柯西积分公式2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
sin
α
22
[最新考纲] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin
α
＋cos
α
＝1，＝tan
cos
α
α< br>.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±
α
，π±
α
的正弦、余弦 、正切的诱导公式．

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin
α
＋cos
α
＝1；
sin
α
(2)商数关系：tan
α
＝.
cos
α
2．诱导公式
组序

角

正弦

余弦

一

2
k
π＋
二

π＋
α
－sin
α
－cos
α
三

－
α
－sin
α
cos
α
四

π－
α
sin
α
－
cos_
α
－
tan_
α
五

π
－
α
2
cos
α
sin
α
六
π
＋
α

2
cos_
α

－sin
α

22
π
2
α
(
k
∈Z)
sin
α
cos
α
正切

口诀

tan
α
tan
α
－tan
α

函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限
[常用结论]
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin
α
±cos
α
)＝1±2sin
α
cos
α
；sin
α
＝tan
α
·cos
α
.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
函数名称的变化．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若
α
，
β
为锐角，则sin
α
＋cos
β
＝1.
sin
α
(2)若
α
∈R，则tan
α
＝恒成立．
cos
α
(3)sin(π＋
α
)＝－sin
α
成立的条件是
α
为锐角．
22
2
π
的奇数倍和偶数倍，变与不变指
2
( )
( )
( )
22
(4)若sin(
k
π－
α
)＝(
k
∈Z)，则sin
α
＝.
33
[答案](1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．化简sin 690°的值是( )
1133
A. B．－ C. D．－
2222
1
B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B.]
2
2．若sin
α
＝
5π
，＜
α
＜π，则tan
α
＝________.
52
( )
1π25
2
－ [∵＜
α
＜π，∴cos
α
＝－1－sin
α
＝－，
225
sin
α
1
∴tan
α
＝＝－.]
cos
α
2
sin
α
＋cos
α
3．已知tan
α
＝2，则的值为________．
sin
α
－cos
α
tan
α
＋12＋1
3 [原式＝＝＝3.]
tan
α
－12－1
⊙考点1 同角三角函数基本关系式
同角三角函数基本关系的应用技巧
sin
α
(1)弦切互化：利用公式tan
α
＝实现角
α
的弦切互化．
cos
α
(2)和(差)积转换：利用(sin
α
±cos
α
)＝1±2sin
α
cos
α
进行变形、转化． < br>(3)“1”的变换：1＝sin
α
＋cos
α
＝cos
α< br>(tan
α
＋1)＝sin
α
(
1＋
)
.
22222
2
“知一求二”问题
(1)[一题多解]已知cos α
＝
k
，
k
∈R，
α
∈
(
， π
)
，则sin(π＋
α
)＝( )
A．－1－
k

C．±1－
k

2
2
B.1－
k

D．－
k

2
(1)A [(排除法)易知
k
＜0，从而sin(π＋
α
)＝－sin
α
＜0，排除选项BCD，故选
A.]
利用同角三角函数的基本关系求解 问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系
的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒 等式，也可以看作是方程，对于一
些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过 解方程组达到解决问
题的目的，此时应注意在利用sin
2
α
＋cos
2
α
＝1求sin
α
或cos
α
时，符号的选取．
弦切互化
(1)(2019·郑州模拟)已知
3
A.
5
C．－3
sin
α
＋3cos
α
1
2
＝5，则cos
α
＋sin 2
α
的值是( )
3cos
α
－sin
α
2
3
B．－
5
D．3
(2)已知
θ
为第四象限角，sin
θ
＋3cos
θ
＝1，则tan
θ
＝________.
4sin
α
＋3cos
α
tan
α
＋3
(1)A (2)－ [(1)由＝5得＝5，可得tan
α
＝2，则
33cos
α
－sin
α
3－tan
α
1cos
α
＋sin
α
cos
α
1＋tan
α
3
2
cos
α
＋sin 2
α
＝cos
α
＋sin
α
cos
α
＝＝＝.故选A.
222
2cos
α
＋sin
α
1＋tan
α
5
2
2
(2)由(sin
θ
＋3cos
θ
)＝1＝sin
θ
＋cos
θ
，得6sin
θ
cos
θ
＝－8cos
θ
，又因
4
为
θ
为第四象限角，所以cos
θ
≠0，所以6sin
θ
＝－8cos
θ
，所以tan
θ
＝－.]
3
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同
时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式
的值，这是同 角三角函数关系中的一类基本题型．
sin
α
±cos
α
与sin
α
cos
α
关系的应用
23
44
(1)若|sin
θ
|＋|cos
θ
|＝，则sin
θ
＋cos
θ
＝( )
3
5
A.
6
8
C.
9
B.
17

