比旋度计算公式用配方法和公式法解一元二次方程

用配方法和公式法解一元二次方程

一.教学内容：
用配方法和公式法解一元二次方程
1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步 骤，能够熟练地用配方法解系数
较简单的一元二次方程．
2.理解用配方法推导出一元二次方 程的求根公式，了解求根公式中的条件b
2
－4ac≥0的意
义，知道b
2< br>－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．
3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．
二. 知识要点：
1.形如x
2
＝p或（mx＋n）
2
＝p（p≥0）的方程用开平方法将一 元二次方程降次转化为两个
一元一次方程．


通过配方，方程的左边变形 为含x的完全平方形式（mx＋n）＝p（p≥0），可直接开
平方，将一个一元二次方程转化为两个一 元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方
法．
3.用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项系数化为1；
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）用直接开平方法求出方程的根．
2
（3）当b－4ac＜0时，方程没有实数根．

2


三. 重点难点：
本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过 程和对求根公式推导过
程的理解．

例2. 用配方法解方程：
（1）x
2
＋2x－5＝0；（2）4x
2
－12x－1＝0；
（3）（x＋1）
2
－6（x＋1）
2
－45＝0．
分析 ：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配
方、求解即可；方程（ 2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x
＋1）
2
看成 一个整体合并，可避免重复配方．

（3）将方程整理得
（x＋1）
2
－6（x＋1）
2
＝45，
－5（x＋1）
2
＝45，
（x＋1）
2
＝－9，
由于x取任意实数时（x＋1）
2
≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．


评析：配方法作为一种求解的方法，与其他方法比显得复杂些，为此，除非题目有 特别
指明用配方法解外，一般不用这种方法，但配方法是一种重要的数学方法，应用很广，应力
争掌握好．

例4. 不解方程判断下列方程根的情况．
（1）4x
2
－11x＝2；
（2）4x
2
－x＋5＝0；
（3）y
2
＋14y＋49＝0；
（4）x
2
＋（m＋2）x＋m＝0．
分析：判断一元二次方程的根的情况 应先把方程转化成一般形式，再计算b
2
－4ac的值．
解：（1）原方程化为4x
2
－11x－2＝0，
a＝4，b＝－11，c ＝－2，b
2
－4ac＝（－11）
2
－4×4×（－2）＝153＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
（2）a＝4，b＝－1，c＝5，
b
2
－4ac＝（－1）
2
－4×4×5＝－79＜0，
所以原方程没有实数根．


（3）a＝1，b＝14，c＝49，b2
－4ac＝14
2
－4×1×49＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（4）a＝1，b＝m＋2，c＝m，
b
2
－4ac＝（m＋2）
2
－4×1×m＝m
2
＋4m＋4－4m＝m
2
＋4，无论m取何值，m
2
＋4＞0，
∴b
2
－ 4ac＞0，原方程有两个不相等的实数根．
评析：（1）b
2
－4ac是对一元二 次方程一般形式而言的，计算前必须把方程化成一般形
式；（2）当讨论含有字母系数的方程根的情况时 ，通常把计算结果化成（通过配方）（m
＋n）
2
＋p的形式，由平方数的非负性说明 它的符号．
例5. 先用配方法说明：不论x取何值，代数式x
2
－5x＋7的值总 大于0．再求出当x取何
值时，代数式x
2
－5x＋7的值最小？最小值是多少？ < br>分析：准确配方，利用完全平方公式的非负性确定值的非负性及最小值．
解：x
2
－5x＋7＝（x－2.5）
2
＋0.75＞0．
当x＝2.5时，代数式x
2
－5x＋7的值最小，最小值是
例6. 某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，
竹栏长为40m．
（1）养鸭场的面积能 达到150m
2
吗？能达到200m
2
吗？
（2）能达到250m< br>2
吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
分析：根据题意 列出方程，利用配方法或求根公式解方程，
义，则满足要求，否则，不能满足要求．
解：设与墙垂直的一边长为x m，则另一边长（40
（1）当面积为150m
2
时，x（40－2x）＝150，
整理得：x
2
－20x＋75＝0，即（x－10）
2
＝25．
解得x
1
＝5，x
2
＝15．
此时的设计方案为：与墙垂直的一边长为5m，另一边长为
15m，另一边长为10m．
而当面积为200m
2
时，x（40－2x）＝200，
解得x
1
＝x
2
＝10．
此时的设计方案为：与墙垂直的 边长为10m，另一边长为
（2）当面积为250m
2
时，x（40－2x）＝250 ，此方程无解．
所以养鸭场的面积不能达到250m
2
．


