excel转置公式运用公式法(二)

第五课时
●课 题
§2.3.2 运用公式法（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维
的能力.
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想
能力.
●教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法
观察—发现—运用法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.3.2 A）
第二张（记作§2.3.2 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分
解的两种方 法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公
式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a
2
－b
2

而且还学习了完全平方公式
（a±b）
2
=a
2
±2ab+b
2

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公
式呢？
［生］可以.
将完全平方公式倒写：
a
2
+2ab+b
2
=（a+b）
2
;
a
2
－2ab+b
2
=（a－b）
2
.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式 分解因式呢？请大家互相交流，找
出这个多项式的特点.
［生］从上面的式子来看，两个等式 的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一
个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那 两项乘积的两倍.凡具备这些特点
的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了 因式分解.
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. < br>用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个
数的和（或差 ）的平方.
形如a
2
+2ab+b
2
或a
2
－2 ab+b
2
的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把 乘法公式反过来，那么就可以用来把
某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
投影（§2.3.2 A）
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a
2
－4a+4;
（2）x
2
+4x+4y
2
;
（3）4a
2
+2ab+
1
2
b;
4
（4）a
2
－ab+b
2
;
（5）x
2
－6x－9;
（6）a
2
+a+0.25.
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两
项同号且能 写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
［生］（1）是.
（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x
2
与－9的符号不统一.
（6）是.
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x
2
+14x+49;
（2）（m+n）
2
－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式 化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分
解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是 多项式.
解：（1）x
2
+14x+49=x
2
+2×7x+7< br>2
=（x+7）
2

（2）（m +n）
2
－6（m +n）+9=（m +n）
2
－2·（m +n）×3+3
2
=［（m +n）－3］
2
=
（m +n－3）
2
.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax
2
+6axy+3ay
2
;
（2）－x
2
－4y
2
+4xy.
［师］分析：对一个三 项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观
察它是否有公因式，若有公因式应先提取公 因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+” 号时，可以先提取
“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax
2
+6axy+3ay
2

=3a（x
2
+2xy+y
2
）
=3a（x+y）
2

（2）－x
2
－4y
2
+4xy
=－（x
2
－4xy+4y
2
）
=－［x
2
－2·x·2y+（2y）
2
］
=－（x－2y）
2

Ⅲ.课堂练习
a.随堂练习
1.解：（1）是完全平方式
x
2
－x+
1
2
1 11
=x－2·x·+（）
2
=（x－）
2

4222
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
1
2
m+3 m n+9n
2

4
11
=（ m）
2
＋2× m×3n+（3n）
2

22
1
=（ m +3n）
2

2
（4）不是完全平方式
2.解：（1）x
2
－12xy+36y
2

=x
2
－2·x·6y+（6y）
2

=（x－6y）
2
;
（2）16a
4
+24a
2
b
2
+9b
4

=（4a
2
）
2
+2·4a
2
·3b
2
+（3b
2
）
2< br>
=（4a
2
+3b
2
）
2

（3）－2xy－x
2
－y
2

=－（x
2
+2xy+y
2
）
=－（x+y）
2
;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）
2

=2
2
－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］
2

=［2－3（x－y）］
2

=（2－3x+3y）
2

b.补充练习
投影片（§2.3.2 B）
把下列各式分解因式：
（1）4a
2
－4ab+b
2
;
（2）a
2
b
2
+8abc+16c
2
;
（3）（x+y）
2
+6（x+y）+9;
mn
2
m
2
（4）－+n;
6
144
（ 6）
（5）4（2a+b）
2
－12（2a+b）+9;
1
2
xy－x
4
－
5

解：（1）4a< br>2
－4ab+b
2
=（2a）
2
－2·2a·b+b
2
=（2a－b）
2
;
（2）a
2
b
2
+8abc+16c
2
=（ab）
2
+2·ab·4c+（4c）
2
=（ab+4c）
2
;
（3）（x+y）
2
+6（x+y）+9
=（x+y+3）
2
;
（4）－+n
2
=（）
2
－2×
×n+n
2
=（－n）
2
;
（5）4（2a+b）
2
－12（2a+b）+9
=［2（2a+b）］
2
－2×2（2a+b）×3+3
2

=［2（2a+b）－3］
2

=（4a+2b－3）
2
;
（6）x
2
y－x
4
－
y
2
=－（x－xy+）
100
yy
=－［（x
2
）
2
－2·x
2
·+（）
2
］
1010
y
=－（x
2
－）
2

10
42
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是 这两数或式的乘积的
2倍，符号可正可负.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.
Ⅴ.课后作业
习题2.5
1.解：（1）x
2
y
2－2xy+1=（xy－1）
2
;
（2）9－12t+4t
2
=（3－2t）
2
;
（3）y
2
+y+
11
=（y+）
2
;
42
（4）25m
2
－80 m +64=（5 m－8）
2
;
x
x
2
（5）+xy+y
2
=（+y）
2
;
2
4
（6）a
2
b
2
－4ab+4=（ab－2）
2

2.解：（1）（x+y）
2
+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］
2

=（x+y+3）
2
;
（2）a
2
－2a（b+c）+（b+c）
2

=［a－（b+c）］
2

=（a－b－c）
2
;
（3）4xy
2
－4x
2
y－y
3

=y（4xy－4x
2
－y
2
）
=－y（4x
2
－4xy+y
2
）
=－y（2x－y）
2
;
（4）－a+2a
2
－a
3

=－（a－2a
2
+a
3
）
=－a（1－2a+a
2
）
=－a（1－a）
2
.
3.解：设两个奇数分别为x
、
x－2,得
x
2
－（x－2）
2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.
Ⅵ.活动与探究
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，
并能先用提公因式 法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件： ①含字母
a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
参考答案：
4a
3
b－4a
2
b
2
+ab
3

=ab（4a
2
－4ab+b
2
）
=ab（2a－b）
2

●板书设计
§2．3．2 运用公式法（二）
一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
投影片（§2.3.2 A）
2.例题讲解
例1、例2
二、课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习（投影片§2.3.2 B）
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式
1.－4xy－4x
2
－y
2
;
2.3ab
2
+6a
2
b+3a
3
;
3.（s+t）
2
－10（s+t）+25;
4.0.25a
2
b
2
－abc+c
2
;
5.x
2
y－6xy+9y;
6.2x
3
y
2
－16x
2
y+32x;
7.16x
5
+8x
3
y
2
+xy
4

参考答案：
解：1.－4xy－4x
2
－y
2

=－（4x
2
+4xy+y
2
）=－（2x+y）
2
; < br>2.3ab
2
+6a
2
b+3a
3
=3a（b
2
+2ab+a
2
）=3a（a+b）
2
;
3.（s+ t）
2
－10（s+t）+25=［（s+t）－5］
2
=（s+t－5）< br>2
;
4.0.25a
2
b
2
－abc+c
2
=（0.5ab－c）
2
;
5.x
2
y－6xy+9y =y（x
2
－6x+9）=y（x－3）
2
;
6.2x
3
y
2
－16x
2
y+32x=2x（x
2
y
2
－8xy+16）=2x（xy－4）
2
;
7.16x
5+8x
3
y
2
+xy
4
=x（16x
4
+8x
2
y
2
+y
4
）=x（4x
2
+ y
2
）
2
.