18
2222
2
D.
3
2
(2)已知
θ
为第二象限角，sin
θ
，cos
θ
是关于
x
的方程2
x
＋( 3－1)
x
＋
m
＝0(
m
∈R)
的两根，则sin
θ
－cos
θ
＝( )
A.
1－3

2
B.
1＋3

2
C.3 D．－3
234
(1)B (2)B [(1)因为|sin
θ
|＋|cos
θ
|＝，两边平方，得1＋|sin 2
θ
|＝.
33
1117
44222
所以|sin 2θ
|＝.所以sin
θ
＋cos
θ
＝1－2sin
θ< br>cos
θ
＝1－sin2
θ
＝.故选B.
3218
(2)因为sin
θ
，cos
θ
是方程2x
＋(3－1)
x
＋
m
＝0(
m
∈R)的两根 ，所以sin
θ
＋
cos
θ
＝
1－3
m
2
，sin
θ
·cos
θ
＝，可得(sin
θ
＋cos
θ
)＝1＋2sin
θ
·cos
θ
＝1
22
2
2－33
＋< br>m
＝，解得
m
＝－.因为
θ
为第二象限角，所以sin
θ
＞0，cos
θ
＜0，即sin
θ
22
－cos
θ
＞0，因为(sin
θ
－cos
θ
)＝1－2sin
θ
·cos
θ
＝1－
m
＝1＋
31＋3
＝.故选B.]
22
2
3
，所以sin
θ
2
－cos
θ
＝1＋
对于sin
α
＋cos
α
，sin
α
－cos
α
，sin
α
cos
α
这三个式子，知一可求二，
t
2
－1
若令sin
α
＋cos
α
＝
t
(
t
∈[－2，2])，则sin
α
cos
α
＝
2
，sin
α
－cos
α
＝
±2－
t
2
(注意根据
α
的范围选取 正、负号)，体现了方程思想的应用．
1
1.已知sin(π＋
α
)＝－ ，则tan
(
－
α
)
值为( )
3
A．22
C.
2

4
B．－22
D．±22
1122cos
α
D [因为sin(π＋
α
)＝－，所以sin
α
＝，cos
α
＝±，tan
(
－
α
)
＝
333sin
α
＝±22.故选D.]
sin
θ
＋cos
θ
2
2．已知tan
θ
＝2，则＋sin
θ
的值为( )
sin
θ
A.
C.
19

