进制转换公式高中物理第2章研究圆周运动2.2研究匀速圆周运动的规律教学案沪科版必修

2.2 研究匀速圆周运动的规律
[学习目标] 1.知道向心加速度，掌握向心加速度的公 式.2.通过实例认识向心力及其方向，
理解向心力的作用.3.通过实验探究向心力的大小与哪些因素 有关，掌握向心力的公式，能运
用向心力的公式进行计算.4.能运用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的 向心力和向心加速度.

一、向心加速度
1.定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度.
2
v
2
4π
222
2.大小：
a
＝＝
ωR
＝
2< br>R
＝4π
nR
＝
ωv
.
RT
3.方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心.
4.作用
向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小.
5.物理意义：描述线速度方向变化的快慢.
6.匀速圆周运动的性质
向心加速度 的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是
匀变速运动，而是非匀变 速运动.
二、向心力及其方向
1.定义：做圆周运动的物体，产生向心加速度的力.
2.方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直.
3.作用效果：向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功.
4.来源：可 能是重力、弹力、摩擦力或是它们的合力.做匀速圆周运动的物体，向心力就是物
1 14
体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力.
5.向心力大小实验验证：
控制变量

探究内容
探究向心力
F
与
ω
的关系
探究向心力
F
与
R
的关系
探究向心力
F
与
m
的关系
m
、
R
相同，改变
ω
m
、
ω
相同，改变
R
ω
、
R
相同，改变
m

mv
2
6.公式：
F
＝
mRω
或
F
＝.
R
2


[即学即用]
1.判断下列说法的正误.
(1)向心加速度方向时刻指向圆心，方向不变.(×)
(2)匀速圆周运动的向心加速度大小是不变的.(√)
(3)匀速圆周运动的线速度大小不变，加速度为零.(×)
(4)匀速圆周运动的向心力是恒力.(×)
(5)物体由于做匀速圆周运动而产生了一个向心力.(×)
(6)做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供了向心力.(√)
2.在长0.2 m的细绳的一端系一小球，质量为0.5 kg，绳的另一端固定在水平桌面上，使小
球以0.6 ms 的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速
度为______ __，所需要的向心力为________.
答案 3 rads 1.8 ms 0.9 N
2
v
0.6
解析 角速度
ω
＝＝ rads＝3 rads
R
0.2
v
2
0.6
2
22
小球运动的向 心加速度
a
＝＝ ms＝1.8 ms.
R
0.2
v
2< br>小球运动所需向心力
F
＝
m
＝0.9 N.
R

一、对向心加速度的理解
[导学探究] 如图1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近 似的)；如图乙所示，表示
光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.
2 14

图1
(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案 (1 )地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化
的原因是受到力的作 用.
(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，
合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.
(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以 地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆
心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线 运动.
[知识深化]
1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.
2. 向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变
速度的方向，对 速度的大小无影响.
3.圆周运动的性质：不论向心加速度
a
的大小是否变化，其方 向时刻改变，所以圆周运动的
加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.
4.向心加速度的大小
2
Fv
2
4π
R
2
a
＝＝＝
ωR
＝
2
＝4π
2
n
2
R
＝
ωv

mRT
(1)当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速 度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的
平方成正比，随转速的增加或周期的减小而增大.
(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比.
(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比.
说明：向心加速度的公式也适用于非 匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周
运动，向心加速度的方向都指向圆心.
例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
3 14
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
答案 A
解析 向心加速度的 方向时刻指向圆心，A正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，
方向时刻变化，故B、C、D错误 .
针对训练1
A
、
B
两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A
球的轨道半径是
B
球轨道半径的2
倍，
A
的转速为3 0 rmin，
B
的转速为15 rmin.则两球的向心加速度之比为( )
A.1∶1
C.4∶1
答案 D
解析 由题意知
A< br>、
B
两小球的角速度之比
ω
A
∶
ω
B
＝
n
A
∶
n
B
＝2∶1，所以两小球的向心加速
度之比
a
A
∶
a
B
＝
ω
A

