公式编辑器破解总结归纳方差的性质

总结归纳方差的性质
总结归纳方差的性质[1]
在中国 古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学.以下
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一.方差的概念与计算公式
例1两人的5次测验成绩如下：
X：50，100，100，60，50E(X)=72;
Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值，记为D(X)：
直接计算公式分离散型和连续型，具体为：
这里是一个数。推导另一种计算公式
得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，
方差描述波动
二.方差的性质
1.设C为常数，则D(C)=0(常数无波动);
2.D(CX)=C2D(X)(常数平方提取);
证：
特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)(方差无负值)
特别地
独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：
平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)n(n表示这组数据个数，x1、x2、
x3……xn表 示这组数据具体数值)
方差公式：S?=〈(M-x1)?+(M-x2)?+(M-x3)?+…+(M-xn)?〉╱n
三.常用分布的方差
1.两点分布
2.二项分布
X~B(n,p)
引入随机变量Xi(第i次试验中A出现的次数，服从两点分布)，
3.泊松分布(推导略)
4.均匀分布
另一计算过程为
5.指数分布(推导略)
6.正态分布(推导略)
7.t分布:其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n(n-2);
8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n(n-2);
~
正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随
机波动)，这与图形的特征是相符的
总结归纳方差的性质[2]
第一章实数
一、重要概念1.数的分类及概念数系表：
说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准
2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)
性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法
②性质：A.a≠1a(a≠±1);B.1a中，a≠0;C.01;a>1时，
1a<1;D.积为1。
4.相反数：①定义及表示法
②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为
0,商为-1。
5.数轴：①定义(三要素
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.
建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)
定义及表示：
奇数：2n-1
偶数：2n(n为自然数)
7.绝对值：①定义(两种)：
代数定义：
几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对
应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只
有一个;④处理任何类型的题目，只要其中 有││出现，其关键一
步是去掉││符号。
二、实数的运算
1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
2.运算定律(五个- 加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]
分配律)
3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从左
到右如5÷×5);C.(有括号时)由小到中到大。
三、应用举例(略)
附：典型例题
1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a││x-b
│
=b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。
第二章代数式
★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫
做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积-包括单独
的一个数或字母)
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根 据整式
中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，
是以所给的代数式为 对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数
式类别时，是从外形来看。如，
=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是
无理数)。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根([a≥0-与平方根的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二
次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数
中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴(-幂幂，乘方运算)
①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，<0(n是奇数)
⑵零指数：=1(a≠0)
负整指数：=1(a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质：=(m≠0)
⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质：①o=;②÷=;③=;④=;⑤
技巧：
5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6.乘法公式：(正、逆用)
(ab)(a-b)=
(a±b)=
7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分 解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字
相乘法;D.分组分解法;E.求根公式 法。
9.算术根的性质：=;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0)(正用、逆用)
1 0.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除
法法则;⑶分母有理化：A.;B.; C..
11.科学记数法：(1≤a
三、应用举例(略)
四、数式综合运算(略)
第三章统计初步
★重点★
☆内容提要☆
一、重要概念
1.总体：考察对象的全体。
2.个体：总体中每一个考察对象。
3.样本：从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量：样本中个体的数目。
5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。
6.中位数：将一组 数据按大小依次排列，处在最中间位置的一
个数(或最中间位置的两个数据的平均数)
二、计算方法
1.样本平均数：⑴;⑵若，，…，,则(a-常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数：;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中
位置)的特征数。通常用样 本平均数去估计总体平均数，样本容量越
大，估计越准确。
2.样本方差：⑴; ⑵若,,…,,则(a-接近、、…、的平均数的较
整的常数);若、、…、较小较整，则;⑶样本方差 是刻划数据的
离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接
近总体方差 ，通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差：
三、应用举例(略)
第四章直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、
性质。
☆内容提要☆
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从图形、表示法、界限、端点个数、基本性质等方
面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用线段的基本性质论证三角形两
边之和大于第三边
4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明直角三角形中斜边大于直角边

9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常 用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);
②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类：⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系：⑴ 角与角：①内角和及推论;②外角和;
③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大 于第
三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，
3.三角形的主要线段
讨论：①定义②××线的交点-三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边
三角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直
角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法- 反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来
三、四边形
分类表：
1.一般性质(角)
⑴内角和：360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和：360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、
性质和判定
⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形--↑
⑷对角线的纽带作用：
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)
