营养成分表计算公式数值积分算法与MATLAB实现

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数值积分算法与MATLAB实现
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摘 要：在求一些函数的定积分时 ，由于原函数十
分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精
确求出，只能设法求其近似 值，因此能够直接借助牛
顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积
分就是解决此类 问题的一种行之有效的方法。积分的
数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近
似计算 的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本
文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值
积分的重要方法。
本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了
提高积分计算精度 的高精度数值积分公式，即龙贝格
求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值
积分算 法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计
算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的
计算误差。
【关键词】数值积分 牛顿-科特斯求积公式 高精度求
积公式 MATLAB软件
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前 言
对于定积分 ，在求某函数的定积分时，在一定条件下，
虽然有牛顿-莱布里茨公式 可以计算定积分的值，但
在很多情况下 的原函数不易求出或非常复杂。被积函
数 的原函数很难用初等函数表达出来，例如 等；有
的函数 的原函数 存在，但其表达式太复杂，计算量
太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛
顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多 的。另外，
许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形
式的非连续函数，对这类函数的 定积分，也不能用不
定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨
近似计算的数值积分方 法是有明显的实际意义的，即
有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的
近似计算。而 数值积分就是解决此类问题的一种有效
的方法，它的特点是利用被积函数 在一些节点上的信
息求出定积分的近似值。
微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在 科
学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数
值积分是数学上重要的课题之一，是数值 分析中重要
的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机
的出现，近几十年来，对于数值 积分问题的研究已经
成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算
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机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科< br>学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问
题有着很重要的意义。国内外众多学者在数值 积分应
用领域也提出了许多新方法。
在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医
学测量中的血压、浓度等等。通过这个课题的研 究，
我们将会更好地掌握运用数值积分算法求特殊积分函
数的定积分的一些基本方法、理论基础 ；并且通过
matlab软件编程的实现，应用于实际生活中。
第一章 牛顿- 科特斯求积公式
第一节 数值求积公式的构造
大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法 求出近
似结果的。数值积分原则上可以用于计算各种被积函
数的定积分，无论被积函数是解析解 形式还是数表形
式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，
用多项式的积分结果近似 代替对被积函数的积分。由
于所选多项式形式的不同，可以有许多种数值积分方
法。而利用插值 多项式来构造数值求积公式是最常用
的一种方法。
对于积分 ，用一个容易积分的函数 去代替被积函
数 ，这样的 自然以多项式 为最佳，因为多项式能很
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好的逼近任何连续函数，而且容易求出其原函数。
牛顿-科特斯求积公式，其中 称为科特斯系数。
第五节 各种求积算法的分析比较
下面用各种求积公式分别计算积分，并给出了相应的
计算误差，进行比较，结果如下：
1、用Newton-Cotes公式
当n=1时，即用梯形公式，用程序一
在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,1,2) 得

当n=2时, 即用Simpson公式,用程序一
在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,2,2)得

当n=4时, 即用科特斯公式，用程序一
在MATLAB命令窗口中输入>> NCotes(0,1,4,2)得

2、用Romberg公式 ，用程序五
在MATLAB命令窗口中输入>> romber (‘f’,0,1,值，能
得到同样的结果；二分4次，用了14个函数值，却能
得到14位有 效数字。
用高斯- 勒让德求积公式仅用了3个函数值，就能
得到同样比较精确的6位有效数字。
结 论 < br>---------------本文为网络收集精选范文、公文、论文、和其他应用文档，如需本文，请 下载--------------
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本文主要讨论了数值 积分的计算方法并通过
MATLAB软件编程实现，通过前面的研究我们知道求
数值积分近似值 的计算方法很多，包括Newton- Cotes
求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式、高斯
求积公式等等 。
其中Newton-Cotes方法是一种利用插值多项式来构造
数值积分的常用方法，这其中 梯形积分方法的误差最
大，近似效果最差，Simpson方法的精度比梯形积分
高了一个数量 级，它的代数精度比梯形积分的代数精
度高，能更好地近似积分值；Cotes积分方法的误差比
Simpson积分精度高两个数量级。因此，一般情况下，
代数精度越高，积分公式计算精度也越高 。但是高阶
的Newton -Cotes方法的收敛性没有保证，因此，在实
际计算中很少使用高阶的Newton
-C otes公式。Romberg方法收敛速度快、计算精度较
高，但是计算量较大。Gauss求积方法 积分精度高、
数值稳定、收敛速度较快，但是节点与系数的计算较
麻烦、而且要求已知积分函数 。
一般来说，Newton-Cotes方法的代数精度越高，数值
积分的效果越好、越精确 。变步长积分方法不仅可以
很好地控制计算误差，并且可以寻找到适当的积分步
长；Rombe rg积分方法可以更好地利用变步长复化积
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分公式得到的积分序列从而得到更为精确的数值结
果，是一个较好的数值积分方法。 高斯求积方法精确
度高，收敛性快也是一种很优秀的数值积分方法。

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