R
A
∶
ω

B
R
B
＝8∶1，D正确.
例2 如图2所示，
O
1
为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为
r
1
，
O
2
为从动轮的轴心，
从动轮半径为
r
2
，
r
3
为固定在从动轮上的小轮半径.已知
r
2
＝2
r
1
，r
3
＝1.5
r
1
.
A
、
B
、
C
分别是
三个轮边缘上的点，则点
A
、
B
、C
的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )
22
B.2∶1
D.8∶1

图2
A.1∶2∶3
C.8∶4∶3
答案 C
解析 因为皮带不打滑，
A
点与
B
点的线速度大 小相同，都等于皮带运动的速率.根据向心加
B.2∶4∶3
D.3∶6∶2
v< br>2
速度公式
a
＝，可得
a
A
∶
a
B
＝
r
2
∶
r
1
＝2∶1.由于
B
、
C
是固定在同一个轮上的两点，所以它
r
们的角速度相同.根据向心加速度 公式
a
＝
rω
，可得
a
B
∶
a
C
＝
r
2
∶
r
3
＝2∶1.5.由此得
2< br>a
A
∶
a
B
∶
a
C
＝8∶4∶3， 故选C.
二、向心力
[导学探究] 如图3所示，小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动.

图3
(1)小球受到几个力的作用？什么力提供向心力？
(2)向心力的作用效果是什么？向心力是做圆周运动的物体受到的某个真实的力吗？
4 14
答案 (1)小球受重力、支持力、拉力三个力的作用，拉力提供向心力
(2)向心力 的作用效果是改变小球的速度方向，它是由某个力或几个力的合力充当向心力，它
是效果力，并不是真实 受的某种力.
[知识深化]
v
2
2π
22
1.向心力大 小：
F
＝
ma
＝
m
＝
mωR
＝
m ωv
＝
mR
().
RT
2.作用效果——改变线速度的方向.由于 向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂
直，故向心力不改变线速度的大小.
3. 向心力是为了描述圆周运动而引入的一种力的名称，是一种效果力.它并不是一种新的性质
的力.向心力 是变力，方向时刻改变.
4.注意：
(1)对于匀速圆周运动，物体所需要的向心力等于物 体所受的合外力.它可以是一个力，也可
以由多个力提供或者是由某一个力的分力提供.
(2 )物体之所以要做匀速圆周运动，就是因为物体始终受到大小恒定、方向始终指向圆心的向
心力的作用.
(3)做圆周运动的物体所受的合外力不一定沿半径指向圆心，但指向圆心方向的合外力一定是
向心力.
例3 如图4所示，水平转盘上放有质量为
m
的物体(可视为质点)，连接 物体和转轴的绳子
长为
r
，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的
μ
倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图4
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度
ω
0
.
(2)当角速度为
答案 (1)
3
μg
时，绳子对物体拉力的大小.
2
r
μg
1
(2)
μmg

r
2
2
解析 (1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速 达到最大，则
μmg
＝
mω
0

r
，得
ω
0
＝
(2)当
ω
＝
μg

r
3< br>μg
时，
ω
>
ω
0
，所以绳子的拉力
T和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，
2
r
T
＋
μmg
＝
mω
2
r

5 14
3
μg
1< br>即
T
＋
μmg
＝
m
··
r
，得T
＝
μmg
.
2
r
2
针对训练2 在光滑的 圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球
A
和
B
，分别紧贴着漏斗在水平
面内做匀速圆周运动，其中小球
A
的位置在小球
B
的上方，如图5所示.下 列判断正确的是
( )

图5
A.
A
球的速率小于
B
球的速率
B.
A
球的角速度大于
B
球的角速度
C.
A
球对漏斗壁的压力大于
B
球对漏斗壁的压力
D.
A
球的转动周期大于
B
球的转动周期
答案 D
解析 先对
A
、
B
两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支 持力.如图所示，