0.75．
墙长25m，另三边用竹栏围成，


如果方程有解且符合实际意
2x）m．
30m，或与墙垂直的边长为
20m．

－


【预习导学】
（用因式分解法解一元二次方程）
一. 预习前知
1. 想一想，因式分解有几种方法？
2. 分解因式：
（1）25（7x－3）
2
－16；（2）5x（2x＋7）－3（2x＋7）；
（3）x
2
－4x＋4；（4）（x－1）
2
＋2x（x－1）．

二. 预习导学
1. 根据“ab＝0，则a＝0或b＝0”解下列方程．
（1）（x－1）（2x＋3）＝0；（2）x（x＋1）＝0；
（3）（x－2）（x＋1）＝0．
2. 用因式分解法解下列方程．
（1）x< br>2
＋x＝0；（2）（3x－1）
2
－1＝0；（3）x
2
－ 2x＋1＝0．
反思：（1）用因式分解法适合解什么样的一元二次方程？
（2）用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是什么？

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题
1. 下列方程不能用开平方法求解的是（ ）
A. x
2
－6x＋9＝0 B. （x－5）
2
＝7 C. 4x
2
＝1 D. 2y
2
＋4y＋4＝0
3. 用配方法解方程x＋3＝4x时，这个方程可化为（ ）

2


A. （x－2）
2
＝7 B. （x＋2）
2
＝1 C. （x－2）
2
＝1 D. （x＋2）
2
＝2
*4. 方程x
2
＋x－1＝0的根精确到0.1的近似值是（ ）
A. 0.6，1.6 B. 0.6，－1.6 C. －0.6，1.6 D. －0.6，－1.6
5. 一元二次方程x
2
－2x－3＝0的根是（ ）
A. x
1
＝1，x
2
＝3 B. x
1
＝－1，x
2
＝3
C. x
1
＝－1，x
2
＝－3 D. x
1
＝1，x
2
＝－3
*6. 用配方法解方程时，下列配方错误的是（ ）

*7. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A. x
2
＋1＝0 B. x
2
＋2x＋1＝0 C. x
2
＋2x＋3＝0 D. x
2
＋2x－3＝0
**8. 若x
2
－2（k＋1）x＋k
2
＋5是一个完全平方式，则k等于（ ）
A. －1 B. 2 C. 1 D. －2
二. 填空题
1. 如果（x－2）
2
＝9，则x＝__________．
2. 方程（2y＋1）
2
－16＝0的根是__________．
3. 方程（x＋m）
2
＝n有解的条件是__________．
4. 填空：
（1）x
2
＋10x＋__________＝（x＋__________）
2< br>；
（2）m
2
－8m＋__________＝（m－__________ ）
2
；
（3）x
2
＋3x＋__________＝（x＋___ _______）
2
；
（4）x
2
＋12x＋_________ _＝（x＋__________）
2
；
（5）x
2
－mx＋__ ________＝（x－__________）
2
．
*5. 把下列各式化为（x＋m）
2
＋n的形式：
（1）x
2
－4x＋7 ＝__________；（2）x
2
＋2x－3＝__________；

6. 方程x＋5x＋3＝0中，b－4ac＝_______，由求根公式可得方程的根是x
1
＝_______，
x
2
＝_______．
7. 如果关于x的方程x
2
＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝__________．
三. 解答题
1. 用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）（x－1）
2
＝4；（2）4m
2
－4m＝－1；
（3）3（4x－1）
2
＝48；（4）y
2
－2y－8＝0．
2. 用配方法解方程：
（1）x
2
－6x－7＝0；（2）x
2
－2x－1＝0；
（3）2x
2
＋x＝0；（4）（x＋1）
2
＝x－1．
3. 关于x的二次三项式x
2
＋2mx＋4－m
2
是一个完全平方式，求m的值．
4. 如图，一个5m长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面3m，如果顶端下滑1m，那
么，梯子的底端也将滑动1m吗？请你用所学知识来解释．
22



5. 若关于x的方程x＋（2k－1）x＋k－74＝0有两个相等的实数根，求k的值．
6. 方程x
2
＋kx－6＝0的一个根是2，试求另一个根及k的值．
7. 用100m长的铁丝围成一个长方形，面积是600m
2
，长、宽分别是多少？ 能否再围成一
个面积是800m
2
的长方形呢？
22