公式编辑器大括号等腰直角三角形

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等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直
角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线 三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为
外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所
以r:R=1 :（根号2加1）。
目 录
1关系
2线段
3解三角形
4勾股定理
5证明方法
1. 5.1 证法1
2. 5.2 证法2
3. 5.3 证法3
4. 5.4 证法4
5. 5.5 证法5(欧几里得的证法)
6. 5.6 证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
7. 5.7 证法七（赵爽弦图）
8. 5.8 证法8（达芬奇的证法）
6定理
7相关定理
1. 7.1 重心定理
2. 7.2 外心定理
3. 7.3 垂心定理
4. 7.4 内心定理
5. 7.5 旁心定理
6. 7.6 中位线定理
8梅涅劳斯
9特殊等腰
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关系
等腰直角三角形的边角之间的关系 ：
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（1）三角形的角平分 线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，
它到各边的距离相等.
（三角形的外 接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个
顶点的距离相等）.
（2） 三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到
对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
注意！①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .②钝角三角形垂心、外心在三
角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外
心为斜边
中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
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线段
中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。
高：顶点到对边垂足的连线。
角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线：任意两边中点的连线。
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解三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有
（1）正弦定理
aSinA=bSinB= cSinC=2r (外接圆半径为r)
（2）余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^22cb
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^22ac
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^22ab
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勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角
三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C
满足A^2+B^2= C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边
是a，另一条直角边是 b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这
个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理 ）
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证明方法
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把
它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延
长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
a^2+b^2=c^2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边
长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、
C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边
长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF- DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上，
a^2+b^2=c^2
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼 成如图所示形状，使H、C、B
三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a^2+b^2=c^2
证法5(欧几里得的证法)
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△
ABC
为 一直角三角形，其中
A
为直角。从
A
点划一直线至对边，使其垂直于对边上的
正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS
定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形
的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据
辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转 换成两个同等面积的平
行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四
方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC
和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB
和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD
和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，
所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形
BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必
须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同
理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加，
AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)
= BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几
里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=9 0°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似
则有射影定理如下：
1）（BD）^2;=AD·DC， （2）（AB）^2;=AD·AC ， （3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，
即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

证法七（赵爽弦图）
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等 的直角三
角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab2；中间
懂得小 正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab2）+（b-a）2=c2
化简后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(12)
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠， 被称为“几何学的基石”，而且在
高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几 个文明古
国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定 理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为
勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股 ，斜边称为弦，所以勾股定理
也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前11 20年）答
周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共
盘， 得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称
“商高定理”。在公元前7至 6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角
形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘 并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方
定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上
许多国家都称勾股定 理为“毕达哥拉斯定理”。为了庆祝这一定理的发现，毕达
哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此 这个定理又有人叫做“百牛定理”．

前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。
2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》,
1989年第7卷第1期, 255-281页。
3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学
史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1
期,29-41页 。
5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台
湾, 1996年9月第3期, 20-27页
证法8（达芬奇的证法）
达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后
仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，
就能得出一个 新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共
同点。观察纸片一，因为要证的是勾股 定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸
片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO 都是正方形。然后需要知
道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称 的缘
故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D' 都
是直角。证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形
C DEO+2S△BCO=OF^2+OE^2+OF·OE 第三张纸片中多边形A'B'C'D'E'F'的面 积
S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'^2+C'D'·D'E'因为S1 =S2 所以
OF^2+OE^2+OF·OE=E'F'^2+C'D'·D'E'又因为C'D'= CD=OE,D'E'=AF=OF所以
OF·OE=C'D'·D'E' 则OF^2+OE^2=E 'F'^2因为E'F'=EF所以OF^2+OE^2=EF^2
勾股定理得证

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定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a^2+b^2=c^2； 即直角
三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a ，b，c满足
a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是4，斜边就是3×3+4× 4=X×X，
X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
7
相关定理
重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．
它们都是三角形的重要相关点．
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
三角形面积计算公式
S(面积)=a(边长)h(高)2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半
8
梅涅劳斯
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明 的。它指出：如
果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AFFB)×(BDDC)×(CEEA)=1。
证明：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AFFB=AGBD , BDDC=BDDC , CEEA=DCAG。
三式相乘得：AFFB×BDDC×CEEA=AGBD×BDDC×DCAG=1
它的逆定 理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，
且满足(AFFB)×(B DDC)×(CEEA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，
可以判断三点共线。
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转
来一些方法帮助书写
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是
六个旅游景 点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然
后选择其中的任意一个景点降落。我 们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后
回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我 们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”
而不停留观赏的景点，不能 算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景
点后，最终还要回到出发点A。
另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后 ，才能变更
到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D
（停留），之 后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经
过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
（AB： BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是
有：
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案：
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外
一些公式。
值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。
当直升机降落 在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，
也会有四项的公式。公式为四项时， 有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看
看。
现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相
乘的关系式，不会再写错 或是记不住吧。
9
特殊等腰

解:首先证明面积最大的是它
辅 助线:将等腰RT△ACB,任意RT△AC'B都画出外接圆,AB为圆的直径.(其实这样
做是为了 满足斜边AB相等,且是RT△).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(蓝色辅助线)
∵在半圆中,弧AB上取一点做AB垂线,可知垂线最长的就是CO(F),即圆的半径.
∴ S△=底×高÷2=CF×AB÷2.而CF所在△就是等腰RT△,所以在所有斜边相等
的RT△中, 面积最大的都是等腰RT三角形.
其次解:证明周长最大的还是它
辅助线:延长BC到E, 使得CE=AC.延长BC'到D,使得C'D=C'A.连接DE,AD,AE.
∵AC'⊥BDAC⊥BE.C'D=C'A,AC=CE.
∴等腰RT△ACE,等腰RT△ADC'.
∴∠AEB=∠ADB=45°
又∵AE,BD为四边形ADEB的对角线.
∴四边形ADEB可以内接在一个圆当中(这其实大家也可以用相似证明).
∴∠EDB=∠EAB.
∵AC垂直平分BE,且AC=CE=CB.
∴等腰RT△⊥AB.
∴∠EDB=∠EAB=90°
∴RT△EDB.
∵RT三角形当中斜边恒大于直角边.
∴EB>BD.
又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.
∴AC+CB>AC'+C'B.
因为RT△ACB周长=AB+(AC+CB).
RT△AC'B周长=AB+(AC'+C'B).
∴等腰RT△ACB周长>任意RT△AC'B周长.（斜边相等）
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