对
A
球据牛顿第二定律：
N
A
sin
α
＝
mg
2
v
A

2
N
A
cos
α
＝
m
＝
mω

A
r
A
r
A






①
②
对
B
球据牛顿第二定律：
N
B
sin
α
＝
mg
2
v
B

2
N
B
cos
α
＝
m
＝
mω

B
r
B
r
B






③
④
由两球质量相等可得
N
A
＝
N
B
，C项错.
由②④可知，两球所受向心力相等.
22
v

v
B

A
m
＝
m
，因为
r
A
>
r
B
，所以
v
A
>
v
B< br>，A项错误.
r
A
r
B
22
mω
A

r
A
＝
mω
B

r
B
，因为r
A
>
r
B
，所以
ω
A
<
ω
B
，B项错误.
2π
又因为
ω
＝，所以
T
A
>
T
B
，D项正确.
T
6 14

常见的向心力来源分析



1.(向心加速度的概念)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
答案 AD
解析 向心加速 度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的
方向始终与速度方向垂直，且 方向在不断改变.物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，
加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运 动的加速度不是始终指向圆心，故选A、D.
2.(向心力的理解)(多选)下面关于向心力的叙述中，正确的是( )
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作
用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者
是 某一个力的分力
D.向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小
答案 ACD
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受力的合力，也可以是某一个力
的分 力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力.向心力时刻指向圆心，与速度垂直，
所以向心力只改 变速度方向，不改变速度大小，A、C、D正确.
3.(传动装置中的向心加速度)如图6所示，两轮 压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半
径是小轮半径的2倍，
E
为大轮半径的中 点，
C
、
D
分别是大轮和小轮边缘上的一点，则
E
、
C
、
D
三点向心加速度大小关系正确的是( )
7 14

图6
A.
a
C
＝
a
D
＝2
a< br>E
B.
a
C
＝2
a
D
＝2
a
E

C.
a
C
＝＝2
a
E
D.
a
C
＝＝
a
E

22
答案 C
解析 同轴转动，
C
、
E
两点的角速度相等，由
a
＝
ωr
，有＝2，即
a
C
＝2
a
E
；两轮 边缘点的
2
a
D
a
D
a
C
a
E< br>v
2
a
C
11
线速度大小相等，由
a
＝，有 ＝，即
a
C
＝
a
D
，故选C.
ra
D< br>22
4.(圆周运动的向心力及有关计算)长为
L
的细线，拴一质量为
m
的小球，细线上端固定，让小
球在水平面内做匀速圆周运动，如图7所示，求细线与竖直方向 成
θ
角时：(重力加速度为
g
)

图7
(1)细线中的拉力大小.
(2)小球运动的线速度的大小.
答案 (1) (2)
gL
sin
θ
tan
θ

cos
θ
mg
解析 (1)小球受重力及细线的拉力两力作用，如图所示，竖直方向
T
cos
θ
＝
mg
，故拉力
T
＝.
cos
θ
mg

(2)小球做圆周运动的半径
r
＝
L
sin
θ
，向心力
F
＝
T
sin
θ
＝
mg
tan
θ
，
v
2
而
F
＝
m
，
r
故小球的线速度
v
＝
gL
sin
θ
tan
θ
.
课时作业
一、选择题(1～5题为单选题，6～10题为多选题)
8 14
1.关于向心加速度，下列说法正确的是( )
v
2
A.由
a
＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
r
B.匀速圆周运动不属于匀速运动
C.向心加速度越大，物体速率变化越快
D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
答案 B
解析 向心加速度是矢量， 且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错；
匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆 周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B
正确；向心加速度不改变速率，C错；只有匀速圆周 运动的加速度才时刻指向圆心，D错.
2.如图1所示是
A
、
B
两 物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中
A
为双曲
线的一个分支，由 图可知( )

