ppm计算公式自然数平方和公式推导

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：

1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n …… n

这个三角形 第一行数字的和为1
2
，第二行数字和为2
2
，……第n行数字和为n
2
，
因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和

接下来我们注意 到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是
2,3,4,……n
这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法
加以利用

如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求< br>1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数
字呢

注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样
的：

1 1 1 …… 1
2 2 2 …… 2
3 3 3 …… 3
4 4 4 …… 4
……
n n n …… n

这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n2=n
3
2+n
2
2

而我们补上的数字是哪些呢？

1 1 1 …… 1 (n-1)个的1
2 2 …… 2 (n-2)个的2
3 …… 3 (n-3)个的3
………
n-1

又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T (n)，再用刚才算的正
方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n
32+n
2
2-T(n)。而这个三
角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二 列是1+2，第三列是1+2+3，……，
最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据 等差数列前n项和公式，这个
2
三角形第n列的数字和是(1+n)*n2=n2+n2，所以 T(n)相当于
(1
2
2+12)+(2
2
2+22)+(3
2
2+32)……+[(n-1)
2
2+(n-1)2]
将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得
T(n)=[1
2
+2
2
+3
2
+……+(n-1)
2
]2+(1+2+3+……+n- 1)2
=S(n-1)2+(n-1)*n4
=S(n-1)2+n
2
4-n4
也就是说，S(n)=n
3
2+n
2
2-T(n)
=n
3
2+n
2
2-S(n-1)-n
2
4+n4
=n
3
2+n
2
4+n4-S(n-1)2 ……①
22 222222
因为S(n)=1+2+3+……+n，S(n-1)=1+2+3+……+(n-1)
可以看出，S(n)=S(n-1)+n
2
，即S(n-1)=S(n)-n
2
，代入①式，得到
322
S(n)=n2+n4+n4-S(n)2+n2
3S(n)2=n
3
2+3n
2
4+n4
3S(n)=n
3
+3n
2
2+n2
S(n)=n
3
3+3n
2
6+n6
上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)6
另外一种经典的方法










设：S=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2< br>
另设：S
1
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n +3)
2
+…+(n+n)
2
，此步设题是解题
的关键，一般人不会 这么去设想。有了此步设题，第一：
S
1
=1
2
+2
2+3
2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
中的
1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=S，(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2< br>可以展开为
(n
2
+2n+1
2
)+( n
2
+2×2n+2
2
)
+( n
2
+2×3n+3
2
)+…+( n
2
+2×nn+n< br>2
)=n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 1
2
+22
+3
2
+…+n
2
，即

S
1=2S+n
3
+2n(1+2+3+…+n)……………………………………………….. (1)

第二：S
1
=1
2
+2
2
+3< br>2
+…+n
2
+(n+1)
2
+(n+2)
2
+(n+3)
2
+…+(n+n)
2
可以写为：

S
1
=1
2
+3
2
+5
2
…+ (2n-1)
2
+2
2
+4
2
+6
2
…+ (2n)
2
，其中：

2
2
+4
2
+6< br>2
…+(2n)
2
=2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)=4S…………………………………….. (2)

1
2
+3
2
+5
2
…+(2n- 1)
2
=(2×1-1)
2
+(2×2-1)
2
+(2×3 -1)
2
+…+ (2n-1)
2

= (2
2
×1
2
-2×2×1+1) +(2
2
×2
2
-2×2×2+1)
2
+(2
2
×3
2
-2×2 ×3+1)
2
+…+
(2
2
×n
2
-2×2×n+1)
2

= 2
2
×1
2
+2
2
×2
2
+2
2
×3
2
+…+2
2
×n
2
-2×2×1-2×2× 2-2×2×3-…-2×2×n+n

=2
2
×(1
2
+ 2
2
+3
2
+…+n
2
)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n………………………… …………………………………..(3
)

由(2)+ (3)得：
S
1
=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)

由(1)与(4)得：2S+ n
3
+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S= n
3
+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

= n[n
2
+n(1+n)+2(1+n)-1]

= n(2n
2
+3n+1)

= n(n+1)(2n+1)

S= n(n+1)(2n+1) 6

亦即：S=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
= n(n+1)(2n+1)6……………………………………(5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)6，其中n为最后一位自然数。
< br>由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)3，其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)3 ，其中2n-1为最后一
位自然数。

由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

设S=1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
…………………………………………………… ….(1)

有S=n
3
+(n-1)
3
+(n-2)3
+…+1
3
……………………………………………...(2)

由(1)+ (2)得：2S=n
3
+1
3
+(n-1)
3
+2
3
+(n-2)
3
+3
3
+…+n
3
+1
3

=(n+1)(n
2
-n+1)

+

(n+1)[(n-1)
2
-2(n-1)+2
2
)

+

(n+1)[(n-2)
2
-3(n-2)+3
2
)

+

.

.

.

+

(n+1)(1
2
-n(n-n+1)(n-n+1+ n
2
)

即2S=( n+1)[2(1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n
(n-n+1)] ………………...(3)

由1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=n(n+1)(2n+1) 6代入(2)得：

2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]

=( n+1)[2n(n+1)(2n+1)6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+ (n-1+1)(n-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)6-n
2
(1+n)2+1
2
+1+2
2
+2+…+(n-1)
2
+ (n-1)]

=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)6-n
2
(1+ n)2+1
2
+2
2
+…+(n-1)
2
+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)

由1
2
+2
2
+…+(n-1)
2
= n(n+1)(2n+1)6-n
2
，1+2+…+(n-1)=n(n-1)2代入(4)得：

2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)6-n
2
+n(n-1)2

=n
2
(n+1)
2
2

即S=1
3+2
3
+3
3
+…+n
3
= n
2
(n+1)
2
4

结论：自然数的立方和公式为n2
(n+1)
2
4，其中n为自然数。

自然数偶数立方和公式推导

设S=2
3
+4
3
+ 6
3
+…+(2n)
3

有S=2
3
(1
3
+2
3
+3
3
+…+n
3
)=8n
2< br>(n+1)
2
4=2n
2
(n+1)
2

结论：自然数偶数的立方和公式为2n
2
(n+1)
2
，其中2n为最后一位 自然偶数。

自然数奇数立方和公式推导

设S=1
3
+2
3
+3
3
+…+(2n)
3
由自然数的立方和公式为n
2
(n+1)
2
4，其中n为自然数
代入左边有n
2
(2n+1)
2
=2
3
+4
3
+6
3
+…+ (2n)
3
+1
3
+3
3
+5
3
…+ < br>(2n-1)
3
=2n
2
(n+1)
2
+1
3
+3
3
+5
3
…+(2n-1)
3

移 项得：1
3
+3
3
+5
3
…+(2n-1)
3 =n
2
(2n+1)
2
-2n
2
(n+1)
2
=n
2
(2n
2
-1)

结论：自然数奇数的立 方和公式为n
2
(2n
2
-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，
即n的取值。