5 .重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常平移一
腰、平移对角线、作高、连结顶点和对腰中 点并延长与底边相
交转化为三角形。
6.作图：任意等分线段。
初三年级上册数学知识点归纳总结：
第五章方程(组)
★重点★ 一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;
方程的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆内容提要☆
一、基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2.分类：
二、解方程的依据-等式性质
1.a=b←→ac=bc
2.a=b←→ac=bc(c≠0)
三、解法
1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项
→
系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：消元⑵方法：①代入
法
②加减法
四、一元二次方程
1.定义及一般形式：
2.解法：⑴直接开平方法(注意特征)
⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式)
⑶公式法：
⑷因式分解法(特征：左边=0)
3.根的判别式：
4.根与系数顶的关系：
逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。
5.常用等式：
五、可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②换元法(如，)
⑷验根及方法
2.无理方程
⑴定义
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例，)⑷验根及
方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程
组都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题
一概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其
具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，量是什么，问
题给出和涉及的相等关系是什
么。
⑵设元(数)。①直接数②间接数(往往二者兼用)。一般来说，
数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出 ，有的由该问题所涉及的等量
关系给出)，列方程。一般地，数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程(组)解应用题实 质是先把实际问题转化为数
学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决
(列方程、写出答案)。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键 。
二常用的相等关系
1.行程问题(匀速运动)
基本关系：s=vt
⑴相遇问题(同时出发)：
⑵追及问题(同时出发)：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行：;
2.配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质溶剂
3.增长率问题：
4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间(常把工
作量看着单位。
5.几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似
形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如，多、少、增加了、增加为(到)、同时、扩大为
(到)、扩大了、……
又如 ，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为
c，则这个三位数为：100a10bc，而 不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大 3，则x-y=3或x=y3或x-3=y。又如，x与y的差
为3，则x-y=3。五注意单位换算
如，小时分钟的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例(略)
第六章一元一次不等式(组)
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆内容提要☆
1.定义：a>b、a
2.一元一次不等式：ax>b、ax
3.一元一次不等式组：
4.不等式的性质：⑴a>b←→ac>bc
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac
⑷(传递性)a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→ac>bd.
5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示
解集)
7.应用举例(略)
第七章相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套(比例的有关性质)：
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的
内项、外项④黄金分割等。
第二套：
注意：①定理中对应二字的含义;
②平行→相似(比例线段)→平行。
二、相似三角形性质
1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证(解)题规律、辅助线
1.等积变比例，比例找相似。
2.找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示
出来
3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4.对比例问题，常用处理方法是将一份看着k;对于等比问题，
常用处理办法是设公比为k。
5.对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)
抽出来的办法处理。
五、应用举例(略)
第八章函数及其图象
★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。
☆内容提要☆
一、平面直角坐标系
1.各象限内点的坐标的特点
2.坐标轴上点的坐标的特点
3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点
4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系
二、函数
1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问
题有
意义。
3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特殊函数
(定义→图象→性质)
1.正比例函数
⑴定义：y=kx(k≠0)或yx=k。
⑵图象：直线(过原点)
⑶性质：①k>0，…②k<0，…
2.一次函数
⑴定义：y=kxb(k≠0)
⑵图象：直线过点(0,b)-与y轴的交点和(-bk,0)-与x轴的交
点。
⑶性质：①k>0,…②k<0,…
⑷图象的四种情况：
3.二次函数
⑴定义：特殊地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线 (用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方
向，再对称地描点)。用配方法变为，则顶点为(h,k );对称轴为直线
x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。
⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴
左侧…，右侧…。
4.反比例函数
⑴定义：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线(两支)-用描点法画出。
⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x… ;②k<0时，图象位于…，
y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。
四、重要解题方法
1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解) 。对求二次函数的
解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称
轴对称的 特点，寻找新的点的坐标。如下图：
2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、
b;a、b、c的符号。
六、应用举例(略)
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
1.定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.
2.特殊角的三角函数值：
0°30°45°60°90°
sinα
cosα
tgα
ctgα
3.互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…
4.三角函数值随角度变化的关系
5.查三角函数表
二、解直角三角形
1.定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有的边和角。
2.依据：①边的关系：
②角的关系：AB=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：
4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列
方程的办法解决。
四、应用举例(略)
第十章圆
★重点★①圆的重要性质;②直线 与圆、圆与圆的位置关系;③
与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆内容提要☆
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;
等圆、同圆、同心圆。
3.三点定圆定理
4.垂径定理及其推论
5.等对等定理及其推论
5.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4.切线长定理
三、圆换圆的位置关系
1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角：
内角的一半：(右图)
(解Rt△OAM可求出相关元素,、等)
六、一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、点的轨迹
六条基本轨迹
八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
九、基本图形
十、重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线(连心线)
6.两圆相交公共弦