
280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.
利用上面算兔数公式，就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于 这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特
殊性.例2中的脚数与11之和是30.我们也可
以设想16只中，8只是兔子只是鸡根据这一
设想，脚数是
8×(11+19)=240（支）。
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）。
就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡蓝
铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已
知数的特殊性，靠心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例
如，设想16只中，兔数为10,鸡数为6， 就有
脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你
的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子。
例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独
打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，
因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了< br>多少小时
解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10
的最小公倍数），甲 每小时打30÷6=5（份），乙每
小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看 成兔头数，乙打字的时间
看成鸡头数，总头数是7.兔的脚数是5,鸡的
脚数是3，总脚数是3 0，就把问题转化成鸡兔同
笼问题了。
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=,
鸡数=
=,

也就是甲打字用了小时，乙打字用了小时。
答：甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78
岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2 002年）父的
年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3
倍.那么当父的年龄是兄的年 龄的3倍时，是公元哪
一年
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之
和 是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以
把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔 头数。
25是总头数是总脚数根据公式，兄的年龄
是
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄
是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对 翅膀，蝉
有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，
有118条腿和20对翅膀.每种小 虫各几只
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来
考虑，可以把小虫分成条腿与条 腿两种。利
用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。
再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共
做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1
道的有7人，5道全对的有6人，做对2道 和3道
的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以 把
他们看作是对道题的人（(2+3)÷2=.这样
兔脚数=4，鸡脚数=,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
×39)÷=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，
244只脚，鸡和兔各有多少只
以简单的X方程计算 的话，我们一般用设大数为X，
那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去
鸡的只数，即 （88-X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就
是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）
就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。
答：兔子 有34只，鸡有54只。