5
23

10
B.
D.
16

5
17

10
2
sin
θ
＋cos
θ
sin
θ
＋cos
θ
sin
θ
tan
θ
＋1
2
C [原式＝＋sin
θ
＝＋＝
22
sin
θ
sin
θ
sin
θ
＋cos
θ
tan
θ
tan
θ
23
＋，将tan
θ
＝2代入，得原式＝.故选C.]
2
tan
θ
＋110
3．已知sin
x
＋cos
x
＝
A．－
3－1
，
x
∈(0，π)，则tan
x
＝( )
2
2
33
B. C.3 D．－3
33
3－13
，且
x
∈(0，π)，所以1＋2sin
x
cos
x
＝1－，所
22
sin
x
－cos
x
2
D [因为sin
x
＋cos
x
＝
以2sin
x
cos
x
＝－
3
＜0，所以
x
为钝角，所以sin
x
－cos
x
＝
2
＝
1＋331sin
x
，结合已知解得sin
x
＝，cos
x
＝－，则tan
x
＝＝－3.]
222cos
x
1
4．若3sin
α
＋cos
α
＝0，则
2
的值为________．
cos
α
＋2sin
α
cos
α
101
[3sin
α
＋cos
α
＝0?cos
α
≠0?tan
α
＝－，
3 3
1cos
α
＋sin
α
1＋tan
α
1＋10< br>＝
2
＝＝＝.]
2
cos
α
＋2sin
α
cos
α
cos
α
＋2sin
α
cos
α
1＋2tan
α
23
1－
3
⊙考点2 诱导公式的应用
应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角，化负角为正角；
ππ
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
22
2sin π＋
α
cosπ－
α
－cosπ＋
α
(1)设
f
(
α
)＝
3ππ
????
22
1＋sin
α
＋cos
?
＋
α
?
－sin
?
＋
α
?
?
2
??
2
?
222
?
23π
?
＝________. (1＋2sin
α
≠ 0)，则
f
?
－
6
?
??
?
π
? ?
5π
??
2π
?
(2)已知cos
?
－
θ
?
＝
a
，则cos
?
＋
θ
?
＋ sin
?
－
θ
?
的值是________．
?
6
??
6
??
3
?
(1)3 (2)0 [(1)因为
f
(
α
)＝
－2sin
α
－cos
α
＋cos
α
＝
22
1＋sin
α
＋sin
α
－cos
α
2sin
α
cos
α
＋cos
α
cos
α
1＋2sin
α11
?
－
23π
?
＝＝＝，所以
f
??
2
6
?
2sin
α
＋sin
α
sin
α
1＋2sin
α
tan
α
?
?
23 π
?
tan
?
－
?
6
??
＝
1< br>＝＝3.
π
?
π
?
tan
?
－4π＋?
tan
6
?
6
?
(2)因为cos
?1
?
5π
＋
θ
?
＝cos
?
π－?
π
－
θ
??
＝－cos
?
π
－θ
?
＝－
a
，sin
?
2π
－
θ?
＝
???
6
???
6
??
3
??
6
?????????
?
π
?
π
??
?
π
??
5π
??
2π
?
sin
?＋
?
－
θ
?
?
＝cos
?
－
θ
?
＝
a
，所以cos
?
＋
θ
?
＋sin
?
－
θ
?
＝0.]
?
?
?6
??
6
??
3
?
?
2
?
6
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角
函数值 求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值 时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用
给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意 每一个角所在的象限，防止符号及三角
函数名出错．
3π
??
tanπ＋< br>α
cos2π＋
α
sin
?
α
－
?
2
??
1.化简：＝________.
cos－
α
－3πsi n－3π－
α
π
????
tan
α
cos
α< br>sin
?
－2π＋
?
α
＋
??
2
? ???
－1 [原式＝
cos3π＋
α
[－sin3π＋
α
]
?
π
?
tan
α
cos
α
sin
?
＋
α
?
?
2
?
tan
α
cos
α
cos
α
＝＝
－cos
α
sin
α
－cos
α
sin
α
tan
α
cos
α
sin
α
cos
α
＝－＝－·＝－1.]
sin
α
cos
α
sin
α
2．已知角
α
终边上一点
P
(－4,3)，则
?
π
?
cos
?
＋
α
?
·sin－π－< br>α
?
2
?
的值为________．
11π9π
? ???
－
α
?
·sin
?
＋
α
?
cos
?
?
2
??
2
?
3－sin
α
sin
α
－ [原式＝＝tan
α
，
4－sin
α
cos
α
3
根据三角函数的定义得tan
α
＝－.]
4
⊙考点3 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
①分析结构特点，选择恰当公式；
基本思路

②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
①化简过程是恒等变换；
化简要求

②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简
单，能求值的要求出值
cos
已知
f
(
x
)＝
2
n
π ＋
x
·sin
2
n
π－
x
(
n
∈ Z)．
2
cos[2
n
＋1π－
x
]
(1)化简
f
(
x
)的表达式；
?
π
?
＋
f
?
504π
?
的值． (2)求
f
????
?
2 018
??
1 009
?
[解](1)当
n
为偶数，即
n
＝2
k
(
k
∈Z)时，
cos
f
(
x
)＝
2
2
2
k
π＋
x
·sin2
k
π－
x