图1
A.
A
物体运动的线速度大小不变
B.
A
物体运动的角速度大小不变
C.
B
物体运动的角速度大小是变化的
D.
B
物体运动的线速度大小不变
答案 A
v
2
解析 根据
a
＝知，当线速度
v
大小为定值时 ，
a
与
r
成反比，其图像为双曲线的一支；根
r
据
a
＝
rω
知，当角速度
ω
大小为定值时，
a
与r
成正比，其图像为过原点的倾斜直线，所
以A正确.
3.下列关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B.向心力会改变做圆周运动物体的速度大小
C.做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 C
解析 当物体所受外力的合 力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分
力即为向心力，故先有向心力然后才使物 体做圆周运动.因向心力始终垂直于速度方向，所以
它不改变速度的大小、只改变速度的方向，当合力完 全提供向心力时，物体就做匀速圆周运
9 14
2
动，该合力大小不变、方向时刻改变，故向心力是变化的.
4.一只小狗拉着雪橇 在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图所示为雪橇所受的牵引
力
F
及摩擦力< br>f
的示意图，其中正确的是( )

答案 C
解析 雪橇运动时 所受摩擦力为滑动摩擦力，方向与运动方向相反，与圆弧相切.又因为雪橇
做匀速圆周运动时合力充当向 心力，合力方向必然指向圆心.综上可知，C项正确.
5.如图2所示，一球体绕轴
O
1
O
2
以角速度
ω
匀速旋转，
A
、
B< br>为球体上两点，下列几种说法
中正确的是( )

图2
A.
A
、
B
两点具有相同的角速度
B.
A
、
B
两点具有相同的线速度
C.
A
、
B
两点的向心加速度的方向都指向球心
D.
A
、
B
两点的向心加速度之比为2∶1
答案 A
解析
A
、
B
为球体上两点，因此，
A
、
B
两点的角速度与球体绕轴
O
1
O
2
旋转的角速度相同，A
对；如图所示，
A
以
P
为圆心做圆周运动，
B
以< br>Q
为圆心做圆周运动，因此，
A
、
B
两点的向
心加速 度方向分别指向
P
、
Q
，C错；设球的半径为
R
，则
A
运动的半径
r
A
＝
R
sin 60°，
B
运
v
A
ωr
A
sin 60°
a
A
ω
2
r
A
动的半径
r
B
＝< br>R
sin 30°，＝＝＝3，B错；＝
2
＝3，D错.故选A.
v
B
ωr
B
sin 30°
a
B
ωr
B

6.如图3所示，在匀速转动的水平圆 盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为
m
的两个
物体
A
和B
，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为
R
A
＝
r
，
R
B
＝2
r
，与盘间的动摩擦因数
μ
相同，当圆盘 转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列
说法正确的是( )
10 14

图3
A.此时绳子张力为
μmg

B.此时圆盘的角速度为
2
μg

r
C.此时
A
所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D.此时烧断绳子，
A
仍相对盘静止，
B
将做离心运动
答案 BC
解析 当两物体刚要发生滑动时，对
A
有：
T
－
μmg
＝
mrω
，对
B
有：
T
＋
μmg
＝
m
· 2
rω
，
联立解得：
T
＝3
μmg
，
ω
＝
2
μg
，可知A错，B对；此 时
A
所受摩擦力方向沿半径指向
22
r
圆外，C对；若此时烧断绳子 ，
A
、
B
都将做离心运动，D错.
7.下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动
D.匀速圆 周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，
所以匀速圆周运动既不 是匀速运动，也不是匀变速运动
答案 BD
解析 加速度恒定的运动才是匀变速运动，向心 加速度的方向时刻改变.匀速圆周运动是速度
的大小不变而速度的方向时刻变化的运动，所以B、D正确 .
8.如图4所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为
r< br>1
＝3
r
，
r
2
＝2
r
，
r
3
＝4
r
；
A
、
B
、
C
三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑.向心加速度分别为
a
1
、
a
2
、
a
3
，则下列比例关系正确的是( )

