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t计算公式三角函数公式大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-10 21:07
tags:三角函数诱导公式

七律长征全诗翻译-奥伊米亚康村


.
三角函数公式大全
三角函数定义

锐角三角函数 任意角三角函数
图形



角三角形
意角三角函数
正弦(sin)
余弦(cos)
正切(tan或
tg)
余切(cot或
ctg)
正割(sec)
余割(csc)
函数关系
倒数关系:
商数关系:
平方关系:





诱导公式
公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:


精品文本
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公式二:设 为任意角, 与 的三角函数值之间的关系:

公式三:任意角 与 的三角函数值之间的关系:

公式四: 与 的三角函数值之间的关系:

公式五: 与 的三角函数值之间的关系:

公式六: 及 与 的三角函数值之间的关系:



















精品文本
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记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正弦 变余弦,余弦
变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×π2±a(k∈z)的三角函数值.( 1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三
角函数值的符号;
(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:



其中的奇偶是指的 奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切
---------- --------奇变偶不变
根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号 -------------符号看象限
记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.

以诱导公式二为例:

若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十 α是第三象限的角(终
边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数
值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得
到了诱导公式二.
以诱导公式四为例:


若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限 的角(终
边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的
三角函数值在 第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负
值.这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:



特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角
的三角函数值;②注意诱导公式的灵 活运用;③三角函数化简的要求是项
数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
精品文本
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基本公式
和差角公式
二角和差公式






证明如图,负号的情况只需要用-
β
代替
β
即可.cot(
α
+
β
)推导只需把角
α
对边设为1,过程与tan(
α< br>+
β
)相同.











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三角和公式




和差化积





口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.
积化和差

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倍角公式
二倍角公式



三倍角公式





证明:

sin
3
a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos
3
a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin
3
a
=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[60°+a)2 ]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos
3
a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
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=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得:
tan
3
a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin
4
a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos
4
a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4
a=(4*tana-4*tana^3)(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式



n
倍角公式
应用欧拉公式:

.
上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为:


所以,

其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而

所以,
n倍角的三角函数

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半角公式

(正负由 所在的象限决定)
万能公式

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辅助角公式


证明:
由于
,显然
故有:

,且





三角形定理
正弦定理
在任意△
ABC
中,角
A

B

C
所对的边长分别为a

b

c
,三角形外接圆的半径为
R
.则有 :

正弦定理变形可得:



余弦定理

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.

同理,也可描述为:


勾股定理是余弦定理的特例。
当 为 时, ,余弦定理可简化为
,即勾股定理。

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