2
cos[2×2
k
＋1π－
x
]
222
2
cos
x
·sin－
x
cos
x
·－sin
x
＝＝
22
cosπ－
x
－cos
x
＝sin
x
；
2
当
n
为奇数，即n
＝2
k
＋1(
k
∈Z)时，
cos[2
k
＋1π＋
x
]·sin[2
k
＋1π－
x
]
f
(
x
)＝
2
cos{[2×2
k
＋1＋1] π－
x
}
cos[2
k
π＋π＋
x
]·sin[2
k
π＋π－
x
]
＝
2
cos[2×2
k
＋1π＋π－
x
]
＝
cos
2
22
22< br>π＋
x
·sin
2
cosπ－
x
2
π－x
－cos
x
sin
x
＝
2
－cos
x
22
＝sin
x
，
综上得
f
(
x
)＝sin
x
.
2
2
?
π
?
＋
f
?
504π
?
(2)由(1)得
f
????
?
2 018
??
1 009
?
＝sin
＝sin
＝sin
2
π
2
1 008π
＋sin
2 0182 018
π
?
π
2
?
π
＋sin
?
－
?

2 018
?
22 018
?
π
2
π
＋cos＝1.
2 0182 018
2
2
(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值 或化简时，关键是寻求条件、结论间的
联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
?
π
?
1.已知< br>α
为锐角，且2tan(π－
α
)－3cos
?
＋
β
?
＋5＝0，tan(π＋
α
)＋6sin(π＋
β
)?
2
?
－1＝0，则sin
α
的值是( )
A.
35

5
310

10
B.
37

7
C.
1
D.
3
C [由已知可得－2tan
α
＋3sin
β
＋5＝0.
tan
α
－6sin
β
－1＝0，解得tan
α
＝3，
又
α
为锐角，故sin
α
＝
310
.]
10
π
?
2cos－
α
＋3sinπ＋
α
?2．已知tan(π－
α
)＝－，且
α
∈
?
－π，－< br>?
，则
2
?
3cosπ－
α
＋9sin
α
?
＝________.
122
－ [由tan(π－
α
)＝－，得tan
α
＝，
533
则
cos－
α
＋3sinπ＋
α
cos
α
－3sin
α
＝
cosπ－
α
＋9sin
α
－cos
α
＋9sin
α
＝
1－3tan
α
1－21
＝＝－.]
－1＋9tan
α
－1＋65
1π11
3．已知sin
α
＋cos α
＝－，且＜
α
＜π，则＋的
52sinπ－
α
cos π－
α
值为________．
35112π
[由sin
α
＋cos
α
＝－平方得sin
α
cos
α
＝－，∵＜
α
＜π，
125252
∴sin
α
－cos
α
＝sin
α
＋cos
α
2
7
－4sin
α
cos
α
＝，
5
7
－
5
351111cos
α
－sin
α
∴＋＝－＝＝＝.]
sinπ－
α
cosπ－
α
sin
α
cos
α
sin
α
cos
α
1212
－
25
[教师备选例题]
1
已知－π＜
x
＜0，sin(π＋
x
)－cos
x
＝－.
5
(1)求sin
x
－cos
x
的值；
sin 2
x
＋2sin
x
(2)求的值．
1－tan
x
1
[解](1)由已知，得sin
x
＋cos
x
＝，
5
1
22
两边平方得sin
x
＋2sin
x
cos
x
＋cos
x
＝，
25
24
整理得2sin
x
cos
x
＝－.
25
49
2
∵(sin
x
－cos
x
)＝1－2sin
x
cos
x
＝，
25
由－π＜
x
＜0知，sin
x
＜0，
12
又sin
x
cos
x
＝－＜0，
25
∴cos
x
＞0，∴sin
x
－cos
x
＜0，
7
故sin
x
－cos
x
＝－.
5
sin 2
x
＋2sin
x
2sin
x
cos
x
＋sin
x
(2)＝
1－tan
x
sin
x
1－
cos
x
＝
2sin
x
cos
x
cos
x
＋sin
x

cos
x
－sin
x
2
2
241
－×
255
24
＝＝－.
7175
5