图4
a
1
3
a
1
2
a
2
2
a
2
1
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
a
2
2a
2
3
a
3
1
a
3
2
答案 BD
11 14
v
2
a
1
r
2
2
解析 由于皮带不打滑，
v
1
＝
v
2
，
a
＝，故＝＝，A错，B对 .由于右边两轮共轴转动，
ra
2
r
1
3
a
2r
2
ω
2
1
ω
2
＝
ω
3，
a
＝
rω
，＝＝，C错，D对.
a
3
r
3
ω
2
2
2

9 .如图5所示，长为
L
的悬线固定在
O
点，在
O
点正下方处 有一颗光滑的钉子
C
，把悬线另
2
一端的小球
m
拉到跟悬点 在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到
钉子，则小球的( )
L

图5
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心加速度突然增大为原来的2倍
D.悬线拉力突然增大为原来的2倍
答案 BC
解析 当悬线碰到钉子时，由于惯 性球的线速度大小是不变的，以后以
C
为圆心、为半径做
2
L
vv< br>2
圆周运动.由
ω
＝知，小球的角速度增大为原来的二倍，A错，B对；由a
＝可知，它的向
RR
mv
2
心加速度
a
应加 倍，C项正确.由
F
－
mg
＝可知，D错误.
R
10.如 图6所示，将一质量为
m
的摆球用长为
L
的细绳吊起，上端固定，使摆球在水 平面内做
匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，下列说法正确的是( )

图6
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球受重力和拉力的作用
C.摆球运动周期为2π
L
cos
θ

g
12 14
D.摆球运动的转速为
答案 BC
sin
θ

cos
θ
gL
解析 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用，设摆球做匀速圆周运动的周期为
T
，
则：
mg
tan
θ
＝
m
4π
2
T
2
r
，
r
＝
L
sin
θ
，
T
＝2π
L
cos
θ
11
，转速
n
＝＝
gT
2π
g
L
cos
θ
，B、
C正确，A、D错误.
二、非选择题
11.如图7所示 ，有一质量为
m
1
的小球
A
与质量为
m
2
的物块
B
通过轻绳相连，轻绳穿过光滑
水平板中央的小孔
O
.当小球
A
在水平板上绕
O
点做半径为
r
的匀速圆周运动时，物块< br>B
刚好
保持静止.求：(重力加速度为
g
)

图7
(1)轻绳的拉力大小.
(2)小球
A
运动的线速度大小.
答案 (1)
m
2
g
(2)
m
2
gr

m
1
解析 (1)物块
B
受力平衡，故轻绳拉力
T
＝
m
2
g

v
2
(2)小球
A
做 匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力
T
，根据牛顿第二定律
m
2
g< br>＝
m
1

r
解得
v
＝
m
2
gr
.
m
1
12.如图8所示，用一根长为
l
＝1 m的细线，一端系一质量为
m
＝1 kg的小球(可视为质点)，
另一端固定在一光滑 锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角
θ
＝37°，当小球在水平面内绕锥体
的轴做匀速圆 周运动的角速度为
ω
时，细线的张力为
T
.求：(
g
取10 ms，结果可用根式
表示)
2

图8
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度
ω
0
至少为多大.
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度
ω
′为多大.
13 14
52
答案 (1) rads (2)25 rads
2
解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，如图所示.

小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面内，故向心力水平，运用牛顿第二定律及向心力公式< br>得：
mg
tan
θ
＝
mω

0
l
sin
θ

解得：
ω
0
＝
即
ω
0
＝
2
2
g
g
l
cos
θ

52
rads.
2
2
l
cos
θ
＝
(2)当细线与竖直方向成6 0°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：
mg
tan
α
＝
mω
′
l
sin
α

解得 ：
ω
′＝
即
ω
′＝
2
g
g
lcos
α
，
l
cos
α
＝25 rads.
14 14